Niels Henrik Abel นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่หลังสิ้นอายุขัย

01     ถ้า Niels Abel มิได้เสียชีวิตด้วยวัณโรคในวัย 26 ปี เขาอาจจะเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งคริสต์ศตวรรษที่ 19 ถึงจะมีอายุขัยน้อย และประสบการณ์วิจัยไม่มาก แต่ Abel ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าสมการกำลัง 5 (quintic equation) เช่น ax5 +bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 เมื่อ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ ไม่มีคำตอบสำหรับ x ที่สามารถหาเป็นสูตรสำเร็จได้จากค่า a, b, c, d, e และ f ดังบุรพที่นักคณิตศาสตร์รุ่นก่อน Abel ได้เคยพยายามค้นหามานานร่วม 250 ปี

​Niels Henrik Abel เกิดเมื่อวันที่ 5 สิงหาคม ค.ศ.1802 (ตรงกับรัชสมัยสมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช) ที่หมู่บ้านเล็กๆ บนเกาะ Finnöy ซึ่งตั้งอยู่ทางทิศตะวันตกเฉียงใต้ของเมือง Stavenger ในนอร์เวย์ บิดา Sören George Abel มีอาชีพเป็นนักบวชนิกาย Lutheran ส่วนมารดา Anne Marie Simonson เป็นบุตรีของพ่อค้าที่มีฐานะดี Niels เป็นลูกคนที่ 2 ของครอบครัวที่มีลูก 7 คน

​เมื่อ Abel อายุ 2 ขวบ บิดาได้อพยพครอบครัวไปทำงานที่เมือง Gjerstad เมื่อถึงวัยต้องเข้าโรงเรียน Abel กับพี่น้องทุกคนได้บิดาเป็นครูสอนหนังสือ เพราะบิดามีการศึกษาดีพอสมควร และยังเป็นนักเคลื่อนไหวในสภาผู้แทนราษฎร ในการต่อสู้กอบกู้เอกราชของนอร์เวย์จากสวีเดน ในปี 1814 ด้วย

​ในปี 1815 Abel วัย 13 ปี กับพี่ชายได้ถูกส่งตัวไปเรียนหนังสือที่โรงเรียน Cathedral School ในกรุงออสโล ซึ่งเป็นโรงเรียนมัธยมที่ดีที่สุดของประเทศ แต่ในปีที่ Abel เข้าเรียนนั้น บรรดาครูดีๆ ที่สอนหนังสือเก่งของโรงเรียนหลายคนได้ย้ายไปสอนที่มหาวิทยาลัย หลายคนได้ลาออก ส่วนครูที่บรรจุใหม่นอกจากสอนหนังสือไม่เก่งแล้ว ยังเข้มงวดด้านระเบียบวินัยมากด้วย บรรยากาศการเรียนที่เลวร้ายและไม่สนุกเลยนี้ ทำให้คะแนนเรียนของ Abel และพี่ชายตกต่ำ จนพี่ชายล้มป่วยเป็นโรคซึมเศร้า ประจวบกับในช่วงเวลานั้น ครอบครัว Abel กำลังมีปัญหามากมาย เพราะทั้งบิดาและมารดาเป็นโรคพิษสุราเรื้อรัง เมื่อครอบครัวทำธุรกิจล้มเหลว ความกดดันและความผิดพลาดเหล่านี้ทำให้พี่ชายของ Abel ขอลาออกจากโรงเรียน เพื่อกลับไปอยู่ที่บ้านและไม่กลับไปเรียนต่ออีก ส่วนมารดาเวลาติดเหล้า ได้ละเลยหน้าที่ไม่เลี้ยงดูลูกๆ เลย Read the rest of this entry

นักคณิตศาสตร์ระบุมี1.7แสนวิธีผูกเนกไท

tie

……หลายคนคงไม่เชื่อว่า “คณิตศาสตร์” จะเป็นเครื่องมือสำคัญในการไขความลับที่ซ่อนอยู่ในเงื่อนปมต่างๆ ได้มากมายหลายชนิด ตั้งแต่การกำเนิดจักรวาล จนกระทั่งการผูกเนกไท ที่ฝรั่งตาน้ำข้าวถือเป็นเครื่องแต่งกายมาตรฐานประจำสำหรับการไปทำงาน ออกเดท แม้กระทั่งไปเที่ยว ก็จะต้องมีผ้าเส้นยาวๆ มาพันคอให้เป็นปมเป็นสายไว้ปิดหน้าท้องอยู่เสมอ และก็สวมแจ็กเก็ต (ที่คนไทยติดปากกันว่า “สูท”) ออกไปนอกบ้านกันจนเป็นเรื่องปกติสำหรับคนในบ้านเขา

……..เรื่องการผูกเนกไทกลายเป็นเรื่องใหญ่ที่นักวิชาการด้านคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด และมหาวิทยาลัยเทคโนโลยีสตอกโฮล์ม ร่วมกันทำวิจัยโดยใช้โมเดลคณิตศาสตร์มาใช้พิสูจน์ข้อสงสัยของพวกตน และทำผลการวิจัยออกมาเป็นเอกสารเป็นหลักเป็นฐาน

……..กลุ่มนักคณิตศาสตร์กลุ่มนี้ได้แรงบันดาลใจมาจากเนกไทของบทตัวร้ายในภาพยนตร์เรื่อง “เดอะ แมทริกซ์ รีโหลด” ที่ใช้การผูกเงื่อนเนกไทแบบ “เมโรวินเยียน” (Merovingian) ที่ทำให้มีปมผ้าสองฝั่งชนกัน ซึ่งแตกต่างจากปมเนกไทแบบ “วินด์เซอร์” (Windsor) หรือ “ฮาล์ฟ วินด์เซอร์” (Half Windsor) ที่หนุ่มๆ ทั่วโลกคุ้นเคยกันและใช้เป็นประจำในชีวิต จึงคิดโมเดลคณิตศาสตร์เพื่อใช้ไขปัญหาข้องใจในการผูกเนกไทเป็นปมต่างๆ แล้วในที่สุด พวกเขาก็พบว่า ปมการผูกเนกไทที่ใช้ผ้าเส้นยาวๆ มาพันกันนั้นสามารถผูกปมเงื่อนได้มากถึง 177,147 วิธี กันเลยทีเดีย Read the rest of this entry

Augustin Louis Cauchy นักคณิตผู้วางรากฐานการวิเคราะห์เชิงซ้อน

b011Cauchy คือนักคณิตศาสตร์อัจฉริยะชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดต่อหลังจากที่ Leonhard Euler, Joseph Lagrange และ Pierre-Simon de Laplace จากไป เพราะเขาได้แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์อย่างถี่ถ้วนและเคร่งครัดจึงจะเป็นที่ยอมรับ ด้วยการใช้หลักการนี้ตลอดเวลา Cauchy จึงได้ชื่อว่าเป็นผู้วางรากฐานวิชา Complex Analysis
Augustin – Louis Cauchy เกิดที่กรุง Paris ประเทศฝรั่งเศส เมื่อวันที่ 21 สิงหาคม ค.ศ.1789 (ตรงกับรัชสมัยพระบาทสมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช) เพราะเกิดในเดือนสิงหาคม ดังนั้น บิดา Louis Francois จึงตั้งชื่อต้นของลูกชายว่า Augustin สำหรับชื่อกลาง Louis นั้นมาจากนามของปู่คือ Louis – Francis ผู้เป็นนายตำรวจ ด้านมารดา Marie Madeleine ก็เป็นทายาทของครอบครัวฐานะดี

เมื่อ Cauchy อายุ 5 ขวบ ครอบครัวได้อพยพจาก Paris เพราะในช่วงเวลานั้นได้เกิดความโกลาหลอย่างมโหฬารในฝรั่งเศส เมื่อคณะปฏิวัติจับตัวบรรดาอำมาตย์ ข้าราชบริพาร และข้าราชการชั้นสูงไปประหารชีวิตด้วยกิโยติน บิดาจึงต้องนำครอบครัวหลบหนีไปพำนักที่ Arcueil ซึ่งเป็นหมู่บ้านในชนบทที่ขาดแคลนความสะดวกสบายต่างๆ นานาของเมืองหลวง แต่มีบรรยากาศวิชาการที่ดีมาก เพราะที่นั่นมีบ้านของ Claude-Louis Berthollet และ Pierre-Simon de Laplace อยู่ใกล้ๆ ดังนั้น เด็กชาย Cauchy จึงมีโอกาสพบปะและสนทนากับปราชญ์ทั้งสองท่านบ่อย รวมถึงกับนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงเช่น Joseph-Louise Lagrange ด้วย ที่ Arcueil นั้นไม่มีโรงเรียนประถม ดังนั้น บิดาจึงต้องสอนหนังสือให้ลูกด้วยตนเอง และ Cauchy ก็เรียนได้ดีมากจน Lagrange ผู้เป็นแขกของบิดารู้สึกประทับใจในความสามารถทางคณิตศาสตร์ของ Cauchy มาก

หลังจากพำนักที่ Arcueil ได้ 2 ปี บิดาของ Cauchy ได้ทราบข่าวว่า Robespierre ซึ่งเป็นหัวหน้าคนหนึ่งของคณะปฏิวัติที่มีอำนาจมากได้เสียชีวิต ดังนั้นครอบครัว Cauchy จึงปลอดภัยที่จะเดินทางกลับ Paris จากนั้นบิดาก็ได้เริ่มสร้างตัวและฐานะใหม่จนได้เลื่อนตำแหน่งเป็นเลขาธิการของวุฒิสภา ที่มี Laplace เป็นประธาน

การที่ Cauchy มีความสามารถทางคณิตศาสตร์โดดเด่นมาก ทำให้ Lagrange เสนอแนะบิดาของ Cauchy ให้ส่งบุตรชายไปเรียนต่อที่ Ecole Centrale du Pantheon แต่ Cauchy มีอายุยังน้อยเกินไป จึงถูกส่งไปเรียนภาษาโบราณก่อนจะเริ่มเรียนคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง เมื่อสำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษา Cauchy สอบได้คะแนนยอดเยี่ยมของประเทศ

เมื่ออายุ 16 ปี Cauchy ซึ่งต้องการจะเป็นวิศวกรโยธา ได้ไปสอบเข้าที่ Ecole Polytechnique และสอบได้ที่ 2 จากนักเรียนทั้งหมด 293 คน อีก 2 ปีต่อมาก็ได้ไปเรียนวิชาวิศวกรรมศาสตร์ที่ Ecole des Ponts et Chaussees ซึ่งเป็นมหาวิทยาลัยที่สอนวิศวกรโยธาให้รู้วิธีสร้างสะพานและถนนหนทาง ขณะเรียนที่นั่น Cauchy ได้อาจารย์สอนวิชา Analysis ชื่อ André Marie Ampere Cauchy สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีด้วยคะแนนเกียรตินิยมดีเด่น แล้วไปฝึกงานที่เมือง Cherbourg ซึ่งเป็นฐานทัพเรือของ Napoleon เพราะพระองค์ประสงค์จะพัฒนาอุตสาหกรรมการสร้างเรือรบเพื่อส่งไปรุกรานอังกฤษ ในการไปฝึกงานครั้งนั้น Cauchy ได้นำหนังสือ Mecanique Celeste ของ Laplace และตำรา Fonctions Analytiques ของ Lagrange ไปอ่านในยามว่างด้วย Cauchy ชอบอ่านตำราคณิตศาสตร์และเข้าใจทุกสิ่งทุกอย่างที่เขียนอยู่ในหนังสือเป็นอย่างดีจนสามารถสร้างงานวิจัยเรื่อง Convex Polyhedron ได้ และผลงานนี้นี่เองที่ทำให้นักคณิตศาสตร์เช่น Adrien Marie Legendre และ Etienne Louis Malus ที่ Paris เริ่มสนใจ Read the rest of this entry

“ตัวเลข” นั้น สำคัญไฉน?”

…….ความเชื่อเรื่อง “ตัวเลข” ไม่เพียงเป็นสิ่งที่อยู่คู่กับสังคมไทยเท่านั้น แต่ในต่างประเทศก็มีความเชื่อเกี่ยวกับตัวเลขเช่นเดียวกัน ซึ่งแต่ละประเทศอาจมีการตีความหมายแตกต่างกันตามความเชื่อที่สืบต่อกันมา ดังนั้น “ตัวเลข” ณ วันนี้ ตัวเลขจึงไม่ใช่มาตรวัดที่ทำหน้าที่บอกจำนวนเชิงปริมาณเท่านั้น แต่ยังมีนัยยะในมิติอื่นอีกด้วย

…….จากคำกล่าวที่ว่า โชคดีบังเกิดหนที่ 3 หรือสำนวน Third Time’s a Charm เป็นคำกล่าวให้กำลังใจที่หากทำครั้งที่ 1 และครั้งที่ 2 ไม่สำเร็จให้ลองใหม่ครั้งที่ 3 จะประสบผล ต้นกำเนิดของคำกล่าวยังไม่ชัดเจน บางแหล่งบอกว่า 3 เป็นตัวแทนของพระตรีเอกภาพ คือ พระบิดา พระบุตรและพระจิต ดังนั้น เลข 3จึงเป็นเลขที่ดีของชาวตะวันตก

…….นอกจากนั้นชาวตะวันตกเชื่อว่าเลข 8 มีรูปลักษณ์เหมือนกันกับสัญลักษณ์แห่งความเป็นนิรันดร์หรืออนันต์ในเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ที่หมายถึงความไม่มีที่สิ้นสุด (infinity) จึงถือเป็นเลขโชคลางที่ใช้สื่อความหมายถึงความเป็นอมตะ ไม่มีที่สิ้นสุดขณะที่เลข 8 สำหรับชาวจีนโดยเฉพาะผู้ที่ทำอาชีพค้าขายยกให้เลข 8 เป็นเลขแห่งมงคลเพราะในภาษากวางตุ้งมีความหมายว่า ร่ำรวย หรือ มั่งมีอีกทั้งยังหมายความได้ถึงตำนานแปดเซียนหรือโป๊ยเซียน ที่คอยดูแล ปกป้องรักษาลูกหลาน

…….ส่วน เลข 9 กับคนไทยนั้น ถือเป็นมงคลที่อยู่คู่กันมาช้านาน โดยเชื่อว่าเลข 9 ออกเสียงที่ไปพ้องกับคำว่า ก้าว หมายถึง ก้าวไปข้างหน้า ส่งผลให้ตัวเลข 9 กลายเป็นเลขมงคลที่คนไทยนิยมมากทุกยุคทุกสมัยแต่เลข 9 สำหรับชาวญี่ปุ่น เป็นสิ่งอัปมงคล เพราะ เลข 9 ในภาษาญี่ปุ่นจะอ่านออกเสียงว่า “คุ”ซึ่งไปพ้องเสียงกับคำที่หมายถึง ความยากลำบาก จึงถือว่าไม่ดีและไม่งามโดยเฉพาะบรรดานักเรียน ม.ปลายที่กำลังเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยถือว่าสำคัญต่ออนาคตของหนุ่มสาวญี่ปุ่นมากถ้าใครได้ทะเบียนสอบหมายเลข 9 ถือว่าโชคร้ายสุดๆ ก็ว่าได้

…….เลข13 ถือเป็นเลขแห่งความโชคร้ายและอัปมงคลตามความเชื่อของชาวตะวันตกโดยมีที่มาจากหลายๆ ตำนานในศาสนาคริสต์ เช่นตำนานอาหารมื้อสุดท้ายของพระเยซูคริสต์ที่ชื่อว่า เดอะลาสต์ซัปเปอร์ The Last Supper มีผู้ร่วมโต๊ะพร้อมหน้ากับพระองค์รวม 13 คนและจูดาร์ซึ่งเป็นศิษย์ทรยศก็นั่งในตำแหน่งที่ 13 ทำให้หมายเลขนี้กลายเป็นอาถรรพณ์ที่ชาวตะวันตกเกลียดกลัวและนำไปตีความถอดรหัสมากมาย เช่น โรงแรมส่วนใหญ่มักไม่มีห้องหมายเลข 13 หลายเมืองมักไม่มีถนนหมายเลขที่ 13 วงการรถแข่งไม่เคยปรากฏรถหมายเลขที่ 13 ฯลฯนอกจากนั้นประเทศตุรกี ยังยกเลิกการใช้เลข 13 ในสายระบบสารบบของตัวเลขเลยทีเดียว

…….สำหรับชาวอิตาลีเชื่อว่าเลข 17 มีระดับความน่ากลัวพอๆ กับเลข 13 สาเหตุเพราะเมื่อเขียนเลข 17 เป็นเลขโรมันจะอยู่ในรูปของ XVII ซึ่งเมื่อสลับตัวอักษรเป็น VIXI จะมีความหมายว่าฉันเคยมีชีวิตอยู่ ซึ่งแปลว่าตายแล้วจึงไม่น่าแปลกใจที่เราจะเห็นอาคารในอิตาลีมักไม่มีชั้น 17 สายการบินหลายสายไม่มีที่นั่งหมายเลข 17 แม้แต่รถสัญชาติฝรั่งเศสอย่างเรโนลต์ รุ่น R17 เมื่อเข้าไปจำหน่ายในอิตาลีก็ยังต้องเปลี่ยนชื่อรุ่นเป็น R177

…….ความเชื่อของศาสนาพราหมณ์เชื่อว่า เลข 25 เป็นเลขที่ไม่ค่อยจะดีนัก โดยเมื่อย่างเข้าอายุ 25 ปี หรือเบญจเพส จะหมายถึง การเข้าสู่โชคและเคราะห์ที่รุนแรงไม่ทางบวกก็เป็นลบต่อชีวิตแต่ไม่ว่าจะเป็นทางไหนก็ถือเป็นจังหวะชีวิตที่ต้องระมัดระวังตัวในการเกิดอุบัติเหตุหรือเคราะห์ร้ายให้ดี

…….ที่กล่าวไปทั้งหมดนี้ คือ ความเชื่อซึ่งสะท้อนให้เห็นความสำคัญของตัวเลขได้อย่างชัดเจน แล้วเมื่อตัวเลขเป็นสิ่งสำคัญ ดังนั้นจึงมีคนจำนวนไม่น้อยในสังคมที่ให้ความสำคัญกับการเลือกเบอร์โทรศัพท์ ทะเบียนรถ หรือแม้แต่การตั้งชื่อโดยคำนึงถึงตัวเลขที่ตีความได้จากการแปลตัวอักษร

…….ความเชื่อเรื่อง “ตัวเลข” เป็นความเชื่อส่วนบุคคลที่บางคนอาจจะเชื่อ หรือบางคนอาจจะไม่เชื่อ แต่หากไม่เชื่อก็ไม่ควรลบหลู่ หรือหากเชื่อก็ไม่ควรเชื่อจนงมงาย เพราะสิ่งที่สำคัญเหนือกว่าตัวเลข คงหนีไม่พ้นการทำความดี  เอาเป็นว่า “ตัวเลข” นั้น สำคัญไฉน?” เชื่อว่าแต่ละคนต่างที่ “คำตอบ” อยู่ในใจแล้วใช่ไหมครับ

คณิตศาสตร์กับชีวิต

………. “จุดมุ่งหมายของการศึกษาในอดีตจะเห็นได้ว่าการจัดการเรียนการสอนในช่วงต้นรัตนโกสินทร์คือระหว่างปี พ.ศ. 2325-2426 นั้นประเทศไทยยังไม่มีโรงเรียน แต่มีการเรียนกันที่วัดหรือที่บ้าน ความมุ่งหมายในสมัยนั้นคือ การให้สามารถ อ่าน เขียนภาษาไทย และคิดเลขได้ นอกจากนั้นอาจมีการเรียนช่างฝีมือกันที่บ้าน…” (ทิศนา แขมณี: ศาสตร์การสอน; 29)

จากข้อความข้างต้นจะเห็นว่าความสำคัญของคณิตศาสตร์นั้นมีมาตั้งแต่สมัยรัตนโกสินทร์ และถ้าจะค้นหาลึกลงไปนั้นในสมัยโบราณก็คงจะมีการใช้คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน ในสังคมให้ความสำคัญกับการคำนวณ การเปรียบเทียบด้วยตัวเลข เปรียบเสมือนกับเป็นสิ่งที่ควบคู่ไปกับวิถีชีวิตของบุคคลต่างๆในสังคม ไม่ว่าจะอยู่ในระดับใดของสังคม หรือต่างชนชาติกันก็ตาม คณิตศาสตร์ก็ยังเป็นสิ่งที่จำเป็น และเป็นสากล ได้แก่การบวก ลบ คูณ หาร และในความเชื่อที่ว่าคณิตศาสตร์เป็นกระบวนการแก้ปัญหาที่มีรูปแบบและขั้นตอนมาตรฐาน ดังนี้คือ (1)หาสิ่งที่ต้องการทราบ (2)ว่างแผนการแก้ปัญหา (3)ค้นหาคำตอบ (4)ตรวจสอบ จากขั้นตอนทางคณิตศาสตร์นี้เป็นกระบวนการแก้ปัญหาที่ทำให้เกิดกระบวนการเรียนรู้ที่เป็นระบบ เพื่อให้เกิดลำดับขั้นตอนในการแก้ไขสิ่งต่างๆที่เกิดขึ้น เปรียบเสมือนการแก้ปัญหาสิ่งๆหนึ่งโดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เพื่อหาข้อค้นพบและสามารถตรวจสอบข้อมูลต่างๆได้อย่างมีระบบ ระเบียบ

จะเห็นได้ว่าความสำคัญของคณิตศาสตร์นั้นมีความสำคัญกับชีวิตประจำวันเพื่อการดำเนินกิจกรรมต่างๆที่เกิดขึ้นเพื่อพัฒนาบุคคลในสังคมให้เกิดการแก้ปัญหาต่างๆที่เกิดขึ้น ไม่ว่าจะเป็นการซื้อ การขาย การคำนวณสิ่งปลูกสร้าง ซึ่งคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานในการหาข้อสรุปเพื่อให้เกิดชิ้นงานต่างๆที่เกิดขึ้นเพื่อสนองตอบต่อสิ่งที่บุคลต้องการให้เป็นไม่ว่าจะเป็นสิ่งก่อสร้าง สิ่งอำนวยความสะดวกสบายที่เกิดขึ้นจากข้อความข้างต้นจะเสนอความสอดคล้องของคณิตศาสตร์กับชีวิตประจำวันได้อย่างไรดังตัวอย่างดังต่อไปนี้

การซื้อขายของ เป็นการใช้หลักคณิตศาสตร์พื้นฐานได้แก่ การคำนวณในเรื่องของต้นทุน และการได้กำไร การกำหนดราคาเพื่อการตีค่าของราคาที่จะขายเพื่อให้เกิดกำไร ซึ่งเกี่ยวข้องหลักเศรษฐศาสตร์เบื้องต้นในการดำเนินการซื้อขาย  นอกจากนนี้ยังมีการทำบัญชีรายรับรายจ่าย ซึ่งก็ไม่พ้นในเรื่องของการใช้หลักคณิตศาสตร์ในการควบคุมการทำงาน

การสร้างที่อยู่อาศัย เป็นการคำนวณอัตราส่วนของพื้นที่ในการการปลูกสิ่งปลูกสร้าง ในที่นี้ขอยกตังอย่างการสร้างที่อยู่อาศัย เริ่มตั้งแต่การคำนวณหาพื้นที่ในการสร้าง โดยหลักการวัดพื้นที่ (กว้าง x ยาว) จากนั้นต้องมี่การคำนวณโครงสร้างของสิ่งปลูกสร้างต่างๆได้แก่ ปูน หิน ทราย ไม้กระเบื้องและอื่นๆที่เป็นสวนประกอบของการสร้างที่อยู่อาศัย โดยการผสมปูน ได้แก่การคำนวณอัตราส่วนของส่วนผสมในการสร้างบ้าน ซึ่งแตกต่างกันในการใช้งานเช่น พื้นปูนอาจมีการผสมให้มีความหยาบเพื่อใช้เป็นฐานของโครงบ้าน การฉาบอิฐจะต้องมีการละเอียดของปูนเพื่อให้เกิดการยึดแน่นของอิฐกับปูนเพื่อให้เกิดความแข็งแรงและสวยงาม เป็นต้น

การเงินการธนาคาร เป็นการออมทรัพย์เพื่อให้เกิดความความมั่นของชีวิต มีการคำนวณดอกเบี้ย ผลกำไร การปันผล การแลกเปลี่ยนเงินตราเพื่อให้ได้ผลประโยชน์ทางการเงิน โดยมีวิธีจูงใจผู้ฝากในรูปแบบต่างๆเช่น การออมทรัพย์ กระแสรายวัน ฝากประจำ ซึ่งมีการให้ดอกเบี้ยแตกต่างกันไป ขึ้นกับแต่ละธนาคารว่าจะให้ผลประโยชน์กับผู้ฝากอย่างไรและผู้ฝากเป็นผู้ตัดสินใจในการใช้บริการทางการเงินกับธนาคารใด

ทางการศึกษา เป็นการคำนวณหาค่าต่างๆทีเกี่ยวข้องกับการให้คะแนน วิจัย การทดลองโดยใช้ค่าทางสถิติเพื่อให้เกิดข้อค้นพบต่างๆในเชิงปริมาณเพื่อหาข้อเท็จจริงที่เกิดขึ้น

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นถึงความสำคัญของคณิตศาสตร์เป็นอย่างมากไม่ว่าจะเป็นการคำนวณ การวางแผนการทำงานในรูปแบบต่างๆ ล้วนสอดคล้องกับชีวิตประจำวันเป็นอย่างยิ่ง ผู้เขียนในฐานะที่กำลังศึกษาในสาขาวิชาคณิตศาสตร์และพัฒนาตนเองเพื่อไปสู่กกระบวนการจัดการเรียนการสอนให้กับนักเรียนได้เห็นถึงประโยชน์ของคณิตศาสตร์เพื่อประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างมีประสิทธิภาพต่อไป ผู้เขียนหวังเป็นอย่างยิ่งว่าผู้อ่าน เมื่อได้อ่านบทความนี้แล้วจะได้เห็นความสำคัญของคณิตศาสตร์

เอกสารอ้างอิง

ทิศนา แขมมณี. ศาสตร์การสอน องค์ความรู้เพื่อการจัดกระบวนการเรียนรู้ที่มีประสิทธิภาพ (ครั้งที่5 ฉบับ ปรับปรุง). กรุงเทพมหานคร:สำนักพิมพ์จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2550

เด็กไทยเจ๋งคว้าแชมป์คณิตศาสตร์เอเชีย

นักเรียนไทยสุดเจ๋งคว้าแชมป์คณิตศาสตร์โอลิมปิกเอเชียได้ 2 เหรียญทอง 3เหรียญเงิน และ6เหรียญทองแดง

เด็กไทยเจ๋งคว้าแชมป์คณิตศาสตร์เอเชีย
…….นายอภิชาติ จีระวุฒิ เลขาธิการคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (กพฐ.) เปิดเผยว่า จากการที่สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน(สพฐ.) ได้คัดเลือกและส่งผู้แทนนักเรียนไทยระดับชั้นมัธยมศึกษา เข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกเอเซีย ระดับมัธยมศึกษา Asia Inter-Cities Teenager’s Mathematics Olympiad 2013 (AITMO) ระหว่างวันที่ 26 – 30 ธันวาคม 2556 ณ สาธารณรัฐอินโดนีเซียจำนวน 12 คน ผลปรากฏว่า นักเรียนสามารถคว้ารางวัลประเภทบุคคล เหรียญทอง 2 เหรียญ ได้แก่ เด็กชายอรัญชย์ วงศ์พร้อมมูล โรงเรียนโยธินบูรณะ และเด็กชายวรัชญ์ วีระนนท์ชัย โรงเรียนมัธยมปัญญารัตน์ จังหวัดกรุงเทพฯ เหรียญเงิน 3 เหรียญ ได้แก่ เด็กชายปณิธิ มงคลปทุมรัตน์ เด็กชายณัฐพชร พงศ์จิรภัทร และเด็กหญิงฉัทชนัน สุริยาอมรานนท์ โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยศรีนคริทรวิโรฒ ปทุมวัน จังหวัดกรุงเทพฯ เหรียญทองแดง 6 เหรียญได้แก่ เด็กชายวิชัย กลั่นกล้า โรงเรียนสามเสนวิทยาลัย เด็กชายพีรพล วงศ์จงใจหาญ เด็กชายพสิษฐ์ สัจจามุกดาโรงเรียนบดินทร์เดชา (สิงห์ สิงหเสนี) จังหวัดกรุงเทพฯ เด็กชายกฤติน สุนทรากร โรงเรียนหาดใหญ่วิทยาลัย จังหวัดสงขลา เด็กหญิงปิยาภา ปิ่นเจริญ โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยศรีนคริทรวิโรฒ ปทุมวัน จังหวัดกรุงเทพฯ เด็กชายนพชัย สิระนาท โรงเรียนสาธิตจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ฝ่ายมัธยม จังหวัดกรุงเทพฯ ส่วนรางวัลชมเชย 1 รางวัล ได้แก่ เด็กชายธัมม์ ธรรมวิเศษ โรงเรียนราชสีมาวิทยาลัย จังหวัดนครราชสีมา
…….ประเภททีมได้ รางวัลรองชนะเลิศอันดับหนึ่ง 2 รางวัล (8 เหรียญ) ได้แก่ทีม A และทีม B ประเภทกลุ่มบุคคลได้ รางวัลรองชนะเลิศอันดับหนึ่ง 2 รางวัล (8 เหรียญ) ได้แก่ทีม A รายชื่อนักเรียนทีม A ได้แก่ 1. เด็กชายอรัญชย์ วงศ์พร้อมมูล โรงเรียนโยธินบูรณะ สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 1 (กรุงเทพมหานคร) 2. เด็กชายวิชัย กลั่นกล้าโรงเรียนสามเสนวิทยาลัย สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 1 (กรุงเทพมหานคร) 3. เด็กชายปณิธิ มงคลปทุมรัตน์ โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ ปทุมวัน สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากรุงเทพมหานคร4. เด็กหญิงปิยาภา ปิ่นเจริญ โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ ปทุมวัน สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากรุงเทพมหานคร และทีม B ได้แก่ 1. เด็กชายธัมม์ ธรรมวิเศษ โรงเรียนราชสีมาวิทยาลัย สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 31 (นครราชสีมา) 2. เด็กชายพีรพล วงศ์จงใจหาญ โรงเรียนบดินทร์เดชา (สิงห์ สิงหเสนี) สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 2 (กรุงเทพมหานคร) 3. เด็กชายวรัชญ์ วีระนนท์ชัย โรงเรียนมัธยมปัญญารัตน์สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากรุงเทพมหานคร 4. เด็กชายณัฐพชร พงศ์จิรภัทร โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ ปทุมวัน สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากรุงเทพมหานคร

…….รองชนะเลิศอันดับสอง 1 รางวัล (4 เหรียญ) ได้แก่ ทีม C คือ 1. เด็กชายกฤติน สุนทรากร โรงเรียนหาดใหญ่วิทยาลัย สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 16 (สงขลา) 2. เด็กชายพสิษฐ์ สัจจามุกดา โรงเรียนบดินทร์เดชา (สิงห์ สิงหเสนี) สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 2 (กรุงเทพมหานคร) 3. เด็กหญิงฉัทชนัน สุริยาอมรานนท์ โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ ปทุมวันสำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากรุงเทพมหานคร 4. เด็กชายนพชัย สิระนาท โรงเรียนสาธิตจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษากรุงเทพมหานคร นอกจากนี้ นักเรียนไทยทีม A ยังสามารถคว้ารางวัลคะแนนรวมสูงสุด รางวัลรองชนะเลิศอันดับสอง ได้อีก 1 รางวัล (4 เหรียญ) ด้วย

ที่มา ASTVผู้จัดการออนไลน์ 30 ธันวาคม 2556

เฉลย O-NET 52 วิชาคณิตศาสตร์ ม.3

……….ถ้าถามเด็กบกพร่องทางเกรดส่วนใหญ่ ว่ามีใครชอบคณิตศาสตร์หรือเปล่า ไม่ต้องเดาก็รู้ได้ทันทีว่าแทบไม่มีใครชอบหรอกครับ เพราะการเรียนการสอนในบ้านเรามักจะให้ค่าน้ำหนักวิชาคณิตศาสตร์เยอะๆ  ถ้าใครเก่งคณิตศาสตร์ ก็มักจะกลายเป็นเด็กเกรดหรู เกรดดี เป็นอย่างนั้นไป
……….ถ้าถามว่า “ส้มกับสับปะรด ผลไม้ชนิดใดดีกว่ากัน” หรือ “สีชมพูกับสีฟ้าสีไหนดีกว่ากัน”  ผมเชื่อว่าหลายคนคงจะตอบยาก แต่ถ้าถามว่าระหว่าง 10 บาทกับ 20 บาท จำนวนใมากกว่ากัน ทุกคนสามารถตอบได้ง่าย ๆ โดยไม่ต้องคิดเลย เป็นเพราะอะไรครับ เพราะว่าเป็นตัวเลขนั่นเอง แสดงว่าอะไรที่เป็นตัวเลขแล้วจะทำให้ง่ายขึ้น แต่แปลกที่เรายังคงไม่ชอบวิชาคณิตศาสตร์กันอยู่
……….เราถูกกดดัน ด้วยการเรียนการสอนและการสอบในห้องเรียน ทำให้ไม่ชอบวิชาคณิตศาสตร์มานาน หลายคนพูได้เต็มปากว่า เกลียดวิชานี้เหลือเกิน แท้จริงแล้ว คณิตศาสตร์คือเครื่องมือที่ช่วยให้เราทำอะไรได้ง่ายขึ้น  เช่น เราสามารถใช้คณิตศาสตร์ช่วยในการตัดสินใจได้ง่ายขึ้น ไม่ว่าจะเป็นเรื่องไปเที่ยว เรียนต่อ ซื้อโทรศัพท์มือถือ เลือกตั้ง ฯลฯ
……….ผมเชื่อว่าคนไทยเรายังคงใช้คณิตศาสตร์กันน้อย เนื่องจากหลายคนยังคงเล่นหวย โดยเฉพาะเลขท้าย 2 ตัว แทงไป 1 บาท ถ้าเราถูกเราก็จะได้ 70 บาท แต่อกาสถูกมี 1 ใน 100 ดังนั้นต่อให้ซื้อกี่งวด ๆ ก็จะขาดทุนอยู่ประมาณ 30% เสมอ ถ้าคิดอย่างนี้ได้ คณิตศาสตร์ก็คงช่วยให้ชีวิตเราดีขึ้นได้
……….ความจริงแล้วคณิตศาสตร์มีประโยชน์กับชีวิต เพียงแต่ว่าเราอาจจะไม่ชอบมันเท่านั้นเอง ตัวอย่างมีให้เห็นทั่วไป เช่น ในห้างสรรพสินค้าแบบซูปเปอร์สโตร์ เช่น บิ๊กซี โลตัส เหล่านี้ ก็มีการใช้คณิตศาสตร์มาช่วยในการคำนวณจำนวนเคาน์เตอร์แคชเชียร์ ถ้าช่วงเย็นมีลูกค้าเยอะ ก็ต้องเปิดเคาน์เตอร์แคชเชียร์เพิ่มขึ้น เพื่อลูกค้าจะได้ไม่ต้องรอคิวนาน แต่ถ้าเป็นช่วงกลางวันก็อาจลดจำนวนเคาน์เตอร์แคชเชียร์เหลือครึ่งหนึ่งก็เพียงพอแล้ว  เมื่อคณิตศาสตร์ทำเป็นระบบ ก็กลายเป็นปรแกรม ไม่ต้องใช้คนคำนวณอีกต่อไป แต่ทั้งนี้ ที่มาก็มาจากคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น
……….ในทางการแพทย์ก็ใช้คณิตศาสตร์ในการคำนวณปริมาณยาหรือคาดการณ์อาการของโรค ซึ่งต้องใช้กราฟ หรือสถิติมาช่วยเพื่อใช้คาดคะเนว่าจะเป็นอย่างไร
……….แล้วเราจะนำคณิตศาสตร์มาใช้ในการพัฒนาตนเอง เพื่อให้ชีวิตดีขึ้นได้ไหม ก็ลองดูนะครับ เช่น เราอยากพัฒนาให้มีความอดกลั้น มีความยับยั้งชั่งใจ มากกว่านี้ เพราะความอดกลั้น ความยับยั้งชั่งใจสำคัญกับชีวิตมาก เราเห็นได้ทั่วไปครับ ผู้ใหญ่หลายคนทำความดีมากมากมาย แต่สุดท้าต้องเสียผู้เสียคนเพราะขาดความอดกลั้น พอโมโหขึ้นมา ก็ไปตบคนอื่นบ้าง เอาปืนไปยิงเค้าบ้าง อนาคตดับวูบครับ
……….เราบันทึกเพื่อทำสถิตไว้เลยครับ ว่าเดือนนี้เราอดกลั้นไปแล้วกี่ครั้ง โมโหกี่ครั้ง จากนั้นก็ทำเป็นกราฟของแต่ละเดือน ดูว่าเราฝึกความอดกลั้นได้ดีแค่ไหน กราฟตัวนี้จะช่วยให้เรามองเห็นได้ว่าปีหนึ่ง ๆ เราพัฒนาตัวเองไปมากน้อยเท่าไหร่ ชัดเจนกว่าใช้ความรู้สึกคาดคะเนเอาครับ นอกจากนี้ยังปรับใช้กับการพัฒนาด้านอื่น ๆ ได้อีกเช่น ฝึกความประหยัด ความขยัน ฯลฯ
……….เราคงได้เห็นกันแล้วนะครับว่า คณิตศาสตร์อาจมีผลต่ออนาคตของเราอีกมาก บางทีเราแค่ไม่ชอบวิธีการสอนหรือเบื่อกับวิธีการสอบทำให้เรามองไม่เห็นว่า คณิตศาสตร์ที่เรียน ๆ อยู่ จะจำเป็นอะไรกับอนาคตของเรา วันนี้ใครจะเบื่อคณิตศาสตร์ก็ได้ไม่ว่ากันครับ แต่ถ้าใครหันมาสนใจกับมันสักหน่อยอาจจะชอบมันก็ได้…บ่นมาเยอะแล้วขอเข้าเรื่อง…”เฉลย O-NET 52 วิชาคณิตศาสตร์ ม.3” กันก่อนครับ
……….สืบเนื่องจากก่อนหน้านี้ ผมได้นำเสนอ “เฉลยข้อสอบ ONET ปี 53-54 วิชาคณิตศาสตร์ ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3“ ออกสู่เพื่อนครูและผู้สนใจทางเว็บไซต์ของผมเอง และเป็นเรื่องที่น่ายินดีและดีใจมากที่เอกสารที่เผยแพร่ได้รับการตอบรับจากทั้งนักเรียน ครู-อาจารย์ และผู้ปกครอง นำไปใช้เป็นสื่อเสริมในการฝึกฝน เพิ่มเติมทักษะและประสบการณ์การแก้โจทย์ปัญหาอย่างกว้างขวางเพื่อเตรียมสอบ O-NET ในปีต่อไป และมีผู้เริ่มสนใจได้สอบถามตลอดจนเสนอแนะให้ผมนำข้อสอบและเฉลยวิธีคิดละเอียดของ O-NET ปี 2552 ระดับ ม.3 วิชาคณิตศาสตร์ ขึ้นมาเผยแพร่บ้าง ผมก็เลยใช้เวลาว่าง ๆ นั่งเขียนเฉลยประมาณ 1 ชั่วโมง ที่ไม่ทำตอนแรกเนื่องจากว่ามีหลายสำนักพิมพ์ได้ทำเฉลยไว้แล้ว แต่เพื่อความสะดวกในการนำไปใช้และเผยแพร่ทั่วไป จึงได้จัดทำขึ้นอีกครั้งหนึ่ง และพบว่าเด็ก ๆ ให้ความสนใจและบางคนนำเอาไปฝึกทำที่บ้านด้วย ผมจึงคิดว่าน่าจะเป็นประโยชชน์ต่อนักเรียน ครู-อาจารย์ ผู้ปกครอง ตลอดจนบุคคลอื่น ๆ ที่มีความสนใจจะได้รับแนวคิด ทักษะการคิดคำนวณและวิธีการแก้ปัญหาจากการศึกษาเอกสารชุดนี้ เพื่อเป็นพื้นฐานในการพัฒนาศักยภาพทางด้านคณิตศาตร์ให้เจริญงอกงามยิ่งขึ้น และใช้เตรียมความพร้อมในการสอบ O-NET ที่จะมีขึ้นในปลายเดือนกุมภาพันธ์นี้อีกด้วย

