ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem)

ส.ค. 25

Posted by

…….ในการหารพหุนาม เมื่อเรานำเอาพหุนามหารด้วยพหุนาม จะได้ผลหารทั้งที่ลงตัวมีเศษเป็นศูนย์ และทั้งที่เหลือเศษ ไม่ใช่ศูนย์ แต่ในกรณีทั่วไป เมื่อหารพหุนาม P(x) ใด ๆ ด้วยพหุนาม x-a ที่ a เป็นค่าคงตัว เมื่อหารแล้วมีเศษ เราจะเรียกว่า เศษเหลือ

…..นิยาม …เมื่อพหุนาม P(x)หารด้วยพหุนาม x-cเมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เศษที่ได้จะเท่ากับ P(c)

…..เมื่อนำพหุนามมาหารกัน ทั้งผลหารและเศษที่ได้จะเป็นพหุนามเช่นกัน โดยเศษต้องเป็นหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าตัวหารเสมอ ในทฤษฎีเศษเหลือนี้ กล่าวถึงการหารที่มีตัวหารมีดีกรีเป็น 1 เท่านั้น เศษที่ได้จึงมีดีกรี 0 หรือค่าคงที่นั่นเอง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเศษเมื่อ 2x^3+3x^2-5x-4 หารด้วย x+1
วิธีทำ…..ให้ P(x) = 2x^3+3x^2-5x-4 หารด้วย x-c จะเหลือเศษ P(c)
…………และ x-c = x+1 จะได้ c=-1
………..ดังนั้น P(-1) = 2(-1)^3+3(-1)^2-5(-1)-4
……………………….= -2+3+5-4
……………………….= 2
………..ดังนั้น เศษคือ 2

ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงให้เห็นว่าx+7 เป็นตัวประกอบของ x^3-39x+70
วิธีทำ….ให้  P(x) = x^3-39x+70 หารด้วย  x+7 จะเหลือเศษ  P(-7)
…..ดังนั้น…P(-7) = (-7)^3-39(-7)+70
………………….= -343+273+70
………………….= 0
………….เศษเป็น 0 แสดงว่า x+7 หาร x^3-39x+70 ลงตัว

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า P(x) = x^3+2x^2+3x+k และ Q(x) = x^3+x^2+9ต่างก็หารด้วย x+2 แล้วเหลือเศษเท่ากัน จงหาค่า k
วิธีทำ…..เนื่องจาก P(x) และ  Q(x) ต่างก็หารด้วย x+2 แล้วเหลือเศษเท่ากัน
………… จะได้ว่า …….. P(-2) = Q(-2)
……..แทนค่า…(-2)^3+2(-2)^2+3(-2)+k = (-2)^3+(-2)^2+9
………-8+8-6+k = -8+4+9
…………………k-6= 5
……………………….k= 11

ตัวอย่างที่ 4 ถ้าพหุนามP(x) = ax^2+bx+2และ Q(x) = bx^2-ax+1 หารด้วย  x+1  เหลือเศษ 8 และ 3 ตามลำดับ แล้ว a^2+5b  มีค่าเท่าใด
วิธีทำ….จากทฤษฎีบทเศษเหลือจะได้ … P(-1) = 8
………แทนค่า …P(-1) = a(-1)^2+b(-1)+2
…………………….8 = a-b+2
………………a-b = 6 ………………….. (1)
………………และ Q(-1) = 3
………แทนค่า…Q(-1) = b(-1)^2-a(-1)+1
……………………..3 = b+a+1
………………..a+b = 2………………….(2)
……(1) + (2) จะได้…..2a = 8  ….→… a = 4
……แทนค่า a = 4 ใน ..(2) ..จะได้ …b = -2
………ดังนั้น…a^2+5b = (4)^2+5(-2) = 16-10 = 6

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ P(x) = x^3+bx^2+cx+d  เมื่อ b,c,d เป็นค่าคงตัว ถ้า P(x)-3 หารด้วย x+1, x-2 และ x+3ลงตัว แล้ว b+c+dมีค่าเท่าใด
วิธีทำ…ถ้า P(x)-3 หารด้วย x+1, x-2 และ x+3ลงตัว แสดงว่า
…………….P(x)-3 = (x+1)(x-2)(x+3)
…………….P(x)-3 = (x+1)(x^2+x-6)
………………………..= x^3+x^2-6x+x^2+x-6
………………………..= x^3+2x^2-5x-6
………………..P(x) = x^3+2x^2-5x-3
…..เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ …b=2 , c=-5, d=-3
……ดังนั้น …b+c+d = 2+(-5)+(-3) = 2-5-3 = -6

…..พอจะเข้าใจเกี่ยวกับการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งจะเป็นพื้นฐานในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 3 บ้างไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้ต่อเลยนะครับ

เมื่อดูคลิปเสร็จแล้ว ให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 2.5 ทฤษฎีบทเศษเหลือ ไปทำลองดูครับ เพื่อที่จะให้ทราบว่าเรามีความเข้าใจมากน้อยเพียงใด

หรือดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 2.5 ทฤษฎีบทเศษเหลือ

Posted on ่25 สิงหาคม, 2014, in คณิตเพิ่มเติม ม.3 and tagged , . Bookmark the permalink. 10 ความเห็น.

  1. นิรนาม | ่19 พฤษภาคม, 2020 เวลา 7:14 pm

    มีเฉลยแบบฝึกหัดมั้ยคะ

    ตอบกลับ
  2. นิรนาม | ่2 กันยายน, 2020 เวลา 8:06 pm

    ขอบคุณค่ะ ได้ความรู้มากเลย

    ตอบกลับ
  3. นิรนาม | ่2 กันยายน, 2020 เวลา 8:06 pm

    ขอบคุณค่ะ ได้ความรู้มากเลย

    ตอบกลับ
  4. นิรนาม | ่2 กันยายน, 2020 เวลา 8:06 pm

    ขอบคุณค่ะ ได้ความรู้มากเลย

    ตอบกลับ
  5. นิรนาม | ่2 กันยายน, 2020 เวลา 8:06 pm

    ขอบคุณค่ะ ได้ความรู้มากเลย

    ตอบกลับ
  6. นิรนาม | ่2 กันยายน, 2020 เวลา 8:06 pm

    ขอบคุณค่ะ ได้ความรู้มากเลย

    ตอบกลับ
  7. นิรนาม | ่27 กันยายน, 2020 เวลา 12:05 pm

    อยากลองตรวจคำตอบดูค่ะ พอตะมีเฉลยไหมคะ

    ตอบกลับ

  1. Pingback: การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ | คณิตศาสตร์ง่าย ๆ สไตล์ครูไพรวัล ดวงตา

ใส่ความเห็น