ฟิโบนักชี

ฟิโบนักชี (Fibonacci) ผู้นำคณิตศาสตร์อาหรับเข้ายุโรป

Fibonacci…..หลังจากที่บรรยากาศวิชาการในยุโรปได้ซบเซาและสงบเงียบเป็นเวลาร่วม 500 ปี (ยุคนั้นจึงมีชื่อเรียกว่า ยุคมืด) ชาวยุโรปก็กระตือรือร้นที่จะเรียนรู้และค้นคว้าหาสิ่งใหม่ ๆ อีกครั้งหนึ่งในต้นคริสต์ศตวรรษที่ 13 โดยผู้ที่มิใช่นักบวช แต่เป็นปุถุชนธรรมดาที่เก่งคณิตศาสตร์ ซึ่งนำเลขฮินดู-อารบิก (1, 2, 3,  4, …, 9, 10) มาใช้แทนเลขโรมัน (I, II,  III,  IV,  …IX, X)  ที่เขียนยากและไม่สะดวกต่อการใช้งาน (เช่น 8 ต้องเขียน VIII) เขาจึงนับว่าเป็นผู้บุกเบิกยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาด้านคณิตศาสตร์ในยุโรป

…..เขาผูู้นี้ยังเรียบเรียงตำราคณิตศาสตร์หลายเล่ม ซึ่งได้ฟื้นฟูวิชาคณิตศาสตร์ให้รุ่งเรือง และวางพื้นฐานของทฤษฎีจำนวน ณ วันนี้โลกรู้จักชื่อของบุคคลนี้ดีที่สุดในเรื่องลำดับฟิโบนักชี (Fibonacci sequence) ซึ่งประกอบด้วยอนุกรมของเลขจำนวนเต็มที่เขาพบจากความพยายามตอบโจทย์เรื่องประชากรของกระต่ายที่เกิดจากการสืบพันธุ์

…..เลโอนาร์โด ปิซาโ ฟิโบนักชี (Leonardo Pisano Fibonacci) หรือ เลโอนาร์โดแห่งปิซา (Leonardo of Pisa) ถือกำเนิดเมื่อปี พ.ศ. 1713 (ก่อนสมัยพ่อขุนศรีอินทรทิตย์ ราชวงศ์พระร่วง 70 ปี) ที่เมืองปิซา ประเทศอิตาลี เมืองนี้มีหอเอนที่มีชื่อเสียงและสมัยนั้นมีประชากรราว 1 หมื่นคน ชาวเมืองมีความสามารถมากในการเดินเรือ บิดาของฟิโบนักชีชื่อ กูกลิเอลโม โบนักชี (Guglielmo Bonacci) มีอาชีพเป็นเลขานุการของเจ้าของโรงงานแห่งหนึ่งทางตอนใต้ของเมือง สำหรับชื่อฟิโบนักชีนั้นสันนิษฐานว่ามาจากการย่อคำ Filiorum Bonacci  หรือ Filius Bonacci ซึ่งแปลว่า ตระกูลโบนักชีและบุตรของโบนักชี ตามลำดับ

…….นักประวัติศาสตร์ได้ข้อมูลชีวิตของฟิโบนักชีจากหนังสือ Liber Abaci ที่ฟิโบนักชีเขียนในปี พ.ศ. 1745 และจากหนังสือ Liber Quadratorum ที่เขียนในปี พ.ศ. 1768 รวมถึงจากจดหมายที่ฟิโบนักชีเขียนถึงนักปรัชญา มาจิสเตอร์ เทโอดอริส (Magister Theodoris) ในจักพรรดิเฟรเดอลิกที่ 2 ด้วย