หรือดาวน์โหลดได้ที่ >>> เฉลย O-NET 52 คณิตศาสตร์ | ข้อสอบ O-NET 52 คณิตศาสตร์ |

การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม

……….การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม จะใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน จำเป็นต้องระวังการนำพหุนามมาคูณหรือหารจำนวนทั้งสองข้างของสมการ พหุนามที่จะนำมาคูณหรือหารจะต้องไม่เท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ\frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{7}{3}(สมาคมฯ 55)
วิธีทำ……………..\frac{x(x+1)+(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{7}{3}
………………………….\frac{x^2+x+x^2-2x+1}{x^2-1} = \frac{7}{3}
…………………………3(2x^2-x+1) = 7(x^2-1)
…………………………x^2+3x-10 = 0
…………………………(x-2)(x+5) = 0
……………………………….x = 2, -5……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ\frac{5x-21}{x-4}+\frac{8x-10}{2x-3} = \frac{6x-23}{2x-7}+\frac{6x-5}{x-1}… (สมาคมฯ 42)

วิธีทำ…….\frac{5(x-4)-1}{x-4}+\frac{4(2x-3)+2}{2x-3} = \frac{3(2x-7)-2}{2x-7}+\frac{6(x-1)+1}{x-1}
………………..5-\frac{1}{x-4}+4+\frac{2}{2x-3} = 3-\frac{2}{2x-7}+6+\frac{1}{x-1}
………………………\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-1}-\frac{2}{2x-7}
…………………………….\frac{2x-8-2x+3}{(2x-3)(x-4)} = \frac{2x-7-2x+2}{(x-1)(2x-7)}
…………………………….\frac{-5}{(2x-3)(x-4)} = \frac{-5}{(x-1)(2x-7)}
………………………….(x-1)(2x-7) = (2x-3)(x-4)
……………………………2x^2-9x+7 = 2x^2-11x+12
………………………………………….2x=5
…………………………………………x = \frac{5}{2}……….ตอบ

……….วิธีลัดจับตัวส่วนมาบวกกันให้เท่ากับศูนย์
………………….(x-4)+(2x-3)+(2x-7)+(x-1) = 0
……………………………..x = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ…\frac{x-4}{x-5}-\frac{x-5}{x-6} = \frac{x-1}{x-2}-\frac{x-2}{x-3}
วิธีทำ…….ใช้วิธีลัดจับตัวส่วนมาบวกกันให้เท่ากับศูนย์
………………….(x-5)+(x-6)+(x-2)+(x-3) = 0
……………………………x = \frac{16}{4} = 4……….ตอบ
…………………อย่างนี้ ! … เพื่อนไม่กรี๊ด…แฟนไม่รัก ให้มันรู้ไป ๆ !!!

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า\frac{2x^2-x-3}{2x^2+3x-9} = \frac{a(x^2+1)}{x^3+3x^2+x+3}แล้ว.. a^3-3..เท่ากับเท่าใด (สมาคมฯ 38)
วิธีทำ…….แยกตัวประกอบก่อน จะได้
…………..\frac{(2x-3)(x+1)}{(2x-3)(x+3)} = \frac{a(x^2+1)}{(x+3)(x^2+1)}
………  …………\frac{x+1}{x+3} = \frac{a}{x+3}
….. ….จะได้……….a=x+1
……..ดังนั้นa^2-3 = (x+1)^2-3 = x^2+2x-2……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ ..a, b..เป็นจำนวนเต็ม และ ..\frac{x+7}{(x+1)(x-2)} = \frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}..จงหาค่าของ..a^2-b^2..(สมาคมฯ 51)
วิธีทำจากโจทย์จะได้\frac{a(x-2)+b(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{x+7}{(x+1)(x-2)}
………… เนื่องจากส่วนเท่ากัน ดังนั้นเศษก็ต้องเท่ากันด้วย
………….a(x-2)+b(x+1) = x+7
………….ถ้า..x = 2 \rightarrow 3b = 9 \rightarrow b = 3
………….ถ้า..x = -1 \rightarrow -3a = 6 \rightarrow a = -2
……. ดังนั้น..a^2-b^2 = (-2)^2-3^2 = 4-9 = -5……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้..\frac{2}{(x-y)(x-z)}+\frac{2}{(z-x)(z-y)}-\frac{2}{(y-z)(y-x)} = \frac{k}{(x-y)(y-z)}..แล้ว..k..มีค่าเท่าใด..(สมาคมฯ 51)
วิธีทำจัดสมการใหม่ได้เป็น-\frac{2}{(x-y)(z-x)}-\frac{2}{(y-z)(z-x)}+\frac{2}{(x-y)(y-z)}
……….หา ค.ร.น.ของส่วนได้เป็น (x-y)(y-z)(z-x) ..คูณตลอด จะได้
……………………=\frac{-2(y-z)-2(x-y)+2(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}
……………………=\frac{-2y+2z-2x+2y+2z-2x}{(x-y)(y-z)(z-x)}
……………………=\frac{4(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}
……………………=\frac{4}{(x-y)(y-z)}
…………………….ดังนั้น จะได้ว่าk=4……………ตอบ

ลองศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมจากคลิปวิดีโอนะครับ

การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

…….การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม (Adding and Subtracting fractional polynomial) ใช้วิธีการเดียวกับการบวกลบเศษส่วนของจำนวนจริง ถ้าตัวส่วนไม่เท่ากันต้องทำตัวส่วนที่เท่ากัน โดยการหา ค.ร.น.( least common multiple: lcm) ของตัวส่วนก่อน  ซึ่งมีหลักเกณฑ์ ดังนี้ ครับ

……. \frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} และ \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}

