การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

……. จากนิยามของทฤษฎีบทเศษเหลือที่ว่า เมื่อพหุนาม P(x) หารด้วยพหุนาม x-cเมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เศษที่ได้จะเท่ากับ P(c) ทำให้เราทราบว่าเมื่อ P(c) = 0 จะทำให้ x-c เป็นตัวประกอบหนึ่งของ P(x) นั่นคือ
……. “พหุนาม P(x) จะมี x-cเป็นตัวประกอบหนึ่ง ก็่ต่อเมื่อ P(c) =0
…….ข้อความนี้มีชื่อเรียกว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) เรานำทฤษฎีบทดังกล่าวมาช่วยในการแยกตัวประกอบของ ได้ โดยการสุ่มหาค่า kที่ทำให้ P(k) = 0 พอดี เพื่อให้ทราบว่ามีตัวประกอบหนึ่งเป็น x-k และจากนั้นก็นำ x-kที่ได้นี้ ไปหารออกจาก P(x) เพื่อลดทอนกำลังลง และทำซ้ำจนกระทั่งแยกตัวประกอบได้ครบถ้วน

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 8x^3-6x^2-17x-6
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
…………P(2) = 8(2)^3-6(2)^2-17(2)-6 = 64-24-34-6 = 0
…………นั่นคือ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x-2} = 8x^2+10x+3
………………….P(x) = (x-2)(8x^2+10x+3)
………………….P(x) = (x-2)(2x+1)(4x+3)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ8x^3-6x^2-17x-6 = (x-2)(2x+1)(4x+3)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 6x^3+x^2-19x+6
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
…………P(-2) = 6(-2)^3+(-2)^2-19(-2)+6 = -48+4+38+6 = 0
…………นั่นคือ x+2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x+2} = 6x^2-11x+3
………………….P(x) = (x+2)(6x^2-11x+3)
………………….P(x) = (x+2)(3x-1)(2x-3)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ6x^3+x^2-19x+6 = (x+2)(3x-1)(2x-3)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 4x^3-20x^2+29x-10
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 10 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
…………P(2) = 4(2)^3-20(2)^2+29(2)-10 = 32-80+58-10 = 0
…………นั่นคือ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x-2} = 4x^2-12x+5
………………….P(x) = (x-2)(4x^2-12x+5)
………………….P(x) = (x-2)(2x-5)(2x-1)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ4x^3-20x^2+29x-10 = (x-2)(2x-5)(2x-1)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ P(x) = x^4-3x^3+4x^2-6x+4…….(สมาคม 56)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 4 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 4
…………P(1) = (1)^4-3(1)^3+4(1)^2-6(1)+4 = 1-3+4-6+4 = 0
…………P(2) = (2)^4-3(2)^3+4(2)^2-6(2)+4 = 16-24+16-12+4 = 0
…………นั่นคือ x-1 และ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x) โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้\frac{P(x)}{(x-1)(x-2)} = x^2+2
………………….P(x) = (x-1)(x-2)(x^2+2)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของx^4-3x^3+4x^2-6x+4 = (x-1)(x-2)(x^2+2)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ P(x) = 2x^4-5x^3-24x^2-7x+10…….(สมาคม 54)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 10 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
…………P(-1) = 2(-1)^4-5(-1)^3-24(-1)^2-7(-1)+10 = 2+5-24+7+10 = 0
…………P(-2) = 2(-2)^4-5(-2)^3-24(-2)^2-7(-2)+10 = 32+40-96+14+10 = 0
…………นั่นคือ x+1 และ x+2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x) โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้\frac{P(x)}{(x+1)(x+2)} = 2x^2-11x+5
………………….P(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของP(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)

…….เป็นอย่างไรบ้างครับเกี่ยวกับใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้ต่อเลยนะครับ

จากนั้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 2.6 การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเหศษเหลือ ไปฝึกทำลองดูครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ร่วมแสดงความคิดเห็นได้เลยครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

Advertisements

Posted on ่1 กันยายน, 2014, in คณิตเพิ่มเติม ม.3 and tagged , , . Bookmark the permalink. ใส่ความเห็น.

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: