การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

พ.ย. 25

Posted by

…….พหุนามดีกรีสองเมื่อทำการแยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่ซ้ำกัน  เช่น x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)  = (x + 2)2  เรียกพหุนามที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า กำลังสองสมบูรณ์ (Perfect Square) 

…….พหุนามที่อยู่ในรูป กำลังสองสมบูรณ์ ถ้าให้ น = พจน์หน้า,  ล = พจน์หลัง จะเขียนในรูป
………………………….น2 + 2นล + ล2
………………………….น2 – 2นล + ล2
…….ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้
………………………….(หน้า)2 + 2หน้าหลัง + (หลัง)2  =  (หน้า + หลัง)2
………………………….(หน้า)2 – 2หน้าหลัง + (หลัง)2  =  (หน้า – หลัง)2

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ  a2 – 8a + 16
วิธีทำ……….a2 – 8a + 16  =   a2 – (2)(a)(4) + 42
…………………””””…….=  (a – 4)2

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ  121x2 + 154x + 49
วิธีทำ……….121x2 + 154x + 49  =   (11x)2 + (2)(11x)(7) + 72
………………………………….=  (11x + 7)2

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม (x + 2)2 – 18(x2 + 2x) + 81x2
วิธีทำ……….  (x + 2)2 – 18(x2 + 2x) + 81x2  =  (x + 2)2 – 18x(x + 2) + 81x2
……………………………………………=  (x + 2)2 – 2(x + 2)(9x) + (9x)2
………………………………………….. =  [ (x + 2) – 9x ]2
………………………………………….. =  (2 – 8x)2

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม (x+1)^2+14(x+1)+49
วิธีทำ…….(x+1)^2+14(x+1)+49 = (x+1)^2+2(x+1)(7)+7^2
………………………………………= [(x+1)+7]^2
…………..ดังนั้น…(x+1)^2+14(x+1)+49 = (x+8)^2

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 4x^2-4(x^2-3x)+(x-3)^2
วิธีทำ…….4x^2-4(x^2-3x)+(x-3)^2 = (2x)^2-4x(x-3)+(x-3)^2
………………………………..= (2x)^2-2(2x)(x-3)+(x-3)^2
………………………………..= [2x-(x-3)]^2
………………………………..= (2x-x+3)^2
…………..ดังนั้น…4x^2-4(x^2-3x)+(x-3)^2 = (x+3)^2

…….สำหรับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 จะซับซ้อนมากยิ่งขึ้น ซึ่งข้อดีของวิธีนี้คือ ใช้แยกจำนวนที่มีตัวเลขเยอะ ๆ ที่เราคิดในใจไม่ได้ หรือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนได้ในรูปจำนวนเต็ม แต่จำนวนที่ได้จะเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ ก็ได้ ลองไปศึกษากันเลยครับ แต่อยากฝากแนวคิดง่าย ๆ คือ ให้เราเขียนพหุนามมาสองพจน์ แล้วเอา 2 หารพจน์กลาง จากนั้นให้ยกกำลังสอง ได้เท่าไหร่ให้ลบทิ้ง แล้วยกพจน์สุดท้ายมา จากนั้นทำการบวกลบกันแล้วใช้สูตร ผลต่างกำลังสองเข้าช่วยครับ …ลองไปดูกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบ x^2-26x+165
วิธีทำ…….= x^2-26x+13^2-169+165
…………..= (x-13)^2+(-169+165)
…………..= (x-13)^2-4
…………..= (x-13)^2-2^2
…………..= (x-13+2)(x-13-2)
…………..= (x-11)(x-15)

ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบ x^2-7x-228
วิธีทำ……= x^2-7x+(\frac{7}{2})^2-\frac{49}{4}-228
………….= (x-\frac{7}{2})^2-\frac{961}{4}
………….= (x-\frac{7}{2})^2-(\frac{31}{2})^2
………….= (x-\frac{7}{2}+\frac{31}{2})(x-\frac{7}{2}-\frac{31}{2})
………….= (x+\frac{24}{2})(x-\frac{38}{2})
………….= (x+12)(x-19)

ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบ x^2-6x+2
วิธีทำ…..= x^2-6x+3^2-9+2
…………= (x-3)^2-7
…………= (x-3)^2-(\sqrt{7})^2
…………= (x-3+\sqrt{7})(x-3-\sqrt{7})

ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบ x^2-5x+1
วิธีทำ…..= x^2-5x+(\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}+1
…………= (x-\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}
…………= (x-\frac{5}{2})^2-(\frac{\sqrt{21}}{2})^2
…………= (x-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2})(x-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2})
…………= (x-\frac{5-\sqrt{21}}{2})(x-\frac{5+\sqrt{21}}{2})

ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบ 3x^2+19x-14
วิธีทำ…..= 3\left \{ x^2+\frac{19}{3}x-\frac{14}{3} \right \}
…………= 3\left \{ x^2+\frac{19}{3}x+(\frac{19}{6})^2-\frac{361}{36}-\frac{14}{3} \right \}
…………= 3\left \{ (x-\frac{19}{6})^2-\frac{361}{36}-\frac{168}{36} \right \}
…………= 3\left \{ (x-\frac{19}{6})^2-\frac{529}{36} \right \}
…………= 3\left \{ (x-\frac{19}{6})^2-(\frac{23}{6})^2 \right \}
…………= 3\left \{ (x+\frac{19}{6}+\frac{23}{6})(x+\frac{19}{6}-\frac{23}{6}) \right \}
…………= 3\left \{ (x+\frac{42}{6})(x-\frac{4}{6}) \right \}
…………= (x+7)(3x-2)

ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบ -2x^2+x+7
วิธีทำ…..= -2\left \{ x^2-\frac{1}{2}x-\frac{7}{2} \right \}
…………= -2\left \{ x^2-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}-\frac{7}{2} \right \}
…………= -2\left \{ (x-\frac{1}{4})^2-\frac{57}{16} \right \}
…………= -2\left \{ (x-\frac{1}{4})^2-(\frac{\sqrt{57}}{4})^2 \right \}
…………= -2(x-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{57}}{4})(x-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{57}}{4})
…………= -2(x-\frac{1-\sqrt{57}}{4})(x-\frac{1+\sqrt{57}}{4})

เพื่อให้มีความเข้าใจมากยิ่งขึ้น ลองดูจากคลิปวิดีโอเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบ พหุนามโดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งสอนโดย พี่โต๋-วชิรา โอภาสวัฒนา

ให้นักเรียนลองแยกตัวประกอบของพหุนาม โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จากแบบฝึกด้านล่างนี้ลองดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>ระดับ ม.2 การแยกตัวประกอบโดยวิธีกำลังสองสมบูรณ์ |ระดับ ม.3 กำลังสองสมบูรณ์ |

Posted on ่25 พฤศจิกายน, 2012, in คณิตเพิ่มเติม ม.2, คณิตเพิ่มเติม ม.3 and tagged , , . Bookmark the permalink. 6 ความเห็น.

  1. พลอย | ่21 มีนาคม, 2013 เวลา 10:40 am

    พหุนามแบบไหนบ้างค่ะ ที่แยกตัวประกอบไม่ได้

    ตอบกลับ
  2. krupraiwan | ่28 สิงหาคม, 2014 เวลา 3:09 pm

    พหุนามดีกรีสองที่แยกตัวประกอบไม่ได้ จะเขียนอยู่ในรูป ผลบวกของกำลังสองครับ เช่น x^2+6 หรืออาจจะเป็น (x-2)^2+10 เนื่องจากตัวประกอบของพหุนามเหล่านี้จะเป็นจำนวนที่อยู่ในรูป…จำนวนเชิงซ้อน…แต่ในระดับ ม..ต้น โครงสร้างที่เรียนเอาแค่จำนวนจริง ดังนั้นจึงแยกตัวประกอบไม่ได้ครับ

    ตอบกลับ
  3. น.ส ขวัญฤฎี มณีรัตน์ | ่21 กรกฎาคม, 2017 เวลา 10:25 pm

    อยากจังเลยพยายามทำความเข้าใจแต่ก็ยังไม่เข้าใจ😣😣😧

    ตอบกลับ
  4. แอ๊นท์ | ่17 ธันวาคม, 2017 เวลา 2:50 pm

    ตอนนี้ครูที่โรงเรียนให้ทำแก้ร้อยข้อ แต่หาไม่ค่อยมี

    ตอบกลับ

  1. Pingback: การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เมื่อ a = 1 | คณิตศาสตร์ง่าย ๆ สไตล์ครูไพรวัล ดวงตา

ใส่ความเห็น