…….ในสมัยคริสต์ศตวรรษที่ 12 ปิซาเป็นเมืองศูนย์กลางทางการค้าของอิตาลีที่มีพ่อค้ามากมายเดินทางมาติดต่อซื้อขายสินค้า เมื่อฟิโบนักชีอายุ 12 ปี บิดาได้รับตำแหน่งใหม่เป็นหัวหน้าของบริษัทธุรกิจที่เมืองบูเกีย ประเทศแอลจีเรีย ทางเหนือของแอฟริกา เพราะงานใหม่มีความจำเป็นต้องใช้การคำนวณมาก ดังนั้นโบนักชีจึงนำลูกชายหัวแก้วหัวแหวนที่เก่งคณิตศาสตร์ไปช่วยงานและหวังว่าลักษณะงานที่ทำจะเปิดโลกของฟิโบนักชีให้กว้างขึ้น เขายังให้ฟิโบนักชีเรียนวิชาบริหารธุรกิจ เพื่อจะได้ดำเนินธุรกิจของบิดาต่อไป และในเวลาเดียวกันบิดาก็จัดให้มีครูมาสอนฟิโบนักชีให้รู้จักใช้ลูกคิดในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์

…….เพราะครูเป็นแขกมัวร์ที่นิยมใช้เลขฮินดูอารบิก (0, 1, 2, 3, …, 9) ในการคำนวณแทบทุกเรื่อง แทนที่จะใช้สัญลักษณ์โรมันเจ็ดตัว คือ I, V, X, L, C, D และ M แทนจำนวน 1, 5, 10, 50, 100, 500 และ 1000 ตามลำดับ และสัญลักษณ์นี้เป็นสิ่งที่ชาวอิตาลีและชาวยุโรปตะสันตกนิยมใช้ในสมัยนั้น แต่เมื่อระบบเลขโรมันไม่มีเลขศูนย์ ดังนั้นการเขียนจำนวนและการใช้จำนวนจึงเป็นเรื่องยุ่งยากและสับสนมาก ทำให้หลายคนต้องหันไปใช้ลูกคิดแทน ซึ่งก็ทำให้ผลการคำนวณไม่สะดวกในการตรวจสอบ เพราะลูกคิดไม่ได้มีอุปกรณ์บันทึกผลคำนวณ ฟิโบนักชีได้เรียนคณิตศาสตร์ที่ใช้ตัวเลขฮินดูอารบิกในการคำนวณได้อย่างคล่องแคล่ว และเดินทางไปช่วยบิดาทำธุรกิจที่อียิปต์ ซีเรีย กรีซ ตุรกี ซิชิลี และฝรั่งเศส จากนั้นเขาเดินทางกลับอิตาลีในปี พ.ศ. 1743 เพื่อทำหน้าที่เป็นโหรในจักรพรรดิเฟรเดอริกที่ 2 แห่งอาณาจักรโรมัน

…….ในปี พ.ศ.1745 ฟิโบนักชี เรียบเรียงหนังสือชื่อ Liber Abaci  ซึ่งแปลว่า A Book on Counting (คำว่า abacus แปลว่า ลูกคิด แต่ในที่นี้แปลว่า การคิดคำนวณ) หรือตำราว่าด้วยการนับ หนังสือนี้มีเนื้อหาสำคัญกล่าวถึงความรู้คณิตศาสตร์ของชาวอาหรับ แต่ก็ใช่ว่าฟิโบนักชีนำความรู้มาบอกกล่าวเฉย ๆ เหมือนนักเขียนคนอื่นๆ  ในยุคนั้น เขาดัดแปลงข้อความบางตอนเพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น และชักชวนให้ชาวยุโรปหันมาใช้เลขฮินดูอารบิกแทนเลขโรมัน โดยอธิบายประโยชน์ในการซื้อขายและทำธุรกิจจากการใช้เลขระบบใหม่นี้

…….หนังสือเล่มนี้มี 15 บท ครอบคลุมเนื้อหามากมาย บทที่ 1 กล่าถึงวิธีอ่านและเขียนตัวเลข ส่วนบทอื่นแสดงวิธีบวก ลบ คูณ และหารจำนวนต่าง ๆ หนังสือเล่มนี้ยังกล่าวถึงเรื่องเศษส่วน กำลังสอง และรากที่ 2 ของจำนวน รวมถึงวิธีการกำหนดราคาสินค้า การต่อรอง และวิธีการเข้าร่วมทำธุรกิจ และบทสุดท้ายเป็นบทสำคัญที่สุด เพราะกล่าวถึงคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับวิชาเรขาคณิตและพีชคณิต อีกทั้งมีโจทย์คณิตศาสตร์ที่น่าสนใจหลายข้อ เช่น ถ้า A ได้เงิน 7 เหรียญจาก B แล้ว A จะมีจำนวนเงินมากเป็น 5 เท่าของ B และถ้า B ได้เงิน 5 เหรียญจาก A แล้วเขาจะมีเงินเป็น 7 เท่าของ A  ถามว่า A และ B มีเงินคนละกี่เหรียญ

…….นอกจากนี้ก็มีโจทย์ดึกดำบรรพ์ เช่น หญิง 7 คนเดินทางไปโรม หญิงแต่ละคนจูงลา 7 ตัว ลาแต่ละตัวขนเสบียง 7 ถุง แต่ละถุงมีขนมปัง 7 ก้อน ขนมปังแต่ละก้อนมีมีดปักอยู่ 7 ด้าม และมีดแต่ละด้ามมีปลอกสวมอยู่ 7 ปลอก ถามว่า คาราวานขบวนนี้มีของทั้งหมดกี่ชิ้น

FOTO……ในหนังสือ Liber Abaci ซึ่งนับว่าเป็น “มาสเตอร์พีซ” ของวงการคณิตศาสตร์ ฟิโบนักชีอธิบายให้ชาวยุโรปเห็นประโยชน์ของการใช้เลฮินดูอารบิกในการคำนวณต่าง ๆ 

…….ตำรายังได้รวบรวมเทคนิคการแก้สมการพีชคณิตตามวิธีคิดของอาบู คามิล (Abu Kamil) และทฤษฎีเรขาคณิตของ เอบราแฮม ซาวาซอร์ดา (Abraham Savasorda) แห่งบาร์เซโลนาไว้ด้วย โดยเฉพาะเทคนิคการแก้สมการ x^2+c = bx เมื่อ x เป็นปริมาณที่ไม่รู้ค่า และ b กับ c เป็นค่าที่กำหนดให้ แล้วฟิโบนักชีก็แสดงให้เห็นว่า x มีสองคำตอบ แต่เขาไม่พิจารณาค่าติดลบ เพราะในสมัยนั้นนักคณิตศาสตร์ไม่เข้าใจความหมายของจำนวนลบ หรือแม้แต่ค่าจินตภาพก็ไม่มีใครรู้จัก และสำหรับการเขียนเศษส่วนนั้น ฟิโบนักชีได้เสนอการขีดเส้นกั้นระหว่างเศษกับส่วน เพราะในสมัยก่อนการเขียนเศษส่วนไม่มีเส้นคั่น

…….จุดเด่นที่สำคัญอีกประการหนึ่งของตำรานี้คือ การริเริ่มนำเลขศูนย์ของอินเดียมาใช้ ซึ่งคำว่าศูนย์ในภาษาละติน คือ Zeptirum ที่ตรงกับคำว่า sifr ในภาษาอาหรับที่แปลว่า “ว่างเปล่า” และได้ถูกแปลงมาเป็นคำอังกฤษ คือ cipher ทว่าการนำเลขอาหรับมาใช้ในยุโรปเป็นครั้งแรกนี้ได้รับการต่อต้านมาก เพราะบรรดานักบวชและพ่อค้าต่างก็คิดว่า นี่เป็นความรู้ของพวกนอกรีต จึงไม่สมควรจะสนใจ จนเวลาผ่านไปถึง พ.ศ. 1842 พ่อค้าแห่งเมืองฟลอเรนซ์จึงเริ่มทำบัญชีโดยใช้เลขอารบิกแทนเลขโรมัน แต่บันดานักบวชยังยึดวิธีเขียนตัวเลขแบบโรมันต่อไป

…….ในปี พ.ศ. 1763 ฟิโบนักชี แต่งตำรา Practica Geometriae ที่มีเนื้อหาเกี่ยวกับความรู้เรขาคณิตของยุคลิดและตรีโกณมิติ รวมถึงเทคนิคการหารากที่ 2 และรากที่ 3 ของจำนวนต่าง ๆ และการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมเมื่อกำหนดความยาวด้านทั้งสามมาให้ ผลงานนี้แสดงให้เห็นว่าฟิโบนักชีเข้าใจและคุ้นเคยกับงานของยุคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย เจอราด (Gerard) แห่งครีโมนา และเพลโตแห่งทิโวลีเป็นอย่างดี

…….ผลงานเหล่านี้ทำให้ชื่อเสียงของฟิโบนักชีโด่งดังมาก จนสมเด็จพระจักรพรรดิเฟรเดอลิกที่ 2 หลังจากที่ได้ทรงอ่านตำรา Liber Abaci แล้ว ทรงรู้สึกประทับใจมาก จึงเสด็จไปที่เมืองปิซา เพื่อทรงจัดการแข่งขันคณิตศาสตร์ประดับประเทศเป็นการทดสอบความสามารถของฟิโบนักชีกับคนอื่น ๆ และพระองค์ทรงให้โยฮันเนสแห่งพาเลอร์โม ผู้เป็นข้าหลวงในราชสำักออกโจทย์คณิตศาสตร์สามข้อแล้วส่งไปให้ฟิโบนักชีและนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ แข่งกันตอบ ผลปรากฏว่าฟิโบนักชีเป็นบุคคลเดียวที่สามารถตอบโจทย์ทั้งสามข้อได้ถูกต้องภายในเวลาไม่นาน ส่วนคนอื่นตอบไม่ได้เลย

โดยโจทย์ข้อที่ 1 ให้หาค่าของ x ที่ทำให้ x^2+5 และ x^2-5 เป็นกำลังสอง คำตอบคือ x = 3\frac{5}{12} เพราะ  \left ( 3\frac{5}{12} \right )^2+5 = \left ( 4\frac{1}{2} \right )^2 และ \left ( 3\frac{5}{12} \right )^2-5 = \left ( 2\frac{7}{12} \right )^2

ส่วนโจทย์ข้อที่ 2 ให้แก้สมการ x^3+2x^2+10x = 20 โดยประมาณ (ในเวลานั้นนักคณิตศาสตร์ยังไม่มีเทคนิคการแก้สมการกำลังสาม) และฟิโบนักชีก็ได้แสดงให้เห็นว่า
…….จาก x^3+2x^2+10x = 20
…………..10\left [ \frac{x^3}{10}+\frac{x^2}{5} +x \right ] = 20
…..ดังนั้น x + \frac{x^2}{5} +\frac{x^3}{10} = 2
เพรราะจำนวนทุกจำนวนมีค่าบวก ดังนั้น x ต้อง < 2
และเมื่อแทนค่า x = 1 ในสมการที่กำหนดให้  ข้างซ้ายได้ 1+2+10 รวมเป็น 13 ซึ่งน้อยกว่า 20 ดังนั้น  x ต้อง > 1
…… ด้วยเหตุนี้ จึงได้ 2 > x > 1 แสดงว่า  x ต้องมีค่าอยู่ระหว่าง 1 .กับ. 2

สำหรับโจทย์ข้อที่ 3 นั้น เป็นปริศนา คือ มีชายสามคน มีเงินเท่ากันกับ t และต่างมีเงินเท่ากับ \frac{t}{2}, \frac{t}{3}, \frac{t}{6}

 

Advertisements

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: