การแปรผกผัน (Inverse Variation)

…….การแปรผกผัน (Inverse variation) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างของสองสิ่งหรือปริมาณสองปริมาณ เมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอีกสิ่งหนึ่งลดลงอย่างเป็นสัดส่วนกัน หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลดลงอีกสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอย่างเป็นสัดส่วนกัน เช่น การทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าคนมากงานจะเสร็จเร็ว แต่คนน้อยงานจะเสร็จช้า เรียกว่า การแปรกลับกัน หรือ การแปรผกผัน หรือ สัดส่วนผกผัน

บทนิยาม กำหนดให้  x และ y  แทนปริมาณใด ๆ y แปรผกผันกับ x ใช้สัญลักษณ์ y\propto \frac{1}{x}.. เขียนในรูปสมการเป็น y=\frac{k}{x} ..เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ k\not=0

ข้อสังเกต  การแปรผันแบบผกผันไม่มีสมบัติการสมมาตร นั่นคือ ถ้า y\propto \frac{1}{x} แล้วไม่จำเป็นที่ x\propto \frac{1}{y}

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x แปรผกผันกับ y และ x=-3 เมื่อ y=2  ค่าของ x เท่ากับเท่าใดเมื่อ y=-1
วิธีทำ   จากโจทย์ x\propto \frac{1}{y} จะได้ x=\frac{k}{y}
…………แทนค่า x=-3 เมื่อ y=2 ใน  x=\frac{k}{y}
………….จะได้ -3=\frac{k}{2}  →  k=-6
…………..แทนค่า y=-1 ใน  x=\frac{-6}{y}
……………จะได้   x=\frac{-6}{-1} = 6 ……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า x+1 แปรผกผันกับ y-2 และ x=4 เมื่อ y=8  ค่าของ y เท่ากับเท่าใดเมื่อ x=2
วิธีทำ จากโจทย์ x+1\propto \frac{1}{y-2} จะได้ x+1 =\frac{k}{y-2}
………แทนค่า  x=4 เมื่อ y=8  ในสมการ x+1 =\frac{k}{y-2}
………จะได้  4+1 =\frac{k}{8-2}  →  k = 30
………จะได้สมการ x+1 =\frac{30}{y-2}
……….หาค่า y เมื่อ x=2 จาก 2+1 =\frac{30}{y-2}
…………………..y-2 =\frac{30}{3}  →  y = 12
……. \therefore y มีค่าเท่ากับ 12  .. เมื่อ x=2 ………ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 การประกอบรถยนต์ 1 คัน ใช้คนทำอยู่ 5 คน ถ้าเพิ่มคนงานขึ้นอีก 1 คน งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 ชั่วโมง ถ้าเวลาที่ทำงานนี้แปรผกผันกับจำนวนคนงาน ถ้าต้องการให้งานเสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง ต้องเพิ่มคนงานอีกกี่คน
วิธีทำ  กำหนดให้  H = จำนวนชั่วโมงที่ทำงานเสร็จN = จำนวนคนงาน
……….จากโจทย์  H\propto \frac{1}{N}  จะได้  H =\frac{k}{N}
………ถ้า  N=5 จะได้  H =\frac{k}{5}
………ถ้า  N=6 งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 ชั่วโมง
…..\therefore ..จะได้ว่า H-8 =\frac{k}{6}
………แก้สมการโดยการแทนค่า.. H =\frac{k}{5} ได้เป็น \frac{k}{5}-8=\frac{k}{6}
………………….. \frac{k}{5}-\frac{k}{6}=8
………………….. \frac{k}{30}=8 k = 240
……..แทนค่า k ใน H =\frac{k}{5}  ได้  H =\frac{240}{5} = 48
…….นั่นคือ ถ้าใช้คน 5 คน จะแล้วเสร็จใน 48  ชั่วโมง
……………..ถ้างานนี้เสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง คือเสร็จใน 48 – 28 = 20 ชั่วโมง
…….จาก  H =\frac{24o}{N}
…….แทนค่า 20 =\frac{240}{N} N =\frac{240}{20} = 12
…….ถ้าต้องการให้เสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง ต้องใช้คน 12 คน
……. \therefore จะเพิ่มคนอีก 12-5 = 7 ..คน…………….ตอบ

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า y แปรผกผันกับ x+\sqrt{x} และ y=1 เมื่อ x=2  ค่าของ x เป็นเท่าไร เมื่อ y=\frac{1}{2-\sqrt{2}}
วิธีทำ …..y \propto \frac{1}{x+\sqrt{x}}y = \frac{k}{x+\sqrt{x}}
…………..จะได้k = (x+\sqrt{x})y
…………..แทนค่าy=1, x = 2
…………\therefore k = (2+\sqrt{2})1 = 2+\sqrt{2}
………ดังนั้น สมการนี้คือ y = \frac{2+\sqrt{2}}{x+\sqrt{x}}
……. แทนค่า y = \frac{1}{2-\sqrt{2}}จะได้\frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{x+\sqrt{x}}
…….คูณไขว้ จะได้ {x+\sqrt{x}} = (2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 4-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2
……………..{x+\sqrt{x}} = 2
….. แสดงว่า x = 1จึงจะทำให้สมการเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 5 บริษัทตกแต่งภายในให้คนงาน 20 คน ตกแต่งภายในอาคารหลังหนึ่ง คนงานทั้งหมดช่วยกันตกแต่งภายในอาคารไปได้ครึ่งหนึ่งใช้เวลา 18 วัน ถ้ากำหนดให้เวลาทำงาน แล้วเสร็จแปรผกผันกับจำนวนคนงาน จงหาว่าบริษัทรับตกแต่งภายในจะต้องเพิ่มคนงานอีกกี่คนจึงจะทำให้งานที่เหลือเสร็จใน 12 วัน
วิธีทำให้tแทน ระยะเวลาที่ทำงาน,Nแทน จำนวนคนงาน
……. กำหนดให้ t \propto \frac{1}{N}จะได้t = \frac{k}{N}
……. เมื่อ t = 18 และ N = 20หาค่าk
…… แทนค่า18 = \frac{k}{20}k = 18\times 20 = 360
….. จะได้สมการแปรผกผัน คือ t = \frac{360}{N}
….. ถ้าบริษัทต้องการเพิ่มคนงานทำงานที่เหลือให้เสร็จในเวลา 12 วัน นั่นคือ t = 12หาค่าN
….. แทนค่า 12 = \frac{360}{N}  ⇒N = \frac{360}{12} = 30
….. ดังนั้น บริษัทรับตกแต่งภายในต้องเพิ่มคนงานอีก 30 - 20 = 10 คน

ตัวอย่างที่ 6 ความถี่ของคลื่นวิทยุแปรผกผันกับความยาวคลื่น ถ้าความถี่เป็น 450 กิโลเฮิรตซ์ ความยาวคลื่นเป็น 980 เมตร ต้องการลดความยาวคลื่นลง 80 เมตร จะใช้ความถี่กี่กิโลเฮิรตซ์

ตัวอย่างที่ 7 เมื่อสมปองอยู่ห่างจากเครื่องกระจายเสียงเครื่องหนึ่งเป็นระยะ 10 เมตร สมปองวัดความเข้มเสียงได้ 0.016 วัตต์ต่อตารางเมตร ถ้าความเข้มเสียงแปรผกผันกับกำลังสองของระยะที่คนฟังอยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดเสียง จงหาว่า
1) ถ้าสมปองอยู่ห่างจากเครื่องกระจายเสียง 15 เมตร จะวัดความเข้มเสียงได้เป็นเท่าใด
2) ถ้าสมปองวัดความเข้มเสียงได้เป็น 0.4 วัตต์ต่อตารางเมตร เขาอยู่ห่างเครื่องกระจายเสียงเท่าใด

Example 8. The resistance R of a copper wire of a constant length varies inversly as the square of its diameter d. If the resistance of a wire 2.5 mm in diameter is 20 ohms, find the resistance of a wire with diameter 2 mm.

Example 9. When a space satellite orbits the earth, the force F attracting it towards the earth is inversly proportional to the square of its distance R from the earth. Express F in terms of R and the constant of variation k. Hence calculate
….. a) the value of k if F = 50 when R = 32
….. b) the value of R if F = 512

Posted on ่28 กุมภาพันธ์, 2013, in คณิตเพิ่มเติม ม.2 and tagged , , . Bookmark the permalink. 6 ความเห็น.

  1. ดีครับ แต่อยากเนื้อหาเยอะกว่านี้อ่ะครับคุณครู สู้ๆครับ พัฒนาต่อไปครับ

  2. ขอบพระคุณมากๆ ครับ

  3. ใส่ ตัวอย่าง ซัก 20 จะดีเลย ครับ 3 อันมันน้องแต่ก็ดีแล้วครับ

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 70 other followers

%d bloggers like this: