ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)

…….ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n+ 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม (common difference)
……ถ้าให้ d เป็นผลต่างร่วม จะได้ว่า d = a_{n+1} - a_{n} ซึ่งจะได้พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต คือ

…………………………a_{n} = a_{1} + (n-1)d

…..ซึ่งเราสามารถใช้สูตรพจน์ทั่วไปหาลำดับที่ต้องการของลำดับเลขคณิตได้ เช่น
…….a_{20} = a_{1} + 19d  หรือ  a_{20} = a_{15} + 5d  หรือ  a_{20} = a_{8} + 12d

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดลำดับเลขคณิต  4, 9, 14, 19, . . . จงหาผลบวกของพจน์ที่  10  และพจน์ที่  15
วิธีทำ……จากลำดับเลขคณิต  4, 9, 14, 19, . . . จะได้ a_{1} = 4 และ d = 9-4 = 5
……..a_{10}+a_{15} = (a_{1}+9d) + (a_{1}+14d)
…………………= 2a_{1}+23d = 2(4)+23(5)
…………………= 8+115 = 123

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ที่ 31 ของลำดับเลขคณิต -\frac{1}{20}, -\frac{1}{30}, -\frac{1}{60}, . . . [ONET 51]
วิธีทำจากลำดับ จะได้ d = -\frac{1}{30}- (-\frac{1}{20}) = \frac{-2+3}{60} = \frac{1}{60}
………. a_{31} = a_{1} + 30d
..แทนค่า..a_{31} = (-\frac{1}{20}) + 30(\frac{1}{60}) = -\frac{1}{20} + \frac{10}{20}
………………= \frac{9}{20}

ตัวย่างที่ 3 ถ้าพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 10 ของลำดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลำดับ แล้วพจน์ที่ 99 เท่ากับเท่าใด[ONET 56]
วิธีทำโจทย์กำหนดให้ a_{5} = 14, a_{10} = 29 หา a_{99}
….หา d ; ….a_{10} = a_{5} + 5d
แทนค่า….29 = 14 + 5d
……………….d = 3
และa_{99} = a_{10} + 89d = 29 + 89(3)
……………..= 29 + 267 = 296

ตัวอย่างที่ 4 ลำดับ -24, -15, -6, 3, 12, 21, . . . , 1776 มีกี่พจน์[ONET 57]
วิธีทำจะเห็นว่าแต่ละคู่เพิ่มขึ้นอย่างคงที่ ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต โดยมี d = 9 และ a_{1} = -24
….จะหาว่ามีกี่พจน์ ต้องหาว่า พจน์สุดท้ายคือพจน์ที่เท่าไหร่ โดยแทน a_{n} = พจน์สุดท้าย แล้วแก้หาค่า n
……จากa_{n} = a_{1} + (n-1)d
แทนค่า1776 = -24 + (n-1)(9)
………………..n = \frac{1776+24}{9} + 1 = 200 + 1
………………….= 201

ตัวอย่างที่ 5 ลำดับเลขคณิต -43, -34, -25, . . . มีพจน์ที่มีค่าน้อยกว่า300 อยู่กี่พจน์ [ONET 54]
วิธีทำ….ลำดับเลขคณิต d = (-34)-(-43) = 9
………….พจน์ทั่วไปคือ a_{n} = 9n - 52 จะหา n จาก a_{n} < 300
…….แทนค่า…….9n-52 < 300
…………………………n < \frac{352}{9}
…………………………n < 39.11
….แต่จำนวนพจน์เป็นจำนวนนับ ดังนั้น จำนวนพจน์ที่น้ยกว่า 300 มี 39 พจน์

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริง ถ้า 5-7x, 3x+28, 5x+27, . . . , 2x^3-3x+1 เป็นลำดับเลขคณิต แล้วลำดับนี้มีกี่พจน์ [ONET 57]
วิธีทำหา d  ; ….a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}
……………..(3x+28) - (5-7x) = (5x+27) - (3x+28)
………………..10x+23 = 2x-1
…………………x = -3
แทนค่า จะได้ลำดับเป็น26, 19, 12, . . . , -44
หา n จากสูตร a_{n} = a_{1} + (n-1)d
แทนค่า-44 = 26 + (n-1)(-7)
………………..n = \frac{-44-26}{-7} + 1 = 10 + 1
………………….= 11

…..เพื่อให้นักเรียนมีความเข้าใจเกี่ยวกับการหาพจน์ทั่วไป และพจน์ที่เราต้องการในลำดับเลขคณิต เราลองไปดูคลิปวิดีโอซึ่งสอนโดย อ.ชัยรัตน์ เจษฎารัตติกร (อ.เจี๋ย) ไปดูกันเลยครับ

ลำดับและพจน์ทั่วไป (Sequence and general term)

…….ลำดับ (Sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ที่เรียงกัน n จำนวนแรก หรือโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ลำดับมี 2 ลักษณะ คือ ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์
…….ลำดับจำกัด (finite sequence) คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n จำนวนแรก
…….ลำดับอนันต์ (Infinite sequence) คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
…….นิยมเขียนฟังก์ชันในรูป a_{n} คือใช้ a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n} แทน f(1), f(2), f(3), ..., f(n)  เพื่อให้ทราบว่าเป็นลำดับ (มีโดเมนเป็นจำนวนนับเท่านั้น)  เรียก a_{1} ว่า “พจน์ (term) ที่ 1″ ของลำดับ, เรียก a_{2} ว่า “พจน์ (term) ที่ 2” ของลำดับ, ไปเรื่อย ๆ จนถึงพจน์ที่ n ใด ๆ เขียนแทนด้วย a_{n} จะเรียกว่า พจน์ทั่วไป (general term) ของลำดับ

ตัวอย่างของลำดับ
…..1) 5, 10, 15, 20, …………..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = 5n
…..2) 2, 4, 8, 16, ……………..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = 2^n
…..3) –1, –3, –5, –7, –9, ……..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = 1-2n
…..4) 1, -2, 3, -4, … …………..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = (-1)^{n-1}n

…….การเขียนพจน์ทั่วไปของลำดับ  เป็นการเขียนลำดับที่นิยมกำหนดให้อยู่ในรูปของตัวแปร  n  โดย  n  แทนลำดับที่ของพจน์นั้นเอง  เช่น  a_{n} = 5n  เมื่อแทน  n  ด้วย  1,  2,  3,  4,  5  จะได้ลำดับดังนี้  5,  10,  15,  20,  25

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับ a_{n} = \frac{2-(-1)^nn}{2n+3}[ONET-57]
วิธีทำ…..a_{1} = \frac{2-(-1)^1\cdot 1}{2(1)+3} = \frac{2-(-1)}{2+3} = \frac{3}{5}
…………a_{2} = \frac{2-(-1)^2\cdot 2}{2(2)+3} = \frac{2-(1)2}{4+3} = \frac{0}{7} = 0
…………a_{3} = \frac{2-(-1)^3\cdot 3}{2(3)+3} = \frac{2-(-1)3}{6+3} = \frac{5}{9}
…………a_{4} = \frac{2-(-1)^4\cdot 4}{2(4)+3} = \frac{2-(1)4}{8+3} = -\frac{2}{11}
…………a_{5} = \frac{2-(-1)^5\cdot 5}{2(5)+3} = \frac{2-(-1)5}{10+3} = \frac{7}{13}

ตัวอย่างที่ 2 ผลบวก 3 พจน์แรกของลำดับ a_{n} = \frac{(-1)^{n+1}n}{n+1} เท่ากับเท่าใด [ONET-56]
วิธีทำa_{1} = \frac{(-1)^{1+1}\cdot 1}{1+1} = \frac{(-1)^2\cdot 1}{2} = \frac{1}{2}
………..a_{2} = \frac{(-1)^{2+1}\cdot 2}{2+1} = \frac{(-1)^3\cdot 2}{3} = -\frac{2}{3}
………..a_{3} = \frac{(-1)^{3+1}\cdot 3}{3+1} = \frac{(-1)^4\cdot 3}{4} = \frac{3}{4}
….. ดังนั้นa_{1}+a_{2} + a_{3} = \frac{1}{2}+(-\frac{2}{3})+\frac{3}{4} = \frac{6-8+9}{12} = \frac{7}{12}

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า a_{1} = 2, a_{2} = 1 และ a_{n+2} = a_{n+1}+a_{n} เมื่อ n = 1, 2, 3, ... แล้ว a_{11} เท่ากับเท่าใด [ONET-56]
วิธีทำa_{n+2} = a_{n+1}+a_{n} หมายความว่า แต่ละพจน์จะเท่ากับสองพจน์ก่อนหน้าบวกกันนั่นเอง
………..a_{3} = a_{2}+a_{1} = 1+2 = 3
………..a_{4} = a_{3}+a_{2} = 3+1 = 4
………..a_{5} = a_{4}+a_{3} = 4+3 = 7
…………………\vdots
….จะได้เป็น 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123
……. ดังนั้น a_{11} = 123

ตัวย่างที่ 4 ใน 40 พจน์แรกของลำดับ a_{n} = 3+(-1)^n มีกี่พจน์ ที่มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 40 [ONET-53]
วิธีทำพจน์ที่ 40 หรือ a_{40} = 3+(-1)^{40} = 3+1 = 4
………. พจน์ที่จะมีค่าเท่ากับ พจน์ที่ 40 จะต้องเป็นพจน์ของลำดับเลขคู่ เพราะจะต้องทำให้ (-1)^n = 1 เหมือนพจน์ที่ 40  ดังนั้น คำตอบคือจำนวนคู่ตั้งแต่ 2 จนถึง 40 นั่นเอง
……..จะได้เป็น a_{2}, a_{4}, a_{6}, . . . , a_{40} มีทั้งหมด 20 พจน์

ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลบวก 4 พจน์แรกของลำดับ a_{n} =\frac{2^{n+1}+(-1)^n}{3} [โควตา มช.52]
วิธีทำa_{1} = \frac{2^{1+1}+(-1)^1}{3} = \frac{2^2+(-1)}{3} = \frac{3}{3} = 1
………..a_{2} = \frac{2^{2+1}+(-1)^2}{3} = \frac{2^3+(1)}{3} = \frac{9}{3} = 3
………..a_{3} = \frac{2^{3+1}+(-1)^3}{3} = \frac{2^4+(-1)}{3} = \frac{15}{3} = 5
………..a_{4} = \frac{2^{4+1}+(-1)^4}{3} = \frac{2^5+(1)}{3} = \frac{33}{3} = 11
…..ดังนั้นa_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} = 1+3+5+11 = 20

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดลำดับ \frac{4}{3}, \frac{5}{6}, \frac{6}{9}, \frac{7}{12}, . . . จงหาพจน์ทั่วไป [NT]
วิธีทำa_{1} = \frac{4}{3} = \frac{1+3}{3(1)}
………..a_{2} = \frac{5}{6} = \frac{2+3}{3(2)}
………..a_{3} = \frac{6}{9} = \frac{3+3}{3(3)}
………..a_{4} = \frac{7}{12} = \frac{4+3}{3(4)}
…………….\vdots
………..a_{n} = \frac{n+3}{3n}

……เป็นอย่างไรบ้างครับ พอจะเข้าใจความหมายของลำดับและพจน์ทั่วไปกันบ้างไหมเอ่ย เพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้นเรามาลองดูจากคลิปวิดีโอกันต่อเลยครับ

การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม

…….การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม ทำได้ในลักษณะเดียวกันกับการหาคำตอบของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวและสมการกำลังสองตัวแปรเดียว แต่มีข้อควรระวัง คือ ในการนำพหุนามมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ตัวส่วนของแต่ละเศษส่วนของพหุนามเป็น 1 พหุนามเหล่านั้นต้องไม่เป็นศูนย์ หรือสรุปเป็นขั้นตอนง่าย ๆ ได้ดังนี้ครับ
…….1) นำ ค.ร.น. ของส่วนคูณตลอด เพื่อทำส่วนให้เป็น 1
…….2) ย้ายข้างให้ข้างหนึ่งเป็น 0
…….3) แยกตัวประกอบหาค่าตัวแปร โดยที่ค่าตัวแปรต้องไม่ทำให้ส่วนเป็น 0
เราไปลองดูจากตัวอย่างกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ \frac{x-8}{x-10}+\frac{x-4}{x-6} = \frac{x-5}{x-7}+\frac{x-7}{x-9}
วิธีทำจัดรูปสมการใหม่ โดยการลดทอน จะได้
…….\frac{(x-10)+2}{x-10}+\frac{(x-6)+2}{x-6} = \frac{(x-7)+2}{x-7}+\frac{(x-9)+2}{x-9}
……..1+\frac{2}{x-10}+1+\frac{2}{x-6} = 1+\frac{2}{x-7}+1+\frac{2}{x-9}
……………\frac{2}{x-10}+\frac{2}{x-6} = \frac{2}{x-7}+\frac{2}{x-9}
หารด้วย 2 ; \frac{1}{x-10}+\frac{1}{x-6} = \frac{1}{x-7}+\frac{1}{x-9}
…………..\frac{(x-6)+(x-10)}{(x-6)(x-10)} = \frac{(x-9)+(x-7)}{(x-7)(x-9)}
…………….\frac{2x-16}{(x-6)(x-10)} = \frac{2x-16}{(x-7)(x-9)}
……จากสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ มีตัวเศษเท่ากัน แต่ตัวส่วน (ตัวหาร) ไม่เท่ากัน และมีผลลัพธ์เท่ากัน แสดงว่าตัวเศษต้องเป็น 0 เท่านั้น จึงจะทำให้ทั้งสองข้างเท่ากัน  ดังนั้น
……………2x-16 = 0
…………………….x = 8

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้  \frac{2}{(x-y)(x-z)}+\frac{2}{(z-x)(z-y)}-\frac{2}{(y-z)(y-x)} = \frac{c}{(x-y)(y-z)} เมื่อ.. c ..เป็นค่าคงตัว  แล้ว.. c.. มีค่าเท่ากับเท่าใด (สมาคม 51)
วิธีทำ จัดรูปสมการใหม่ ได้เป็น -\frac{2}{(x-y)(z-x)}-\frac{2}{(z-x)(y-z)}+\frac{2}{(y-z)(x-y)} = \frac{c}{(x-y)(y-z)}
…………นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ (x-y)(y-z)(z-x) คูณตลอด จะได้เป็น
…………….-2(y-z)-2(x-y)+2(z-x) = c(z-x)
…………….-2y+2z-2x+2y+2z-2x = c(z-x)
………………4z-4x = c(z-x)
……………..4(z-x) = c(z-x)
………………………c = 4

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ (x^2+\frac{1}{x^2})^2+3(x^2+\frac{1}{x^2})-10 = 0(สมาคม 52)
วิธีทำ กำหนดให้ A = x^2+\frac{1}{x^2}
…….จะได้ …..A^2+3A-10 = 0
…………….(A+5)(A-2) = 0
…………………A = 2, -5  (ค่าลบใช้ไม่ได้)
…..แทนค่ากลับ…..x^2+\frac{1}{x^2} = 2
นำ x^2 คูณตลอด x^4+1 = 2x^2
………………x^4-2x^2+1 = 0
…………..(x^2-1)(x^2-1) = 0
……………………x^2 = 1
……………………..x = 1, -1

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ \frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{7}{3} (สมาคม 55)
วิธีทำ จากสมการ ..\frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{7}{3}
…..จะได้…..\frac{x(x+1)+(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{7}{3}
…………………….\frac{2x^2-x+1}{x^2-1} = \frac{7}{3}
………………….6x^2-3x+3 = 7x^2-7
…………………x^2+3x-10 = 0
………………..(x-2)(x+5) = 0
…………………………x = 2, -5

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า  \frac{5x-21}{x-4}+\frac{8x-10}{2x-3} = \frac{6x-23}{2x-7}+\frac{6x-5}{x-1} แล้ว x^2-x  มีค่าเท่าใด
วิธีทำ จากสมการ \frac{5x-21}{x-4}+\frac{8x-10}{2x-3} = \frac{6x-23}{2x-7}+\frac{6x-5}{x-1}
…………\frac{5(x-4)-1}{x-4}+\frac{4(2x-3)+2}{2x-3} = \frac{3(2x-7)-2}{2x-7}+\frac{6(x-1)+1}{x-1}
…………5-\frac{1}{x-4}+4+\frac{2}{2x-3} = 3-\frac{2}{2x-7}+6+\frac{1}{x-1}
………………..\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-1}-\frac{2}{2x-7}
………………\frac{(2x-8)-(2x-3)}{(2x-3)(x-4)} = \frac{(2x-7)-2(x-1)}{(x-1)(2x-7)}
…………………\frac{-5}{(2x-3)(x-4)} = \frac{-5}{(x-1)(2x-7)}
……………(x-1)(2x-7) = (2x-3)(x-4)
……………2x^2-9x+7 = 2x^2-11x+12
…………………………..2x = 5
…………………………….x = \frac{5}{2}
……ดังนั้น…..x^2-x = (\frac{5}{2})^2-\frac{5}{2} = \frac{25}{4}-\frac{5}{2} = \frac{15}{4}

…….สมการเศษส่วนของพหุนามบางรูปก็จัดให้อยู่ในกลุ่มของสมการกำลังสอง การแก้ทำได้โดยการบวกทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ จะได้ x มีเลขชี้กำลังเป็น 2 สมการลักษณะนี้ถ้านำเฉพาะตัวส่วนมาจับคู่บวกกันเพื่อให้ผลบวกเท่ากัน นำผลบวกที่เท่ากันนี้ให้เท่ากับ 0 จะได้ค่า x เป็นคำตอบ ไปดูตัวอย่างกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่า x จากสมการ \frac{x-5}{x-6}-\frac{x-6}{x-7} = \frac{x-1}{x-2} - \frac{x-2}{x-3}
วิธีทำ จัดรูปใหม่\frac{x-5}{x-6}+\frac{x-2}{x-3} = \frac{x-1}{x-2} + \frac{x-6}{x-7}
………. (x-6)+(x-3)  เท่ากันกับ (x-7)+(x-2)  โดยมีผลลัพธ์เท่ากับ 2x-9
………..ดังนั้น….2x-9 = 0
………………………..x = \frac{9}{2}

ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่า x จากสมการ \frac{x+5}{x+4}-\frac{x-6}{x-7} = \frac{x-4}{x-5} - \frac{x-15}{x-16}
วิธีทำ จัดรูปใหม่\frac{x+5}{x+4}+\frac{x-15}{x-16} = \frac{x-4}{x-5} + \frac{x-6}{x-7}
………. (x+4+(x-16)  เท่ากันกับ (x-7)+(x-5)  โดยมีผลลัพธ์เท่ากับ 2x-12
………..ดังนั้น….2x-12 = 0
………………………..x = 6

ตัวอย่างที่ 8 รากของสมการ \frac{x-7}{x-9}-\frac{x-9}{x-11} = \frac{x-13}{x-15} - \frac{x-15}{x-17} มีค่าเท่าใด
วิธีทำ จัดรูปใหม่\frac{x-7}{x-9}+\frac{x-15}{x-17} = \frac{x-13}{x-15} + \frac{x-9}{x-11}
………. (x-9)+(x-17)  เท่ากันกับ (x-15)+(x-11)  โดยมีผลลัพธ์เท่ากับ 2x-26
………..ดังนั้น….2x-26 = 0
…………………………..x = 13

…….จากตัวอย่างข้างต้น เราจะพบว่าการแก้สมการเศษส่วนของพหุนามนั้นไม่ยากเลยใช่ไหมครับ เพื่อความเข้าใจยิ่งขึ้นให้นักเรียนลองฝึกฝนและซ้อมโจทย์แบบฝึกหัดเยอะ ๆ นะครับ

การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

การบวกและการลบเศษสวนของพหุนาม ทำได้เช่นเดียวกันกับการบวกและการลบเศษส่วน ซึ่งมีหลักเกณฑ์ ดังต่อไปนี้
…….\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}  เมื่อ c\neq 0
…….\frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} เมื่อ c\neq 0
และเราจะเขียนผลลัพธ์เป็นเศษส่วนของพหุนามในรูปอย่างง่าย

ลองแสดงการหาคำตอบในข้อ 1 – 4 แล้วใช้วิธีเดียวกันนี้หาคำตอบในข้อ 5-8 ลองดูครับ
…..1... \frac{2}{3}+\frac{2}{3}…………………….5... \frac{1}{x}+\frac{2}{x}

…..2... \frac{5}{6}-\frac{1}{6}…………………….6... \frac{3x^2}{5}+\frac{x}{5}

…..3... \frac{3}{4}+\frac{4}{5}…………………….7... \frac{3x}{y}-\frac{3}{y}

…..4... \frac{2}{5}-\frac{1}{7}+\frac{3}{5}……………….8... \frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x^3}

เป็นอย่างไรบ้างครับทำได้ไหมเอ่ย ? เราจะพบว่าในการหาผลบวกหรือผลต่างของสองจำนวนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากัน ดังเช่นข้อ 3, 4, 7 และ 8 เราจะต้องหา ค.ร.น.ของส่วนก่อน เพื่อให้มีตัวส่วนเท่ากัน จากนั้นก็ดำเนินการต่อไป ลองมาพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ \frac{a}{a^2-16}+\frac{a-1}{a^2-5a+4}
วิธีทำ.….\frac{a}{a^2-16}+\frac{a-1}{a^2-5a+4} = \frac{a}{(a+4)(a-4)}+\frac{a-1}{(a-4)(a-1)}
………………= \frac{a}{(a+4)(a-4)}+\frac{1}{(a-4)}
……… ค.ร.น. ของ ส่วน คือ (a-4)(a+4)
…….ดังนั้น \frac{a}{(a+4)(a-4)}+\frac{1}{(a-4)}=\frac{a}{(a+4)(a-4)}+\frac{a+4}{(a-4)(a+4)}
………………………….=\frac{a+(a+4)}{(a+4)(a-4)}
………………………….=\frac{2a+4}{(a+4)(a-4)}

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ \frac{1}{4x-4}+\frac{1}{2x^2-2}-\frac{1}{4x+4}
วิธีทำ…..แยกตัวประกอบ \frac{1}{4x-4}+\frac{1}{2x^2-2}-\frac{1}{4x+4}
……..จะได้…….= \frac{1}{4(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)(x-1)}-\frac{1}{4(x+1)}
………………….= \frac{(x+1)+2-(x-1)}{4(x-1)(x+1)}
………………… = \frac{4}{4(x-1)(x+1)}
………………… = \frac{1}{(x-1)(x+1)}

ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}
วิธีทำ พิจารณา b-a = -a+b = -(a-b)
………………. a-c = -c+a = -(c-a)
……………….. c-b = -b+c = -(b-c)
…..จะได้ …..\frac{1}{(a-b)[-(c-a)]}+\frac{1}{(b-c)[-(a-b)]}+\frac{1}{(c-a)[-(b-c)]}
……………….. = -\frac{1}{(a-b)(c-a)}-\frac{1}{(b-c)(a-b)}-\frac{1}{(c-a)(b-c)}
……………….. = \frac{-(b-c)-(c-a)-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}
………………. = \frac{-b+c-c+a-a+b}{(a-b)(b-c)(c-a)}
………………. = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}
………………. = 0

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลสำเร็จของ \frac{2x+1}{2x^2+3x+1} - \frac{2x-1}{2x^2-3x+1} + \frac{2x^2}{x^2-1}
วิธีทำ……= \frac{2x+1}{(2x+1)(x+1)} - \frac{2x-1}{(2x-1)(x-1)} + \frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}
…………..= \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}
…………..= \frac{(x-1)-(x+1)+2x^2}{(x+1)(x-1)}
…………..= \frac{2x^2-2}{(x+1)(x-1)}
…………..= \frac{2(x^2-1)}{(x+1)(x-1)}
…………..= \frac{2(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}
…………..= 2

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ \frac{y+2}{y^2-3y-10}-\frac{y-1}{y^2-2y-15} = \frac{Ay+B}{2y^2-4y-30} แล้ว A+B มีค่าเท่าใด
วิธีทำ…..\frac{y+2}{y^2-3y-10}-\frac{y-1}{y^2-2y-15} = \frac{Ay+B}{2y^2-4y-30}
………….\frac{y+2}{(y-5)(y+2)}-\frac{y-1}{(y-5)(y+3)} = \frac{Ay+B}{2(y-5)(y+3)}
………….\frac{1}{y-5}-\frac{y-1}{(y-5)(y+3)} = \frac{Ay+B}{2(y-5)(y+3)}
………….\frac{(y+3)-(y-1)}{(y-5)(y+3)} = \frac{Ay+B}{2(y-5)(y+3)}
………….\frac{4}{(y-5)(y+3)} = \frac{Ay+B}{2(y-5)(y+3)}
………….\frac{8}{(y-5)(y+3)} = \frac{Ay+B}{(y-5)(y+3)}
…….เทียบ สปส. จะได้ A = 0 และ B = 8 ดังนั้น A+B = 8

…..เป็นอย่างไรบ้างครับ พอจะเข้าใจเกี่ยวกับการบวกและการลบศษส่วนของพหุนามบ้างไหมเอ่ย ซึ่งเรื่องนี้จะเป็นพื้นฐานของการแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม ซึ่งมีประโยชน์มาก ดังนั้นเพื่อเป็นการตรวจสอบความเข้าใจให้นักเรียนดูคลิปวิดีโอแล้วลองทำแบบฝึกหัดดูนะครับ

ดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 2.2 การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

……..ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์บางสถานการณ์ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการหรือระบบสมการ ซึ่งบางสมการอาจเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนาม การหาคำตอบของสมการที่อยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนามต้องอาศัยการบวก ลบ คูณ และการเศษส่วนของพหุนาม ความสามารถในการคำนวณและการดำเนินการเกี่ยวกับเศษส่วนของพหุนามจึงเป็นทักษะที่สำคัญเพื่อใช้ในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนและการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น
…….ในวันนี้เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับการดำเนินการของเศษส่วนของหุนาม 2 เรื่องด้วยกันคือ “การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม” ซึ่งมีหลักเกณฑ์เช่นเดียวกับการคูณและการหารเศษส่วน ดังนี้

………….1)  \frac{P}{Q}\times \frac{R}{S} = \frac{P\times R}{Q\times S}
………….2) \frac{P}{Q}\div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q}\times \frac{S}{R}

……. นิยมเขียนผลคูณและผลหารที่ได้ ให้เป็นเศษส่วนของพหุนามในรูปผลสำเร็จหรือรูปอย่างง่าย (Simplify) ลองไปดูตัวอย่างกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณของ \frac{2x^3+3x^2-27x}{x-3}\times \frac{x^2-25}{2x^2-x-45}  (สมาคม 30)
วิธีทำ……. \frac{2x^3+3x^2-27x}{x-3}\times \frac{x^2-25}{2x^2-x-45} = \frac{x(2x^2+3x-27)}{x-3}\times \frac{x^2-25}{2x^2-x-45}
………………………………………..= \frac{x(2x+9)(x-3)}{x-3}\times \frac{(x+5)(x-5)}{(2x+9)(x-5)}
………………………………………..= x(x+5)

ตัวอย่างที่ 2 \frac{x^2-y^2}{x-y}\times \frac{x+y}{x^3+y^3}\times \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)^2} ผลลัพธ์เป็นเท่าใด (สมาคม 29)
วิธีทำ\frac{x^2-y^2}{x-y}\times \frac{x+y}{x^3+y^3}\times \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)^2}
………….= \frac{(x-y)(x+y)}{x-y}\times \frac{x+y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}\times \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)(x+y)}
………….= \frac{1}{x+y}

ตัวอย่างที่ 3 จงทำ \frac{3x^2+7x-6}{x^3+3x^2+9x}\times \frac{6x^3+54x}{2x^4-162}\div \frac{27x^2-12}{x^3-27}  ให้อยู่ในรูปอย่าาง่าย  (สมาคม 34)
วิธีทำ เขียนใหม่ได้เป็น \frac{3x^2+7x-6}{x^3+3x^2+9x}\times \frac{6x^3+54x}{2x^4-162}\times \frac{x^3-27}{27x^2-12}
…………………= \frac{(3x-2)(x+3)}{x(x^2+3+9)}\times \frac{6x(x^2+9)}{2(x^4-81)}\times \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{3(9x^2-4)}
…………………= (3x-2)(x+3)\times \frac{3(x^+9)}{(x^2+9)(x^2-9)}\times \frac{x-3}{3(3x+2)(3x-2)}
…………………= \frac{1}{3x+2}

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลหารของ \frac{a^2-4a-21}{a^2-49} \div \frac{a^3+27}{a^2+9a+14} (สมาคม 32)
วิธีทำเขียนใหม่ได้เป็น..\frac{a^2-4a-21}{a^2-49} \times \frac{a^2+9a+14}{a^3+27}
………………..= \frac{(a-7)(a+3)}{(a-7)(a+7)}\times \frac{(a+7)(a+2)}{(a+3)(a^2-3a+9)}
………………..= \frac{a+2}{a^2-3a+9}

ตัวอย่างที่ 5 จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย \frac{c^3-8}{c+3} \div \left ( \frac{c-2}{4c}\times \frac{8c^4}{c^2+3c} \right )
วิธีทำ …..= \frac{c^3-8}{c+3} \times \frac{4c(c^2+3c)}{8c^4(c-2)}
………….= \frac{c^3-8}{c+3} \times \frac{c^2+3c}{2c^3(c-2)}
………….= \frac{(c-2)(c^2+2c+4)}{c+3} \times \frac{c(c+3)}{2c^3(c-2)}
………….= \frac{c^2+2c+4}{2c^2}

…….เป็นอย่างไรกันบ้างครับ พอจะเข้าใจเกี่ยวกับการคูณและการหารเศษส่วนของพหุนามกันบ้างไหมครับ  อย่าเพิ่งท้อหรืออย่าเพิ่งมองว่ายากเกินไปนะครับ ลองศึกษารายละเอียดอีกครั้งนะครับหรือลองดูจากวิดีโอต่อไปนี้ครับ

เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้น ให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดทำลองดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง

…….ในตอนที่แล้ว เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับการแก้ “ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง” ซึ่งจะใช้วิธีแทนค่าตัวแปรในการแก้สมการหาคำตอบ ในตอนนี้เราจะมาเรียนรู้เกี่บวกับการแก้ “ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง” ซึ่งสามารถทำได้โดยทั้งวิธีแทนค่าตัวแปร และวิธีกำจัดตัวแปร ไปดูตัวอย่างกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ x^2+y^2 = 25 และ x^2+y = 19 คำตอบของระบบสมการนี้เท่ากับเท่าใด (สมาคม 54)
วิธีทำ …………………………….x^2+y^2=25……….………..(1)
…………………………………….x^2+y = 19……….………(2)
……..จาก (1) – (2) จะได้…….y^2-y = 6.
………     ………………………y^2-y-6 = 0
………………………………..(y-3)(y+2)= 0
……………………………….y = 3, -2
…….แทน y = 3 ลงใน (1)
…………….จะได้x^2 = 25-(3)^2 = 16
…………………………x = 4, -4
…….แทน y = -2 ลงใน (1)
…………….จะได้x^2 = 25-(-2)^2 = 21
………………………..x = \sqrt{21}, -\sqrt{21}
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ (4, 3), (-4, 3), (\sqrt{21}, -2), (-\sqrt{21}, -2)

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้ระบบสมการ 2x^2+3xy = 26 และ 3y^2+2xy = 39
วิธีทำ ……………..2x^2+3xy = 26……….………..(1)
……………………….3y^2+2xy = 39……….………(2)
…..จาก (1) ………x(2x+3y) = 26……….………..(3)
…..จาก (2) ………y(2x+3y) = 39……….………..(4)
……นำ (3) ÷ (4) ………\frac{x}{y} = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}
……………………………y = \frac{3x}{2}………..…………(5)
……แทนค่า y จาก (5) ลงใน (1)
……………….2x^2+3x(\frac{3x}{2}) = 26
……………………..\frac{13x^2}{2} = 26
………………………x^2 = 4
……………………….x = 2, -2
……..แทนค่า x = 2 ใน (5) จะได้  y= 3
……..แทนค่า x = -2 ใน (5) จะได้  y= -3
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ (2, 3), (-2, -3)

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า x และ y สอดคล้องกับสมการ 3x^2+4y^2-6xy+3x+3y = 100 และ4x^2-3y^2-8xy+4x-y = -50 แล้ว y มีค่าเท่ากับเท่าใด (สมาคม 51)
วิธีทำ ……………..3x^2+4y^2-6xy+3x+3y = 100……….………..(1)
……………………….4x^2-3y^2-8xy+4x-y = -50……….………(2)
……นำ (1) × 4 ………12x^2+16y^2-24xy+12x+12y = 400……….………..(3)
……นำ (2) × 3 ………12x^2-9y^2-24xy+12x-3y = -150……….………..(4)
……นำ (3) – (4) ………25y^2+15y = 550
…………………………….25y^2+15y - 550 = 0
เอา 5 หารตลอด จะได้5y^2+3y - 110 = 0
…………………………..(5y-22)(y+5) = 0
……………………………………………y = -5, \frac{22}{5}

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ x^4+x^2y^2+y^4 = 25 และx^2-xy+y^2 = 3 แล้ว x+y มีค่าเท่ากับเท่าใด (สมาคม 53)
วิธีทำ ……………..x^4+x^2y^2+y^4 = 25……….………..(1)
……………………….x^2-xy+y^2 = 3……….………(2)
…..จาก (1) ..(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2) = 25……….………..(3)
……นำ (3) ÷ (2) ………x^2+xy+y^2 = \frac{25}{3}……….………..(4)
……นำ (4) – (2) ………2xy = \frac{16}{3}.
 …………………………….xy = \frac{8}{3}……….………..(5)
……นำ (4) + (5) ………x^2+2xy+y^2 = \frac{33}{3} = 11
…………………………………(x+y)^2 = 11
…………………………………x+y = \sqrt{11}, -\sqrt{11}
………เนื่องจาก x,y เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น x+y = \sqrt{11}

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้ระบบสมการ x^2y^2z = 18,…x^2yz^2 = -36 และ xy^2z^2 = 12  (สมาคม 52)
วิธีทำ……………พิจารณาระบบสมการ
……………………………x^2y^2z = 18……………….(1)
……………………………x^2yz^2 = -36………………(2)
…………………………..xy^2z^2 = 12…………………(3)
นำ (1)×(2)×(3) ได้… x^5y^5z^5 = 18(-36)12 = -(2\times 3)^5
……………………………xyz = -6
…………………………..x^2y^2z^2 = 36………………(4)
…..นำ (4) ÷ (3) ได้………..x = 3
…..นำ (4) ÷ (2) ได้………..y = -1
…..นำ (4) ÷ (1) ได้………..z = 2
………ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ x = 3, y=-1, z = 2

……เป็นอย่างไรกันบ้างครับพอจะเข้าใจเกี่ยวกับการแก้ “ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง” กันบ้างไหม ถ้ายังไม่เข้าใจลองดูคลิปวิดีโอต่อไปนี้ครับ

เพื่อเป็นการทดสอบความเข้าใจ ให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 1.2 ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ ไปฝึกทำเลยกันนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> 1.2 ระบบสมการที่ประกบอด้วยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

……. ในวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ระดับชั้น ม.3 ภาคเรียนที่ 1 นักเรียนเคยเรียนเรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวมาแล้ว ซึ่งการแก้มี 2 วิธี ได้แก่ การแทนค่าตัวแปร และกำจัดตัวแปร ในเรื่องนี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัว และเลขชี้กำลังของตัวแปรไม่เกินสอง ซึ่งวันนี้จะเป็นหัวข้อแรก นั่นคือ การแก้ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง ซึ่งจะมีหลักการแก้ ดังนี้คือ
……. 1) จากสมการเชิงเส้น หาค่าของตัวแปร y ในรูปของตัวแปร x (หรือหาค่าของตัวแปร x ในรูปของตัวแปร y)
……. 2) แทนค่าของ y (หรือ x) ที่หาได้ในข้อ 1) ในสมการดีกรีสอง จะได้สมการกำลังสองที่มีตัวแปร x (หรือ y) เพียงอย่างเดียว แก้สมการกำลังสองนี้หาค่าของ x (หรือ y)
……. 3) แทนค่าของ x (หรือ y) ที่ได้ในข้อ 2 ในสมการที่แสดงค่าของ y ในรูปของ x (หรือแสดงค่าของ x ในรูปของ y) จะได้ค่าของ y (หรือ x)

เราลองไปฝึกการแก้ “ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง” กันเลยครับ ตามตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ  x+y=16 และ  xy = 63
วิธีทำ……………………………..x+y=16……….………..(1)
…………………………………….xy = 63……….………(2)
……..จาก (1) จะได้………..y= 16-x…………………(3)
……..แทนค่า y จาก (3) ลงใน (2)
………จะได้………………….x(16-x) = 63
………………………………..16x-x^2 = 63
………………………….x^2-16x+63 = 0
……………………..(x-9)(x-7) = 0
……………………………..x = 7, 9
…..แทนค่า  x จาก (3) จะได้  ….y = 9, 7 ..ตามลำดับ
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ  (7, 9) และ (9, 7)

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้ระบบสมการ  x-y^2=0 และ  x+2y = 1
วิธีทำ……………………………..x-y^2=0……….………..(1)
…………………………………….x+2y = 1……….………(2)
……..จาก (2) จะได้………..x= 1-2y…………………(3)
……..แทนค่า x จาก (3) ลงใน (1)
………จะได้………………….(1-2y)-y^2 = 0
………………………………..y^2+2y-1= 0
……………………………….y = \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)}
……………………………….y = \frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2} = -1\pm\sqrt{2}
…….แทน y = -1+\sqrt{2} ลงใน (3)
…………….จะได้x = 1-2(-1+\sqrt{2}) = 3-2\sqrt{2}
…….แทน y = -1-\sqrt{2} ลงใน (3)
…………….จะได้x = 1-2(-1-\sqrt{2}) = 3+2\sqrt{2}
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ (3-2\sqrt{2}, -1+\sqrt{2}) และ (3+2\sqrt{2}, -1-\sqrt{2})

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้ระบบสมการ  x^2+xy+y^2=3 และ  x+y = 1
วิธีทำ……………………………..x^2+xy+y^2=3……….………..(1)
…………………………………….x+y = 1……….………(2)
……..จาก (2) จะได้………..y= 1-x…………………(3)
……..แทนค่า y จาก (3) ลงใน (1)
………จะได้…………x^2+x(1-x)+(1-x)^2 = 3
………………………….x^2+x-x^2+1-2x+x^2 = 3
………………………….x^2-x-2 = 0
……………………..(x-2)(x+1) = 0
……………………………..x = 2, -1
…..แทนค่า  x จาก (3) จะได้  ….y = -1, 2 ..ตามลำดับ
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ  (2, -1) และ (-1, 2)

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า x และ y เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับระบบสมการ  2x-3y=6 และ  x^2+y+2 = 0 แล้วคำตอบของระบบสมการนีัเป็นเท่าใด (สมาคม 54)
วิธีทำ……………………………..2x-3y=6……….………..(1)
…………………………………….x^2+y+2 = 0……….………(2)
……..จาก (1) จะได้………..x = \frac{3y+6}{2}…………………(3)
……..แทนค่า x จาก (3) ลงใน (2)
………จะได้……………(\frac{3y+6}{2})^2+y+2 = 0
……………………\frac{9y^2+36y+36}{4}+y+2 = 0
…………………………9y^2+36y+36+4y+8 = 0
………………………….9y^2+40y+44 = 0
……………………..(9y+22)(y+2) = 0
……………………………..y = -\frac{22}{9}, -2 แต่ -\frac{22}{9}  ใช้ไม่ได้
…..แทนค่า  y = -2 จาก (3) จะได้  ….x = 0
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการที่เป็นจำนวนเต็ม คือ  (0, -2)

ตัวอย่างที่ 5 จงหาจุดตัดของกราฟของสมการ  x^2-6x+y^2=7 และ  4x-7y = 28
วิธีทำ…..จุดตัดของกราฟของสมการทั้งสอง หาได้จากการแก้ระบบสมการ
…………………………………..x^2-6x+y^2=7……….………..(1)
…………………………………….4x-7y = 28……….………(2)
……..จาก (2) จะได้………..y = \frac{4x-28}{7}…………………(3)
……..แทนค่า y จาก (3) ลงใน (1)
………จะได้….x^2-6x+(\frac{4x-28}{7})^2 = 7
…………………..x^2-6x+\frac{16x^2-224x+784}{49} = 7
……………………49x^2-294x+16x^2-224x+784 = 343
……………………..65x^2-518x+441 = 0
……………………..(65x-63)(x-7) = 0
……………………………..x = \frac{63}{65}, 7
…..แทนค่า  x จาก (3) จะได้  ….y = -\frac{224}{65}, 0 ..ตามลำดับ
……. ดังนั้น จุดตั้ดของกราฟทั้งสอง คือ  (\frac{63}{65}, -\frac{224}{65}) และ (7, 0)

เป็นอย่างไรกันบ้างครับพอจะเข้าใจเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสองกันไหม ถ้ายังไม่เข้าใจลองดูคลิปวิดีโอต่อไปนี้ครับ

เพื่อเป็นการทดสอบความเข้าใจ ให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 1.1 ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง ไปฝึกทำเลยกันนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 1.1 ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

 

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีใช้สูตร

…….การหาคำตอบของสมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไป ax^2+bx+c = 0 สามารถทำได้โดย 1) แยกตัวประกอบ 2) แก้โดยทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แต่ในบางครั้งถ้าเราต้องการความรวดเร็วและสะดวก อาจจะใช้สูตรสำเร็จ (formula) เข้าช่วย ซึ่งได้มาจากการใช้ความรู้เกี่ยวกับกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างของกำลังสอง ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ ดังนี้
………………….ax^2+bx+c = 0
…….หารด้วย a ;……..x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
…………….x^2+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
…………………….(x+\frac{b}{2a})^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}
………………………..x+\frac{b}{2a}= \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
.
……………………………..x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}…………. จำสูตรนี้ให้ได้นะครับ !!! 

คำตอบที่ได้มี 2 คำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac > 0
………………มี 1 คำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac = 0
……………..ไม่มีคำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac < 0

……..ถ้ากำหนด \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} และ \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} เท่ากับ \alpha และ \beta ตามลำดับ และเรียก \alpha และ \beta เป็น รากของสมการ (roots of equations) จะได้ว่า
……. ผลบวกของราก \alpha +\beta = -\frac{b}{a}
……. ผลคูณของราก \alpha\beta = \frac{c}{a}

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 2x^2-3x-4 = 0
วิธีทำ……………..a = 2, b = -3, c= -4
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-4)}}{2\cdot 2}
……………………….= \frac{3\pm \sqrt{9+32}}{4}
………………………= \frac{3\pm \sqrt{41}}{4}
…………..ดังนั้น…..x = \frac{3+ \sqrt{41}}{4}, \frac{3- \sqrt{41}}{4}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 9x^2-30x+25 = 0
วิธีทำ……………..a = 9, b = -30, c= 25
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-(-30)\pm \sqrt{(-30)^2-4\cdot 9\cdot 25}}{2\cdot 9}
……………………….= \frac{30\pm \sqrt{900-900}}{18}
………………………= \frac{30}{18} = \frac{5}{3}
…………..ดังนั้น…..x = \frac{5}{3}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+4x+13 = 0
วิธีทำ……………..a = 1, b = 4, c= 13
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 13}}{2\cdot 1}
……………………….= \frac{-4\pm \sqrt{16-52}}{2}
………………………= \frac{4\pm \sqrt{-36}}{2}
………….เนื่องจาก ..b^2-4ac < 0ดังนั้น ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

ตัวอย่างที่ 4 กำหนด 2x^2-7x+4 = 0 จงหาผลบวกของค่า x และผลคูณของค่า x
วิธีทำ……..a = 2, b=-7, c=4
…………….ผลบวกของค่าx = -\frac{b}{a} = \frac{7}{2}
……………ของคูณของค่าx = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่า k ซึ่งจะทำให้สมการ 2x^2-7x+3k = 0 มีรากทั้งสองมีค่าเท่ากัน
วิธีทำ…….ax^2+bx+c = 0 มีรากทั้งสองเท่ากัน เมื่อ b^2-4ac = 0
……………2x^2-7x+3k = 0มีรากทั้งสองเท่ากัน
……………………จะได้ …..(-7)^2-4(2)(3k) = 0
……………………………….49-24k = 0
…………………………………x = \frac{49}{24}

ตัวอย่างที่ 6 ถ้า \alpha และ \beta เป็นรากของสมการ 2x^2+5x+1 = 0 จงหาค่าของ (\alpha -2)(\beta -2)
วิธีทำ…….2x^2+5x+1 = 0มีรากเท่ากับ ..\alpha และ \beta
………….ดังนั้น\alpha +\beta = -\frac{5}{2}และ\alpha\beta = \frac{1}{2}
……….(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha \beta -2\alpha -2\beta +4
……….(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha \beta -2\alpha -2\beta +4
…………………………..= \frac{1}{2}-2(-\frac{5}{2})+4
…………………………..= \frac{1}{2}+5+4
…………………………..= 9\frac{1}{2}

ตัวอย่างที่ 7 ถ้า  r_{1} และ r_{2}  เป็นรากของสมการ 6x^2-7x-3 = 0 แล้ว  ค่า k ที่ทำให้  \frac{1}{r_{1}} และ   \frac{1}{r_{2}}  เป็นรากของสมการ  x^2+kx-2 = 0 เป็นเท่าใด
วิธีทำ……จากสมการ6x^2-7x-3 = 0
…………จะได้…….(3x+1)(2x-3) = 0
…………………………..x = \frac{3}{2}, -\frac{1}{3}
……ดังนั้นr_{1} และ r_{2}  คือ \frac{2}{3}, -3  เป็นรากของ x^2+kx-2 = 0
……….จะได้…..(3x-2)(x+3) = 0
……………………3x^2+7x-6 = 0
……นำ..3..หารตลอดx^2+\frac{7}{3}x-2 = 0
………………ดังนั้น…..k = \frac{7}{3}

ลองศึกษาคลิปวิดีโอจาก YouTube อีกครั้งนะครับ เพื่อให้เกิดความเข้าใจยิ่งขึ้น หากมีความสงสัยหรือต้องการซักถามเพิ่มเติม ฝากคำถามไว้เลยนะครับ หรือทางข้อความผ่าน Facebook @ krupraiwan ตามลิงค์เลยนะครับ

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์

…….ในครวที่แล้วได้กล่าวถึง  การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ ซึ่งหาได้จากพหุนามที่เราแยกตัวประกอบได้ แต่ในการหาคำตอบของสมการ ax^2+bx+c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว  และ a \neq 0 นั้น ในบางครั้งไม่สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม  ax^2+bx+c  ได้โดยง่ายดังเช่นที่ผ่านมา ในกรณีเช่นนี้เราอาจใช้ความรู้ในเรื่องกำลังสองสมบูรณ์ มาช่วยในการแก้สมการนี้
…….หลักการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
…….1. ทำสัมประสิทธิ์ของ ..x^2 ..ให้เป็น.. 1..ก่อน
…….2. จัดให้พจน์อิสระ คือพจน์ที่ไม่มี x อยู่ทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ
…….3. ให้บวกด้วยกำลังสองของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ
…….4. ทางด้านซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับให้เขียนเป็นรูปสองพจน์ยกกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ x^2-6x-1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-6x…..= 1
……………………..x^2-6x+3^2 = 1+9
…………………………..(x-3)^2 = 10
………………………………x-3 = \pm \sqrt{10}
……………………………………x = 3 \pm \sqrt{10}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ x^2-5x+2 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-5x…..= -2
………………….x^2-5x+(\frac{5}{2})^2 = -2+\frac{25}{4}
………………………….(x-\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}
……………………………..x-\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}
…………………………………..x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+x+1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2+x…..= -1
………………….x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = -1 +\frac{1}{4}
…………………………(x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4}
…….เนื่องจาก (x+\frac{1}{2})^2 \geq 0 สำหรับทุกค่าของ x
…….แสดงว่าไม่มีค่า x ที่ทำให้สมการ (x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4} เป็นจริง
……………….นั่นคือ สมการ x^2+x+1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ 3x^2-7x-1 = 0
วิธีทำ…..นำ 3 หารตลอด แล้วย้ายข้าง จัดรูปสมการ จะได้
………………….x^2-\frac{7}{3}x…..= \frac{1}{3}
……………x^2-\frac{7}{3}x+(\frac{7}{6})^2 = \frac{1}{3}+\frac{49}{36}
……………………(x-\frac{7}{6})^2 = \frac{12+49}{36}=\frac{61}{36}
………………………..x-\frac{7}{6} = \pm \frac{\sqrt{61}}{6}
……………………………..x = \frac{7\pm \sqrt{61}}{6}

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า  \frac{1+\sqrt{13}}{2}   และ  \frac{1-\sqrt{13}}{2}   เป็นรากของสมการ  ax^2-x+c = 0  เมื่อ    a \neq 0   แล้ว a^2+c^2    มีค่าเท่าใด
วิธีทำใช้กระบวนการคิดย้อนกลับ จากx = \frac{1\pm \sqrt{13}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2}
…………..จะได้เป็น………(x- \frac{1}{2})^2 = \frac{13}{4}
…………………………..x^2-x+\frac{1}{4} = \frac{13}{4}
………………………….x^2-x-3 = 0
…………..เทียบ ส.ป.ส. จะได้a=1, c=-3
………ดังนั้นa^2+c^2 = 1^2+(-3)^2 = 10

ตัวอย่างที่ 6 ถ้าผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนเรียงกันเท่ากับ  462   แล้วผลบวกของจำนวนทั้งสองนี้มีค่าเท่าไร
วิธีทำ…….ให้จำนวนที่เรียงกันสองจำนวนเป็น  x และ x+1
……………….จะได้………x(x+1) = 462
………………………x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = 462+\frac{1}{4}
……………………………..(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{1848+1}{4} = \frac{1849}{4}
…………………………………x+\frac{1}{2} = \pm \frac{43}{2}
……………………………………….x = \frac{-1\pm 43}{2} = \frac{42}{2}, -\frac{44}{2}
……………………………………….x = 21, -22
……………………………………….x = 21
……………ดังนั้น ผลบวกของจำนวนทั้งสอง เป็น 21+22 = 43

หลังจากดูตัวอย่างแล้วเป็นยังไงบ้างครับ เกี่ยวกับการแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์พอจะเข้ากันกันบ้างไหมเอ่ย เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น งั้นไปลองดูคลิปกันเลยครับ

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

……. จากนิยามของทฤษฎีบทเศษเหลือที่ว่า เมื่อพหุนาม P(x) หารด้วยพหุนาม x-cเมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เศษที่ได้จะเท่ากับ P(c) ทำให้เราทราบว่าเมื่อ P(c) = 0 จะทำให้ x-c เป็นตัวประกอบหนึ่งของ P(x) นั่นคือ
……. “พหุนาม P(x) จะมี x-cเป็นตัวประกอบหนึ่ง ก็่ต่อเมื่อ P(c) =0
…….ข้อความนี้มีชื่อเรียกว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) เรานำทฤษฎีบทดังกล่าวมาช่วยในการแยกตัวประกอบของ ได้ โดยการสุ่มหาค่า kที่ทำให้ P(k) = 0 พอดี เพื่อให้ทราบว่ามีตัวประกอบหนึ่งเป็น x-k และจากนั้นก็นำ x-kที่ได้นี้ ไปหารออกจาก P(x) เพื่อลดทอนกำลังลง และทำซ้ำจนกระทั่งแยกตัวประกอบได้ครบถ้วน

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 8x^3-6x^2-17x-6
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
…………P(2) = 8(2)^3-6(2)^2-17(2)-6 = 64-24-34-6 = 0
…………นั่นคือ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x-2} = 8x^2+10x+3
………………….P(x) = (x-2)(8x^2+10x+3)
………………….P(x) = (x-2)(2x+1)(4x+3)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ8x^3-6x^2-17x-6 = (x-2)(2x+1)(4x+3)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 6x^3+x^2-19x+6
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
…………P(-2) = 6(-2)^3+(-2)^2-19(-2)+6 = -48+4+38+6 = 0
…………นั่นคือ x+2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x+2} = 6x^2-11x+3
………………….P(x) = (x+2)(6x^2-11x+3)
………………….P(x) = (x+2)(3x-1)(2x-3)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ6x^3+x^2-19x+6 = (x+2)(3x-1)(2x-3)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 4x^3-20x^2+29x-10
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 10 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
…………P(2) = 4(2)^3-20(2)^2+29(2)-10 = 32-80+58-10 = 0
…………นั่นคือ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x-2} = 4x^2-12x+5
………………….P(x) = (x-2)(4x^2-12x+5)
………………….P(x) = (x-2)(2x-5)(2x-1)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ4x^3-20x^2+29x-10 = (x-2)(2x-5)(2x-1)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ P(x) = x^4-3x^3+4x^2-6x+4…….(สมาคม 56)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 4 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 4
…………P(1) = (1)^4-3(1)^3+4(1)^2-6(1)+4 = 1-3+4-6+4 = 0
…………P(2) = (2)^4-3(2)^3+4(2)^2-6(2)+4 = 16-24+16-12+4 = 0
…………นั่นคือ x-1 และ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x) โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้\frac{P(x)}{(x-1)(x-2)} = x^2+2
………………….P(x) = (x-1)(x-2)(x^2+2)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของx^4-3x^3+4x^2-6x+4 = (x-1)(x-2)(x^2+2)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ P(x) = 2x^4-5x^3-24x^2-7x+10…….(สมาคม 54)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 10 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
…………P(-1) = 2(-1)^4-5(-1)^3-24(-1)^2-7(-1)+10 = 2+5-24+7+10 = 0
…………P(-2) = 2(-2)^4-5(-2)^3-24(-2)^2-7(-2)+10 = 32+40-96+14+10 = 0
…………นั่นคือ x+1 และ x+2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x) โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้\frac{P(x)}{(x+1)(x+2)} = 2x^2-11x+5
………………….P(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของP(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)

…….เป็นอย่างไรบ้างครับเกี่ยวกับใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้ต่อเลยนะครับ

จากนั้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 2.6 การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเหศษเหลือ ไปฝึกทำลองดูครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ร่วมแสดงความคิดเห็นได้เลยครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 67 other followers