…….\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ \frac{x+y}{2(x-y)}-\frac{2xy}{x^2-y^2}+\frac{x-y}{2(x+y)}
วิธีทำ……… เขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น \frac{x+y}{2(x-y)}-\frac{2xy}{(x+y)(x-y)}+\frac{x-y}{2(x+y)}
………………นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ 2(x+y)(x-y) คูณตลอด จะได้เป็น
………………= \frac{(x+y)(x+y)-4xy+(x-y)(x-y)}{2(x+y)(x-y)}
………………= \frac{x^2+2xy+y^2-4xy+x^2-2xy+y^2}{2(x+y)(x-y)}
………………= \frac{2x^2-4xy+2y^2}{2(x+y)(x-y)} = \frac{2(x^2-2xy+y^2)}{2(x+y)(x-y)}
……………..= \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x+y}……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2\frac{2x+1}{2x^2+3x+1}-\frac{2x-1}{2x^2-3x+1}+\frac{2x^2}{x^2-1} ได้ผลลัพธ์เป็นเท่าใด
วิธีทำ……… เขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น \frac{2x+1}{(2x+1)(x+1)}-\frac{2x-1}{(2x-1)(x-1)}+\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}
………………= \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}
………………นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ (x+1)(x-1) คูณตลอด จะได้เป็น
………………=\frac{(x-1)-(x+1)+2x^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x^2-2}{(x+1)(x-1)}
………………= \frac{2(x^2-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2(x+1)(x-1))}{(x+1)(x-1)}
………………= 2……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 3ผลสำเร็จของ\frac{4x+8}{x^2+4}-\frac{16x+76}{(x^2+4)^2}-4เท่ากับเท่าใด (สมาคม 55)
วิธีทำ……… นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ (x^2+4)^2คูณตลอด
………………= \frac{(4x+8)(x^2+4)-(16x+76)-4(x^2+4)^2}{(x^2+4)^2}
………………= \frac{4x^3+8x^2+16x+32-16x-76-4x^4-32x^2-64}{(x^2+4)^2}
………………= \frac{-4x^4+4x^3-24x^2-108}{(x^2+4)^2}
………………= \frac{-4(x^4-x^3+6x^2+27)}{(x^2+4)^2}……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 4กำหนดให้\frac{y+2}{y^2-3y-10} - \frac{y-1}{y^2-2y-15} = \frac{Ay+B}{2y-4y-30}แล้วA+B มีค่าเท่าใด
วิธีทำ………เขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น\frac{y+2}{(y-5)(y+2)}-\frac{y-1}{(y-5)(y+3)}
……………..\frac{1}{y-5}-\frac{y-1}{(y-5)(y+3)}
……………..นำ ค.ร.น. ของส่วน(y-5)(y+3)คูณตลอด จะได้เป็น
……………..\frac{1(y+3)-(y-1)}{(y-5)(y+3)} = \frac{4}{(y-5)(y+3)}
……………..เทียยบ สปส.จะได้เป็น\frac{4}{(y-5)(y+3)} = \frac{Ay+B}{2(y-5)(y+3)}
……………..จะได้ A=0 และ B=8  ดังนั้นA+B=8……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 5ให้ \frac{x+5}{x^2+4x-5}-\frac{x+2}{x^2+2x-3} = \frac{Ax+B}{4x^2+8x-12}
………………..โดยที่ A, B..เป็นค่าคงตัว แล้ว A+3B มีค่าเท่าใด (สมาคม 52)
วิธีทำ………จากโจทย์จะได้ว่า\frac{x+5}{(x+5)(x-1)}-\frac{x+2}{(x+3)(x-1)} = \frac{Ax+B}{4(x^2+2x-3)}
………………..\frac{1}{(x-1)}-\frac{x+2}{(x+3)(x-1)} = \frac{Ax+B}{4(x+3)(x-1)}
…………… นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ 4(x+3)(x-1)คูณตลอด จะได้เป็น
……………….4(x+3)-4(x+2) = Ax+B
………………………….0x+4 = Ax+B
……………..จะได้ A = 0 และ B = 4
……………. ค่าของ  A+3B ..เท่ากับ..12……………..ตอบ

ลองศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมจากคลิปวิดีโอนะครับ

…..ดูคลิปเสร็จแล้วลองมาดาวน์โหลดแบบฝึกหัดและไปฝึกทำเป็นการบ้านดูนะครับ เรื่อง”การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม” ได้ผลเป็นอย่างไร เขียนมาเล่าให้ฟังบ้างนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

…….ถ้า p และ q เป็นพหุนามสองพหุนาม โดยที่ q\neq 0 เราจะเรียก \frac{p}{q} ว่า เศษส่วนของพหุนาม  (Fractional Polynomial) หรือจะกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า  เศษส่วนของพหุนาม ก็คือการเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปของเศษส่วนนั่นเองครับ และมีเงื่อนไขเพิ่ม เติมว่า พหุนามที่เป็นตัวส่วนจะต้องไม่เท่ากับศูนย์ด้วย
…….เนื่องจากพหุนามเป็นจำนวนจริง ดังนั้น เศษส่วนของพหุนามจึงเป็นจำนวนจริง เราจึงใช้กฎเกณฑ์ในการบวก ลบ คูณ หาร จำนวนจริงกับเศษส่วนของพหุนามได้

การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

1. หลักการคูณเศษส่วน  คือ  \frac{a}{b}\times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

2. หลักการหารเศษส่วน คือ \frac{a}{b}\div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

ตัวอย่างที่ 1 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ \left ( \frac{x^2-x}{x^2-2x-3} \right )\times \left ( \frac{x^2+2x+1}{x^2+4x} \right )\times \left ( \frac{x^2-16}{x^2-3x-4} \right )
วิธีทำ……แยกตัวประกอบ แล้วทำการตัดทอนจะได้เป็น
…………..\frac{x(x-1)}{(x-3)(x+1)}\times \frac{(x+1)(x+1)}{x(x+4)}\times \frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)(x+1)}
………….\frac{x-1}{x-3}………….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย \frac{x^2-y^2}{x^3+y^3}\times \frac{x+y}{x-y}\times \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}
วิธีทำ…..\frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}\times \frac{x+y}{x-y}\times \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)(x+y)}
………….\frac{1}{x+y} ………….ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ \frac{x^4-y^4}{x^2-2xy+y^2}\div \left [ \frac{x^3-y^3}{xy^2-y^3}\times \frac{x^2y^2+y^4}{x^2+xy+y^2} \right ]
วิธีทำ…..แยกตัวประกอบ แล้วทำการตัดทอน
…………\frac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{x^2-2xy+y^2}\div \left [ \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{y^2(x-y)}\times \frac{y^2(x^2+y^2)}{x^2+xy+y^2} \right ]
………..\frac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{x^2-2xy+y^2}\div \left [ x^2+y^2 \right ]
……….\frac{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}{(x-y)(x-y)} \times \frac{1}{x^2+y^2}
……….\frac{x+y}{x-y}……..ตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงหารูปอย่างง่ายของ \frac{4x^2+5x-6}{4x^2-13x+3} \div \left [ \frac{4x^2+3x-10}{8x^2+10x-3}\times \frac{8x^2+6x-9}{4x^2-17x+15} \right ]
วิธีทำ….แยกตัวประกอบก่อน แล้วทำการตัดทอน
………..\frac{(4x-3)(x+2)}{(4x-1)(x-3)}\times \frac{(4x-1)(2x+3)}{(4x-5)(x+2)}\times \frac{(4x-5)(x-3)}{(4x-3)(2x+3)}
………. =  1……..ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ \frac{3x^2+7x-6}{x^3+3x^2+9x}\times \frac{6x^3+54x}{2x^4-162}\div \frac{27x^2-12}{x^3-27}
วิธีทำ…..ให้ดึงตัวร่วมก่อนแยกตัวประกอบนะครับ
…………\frac{3x^2+7x-6}{x(x^2+3x+9)}\times \frac{6x(x^2+9)}{2(x^4-81)}\div \frac{3(9x^2-4)}{x^3-27}
…………\frac{(3x-2)(x+3)}{x(x^2+3x+9)}\times \frac{6x(x^2+9)}{2(x^2+9)(x+3)(x-3)}\times \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{3(3x+2)(3x-2)}
………..\frac{1}{3x+2}…………ตอบ

ลองศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมจากคลิปวิดีโอนะครับ

…..ฝากนักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ในระดับชั้น ม.3 ในหน่วยที่ 2 เศษส่วนของพหุนาม ได้ดาวน์โหลดแบบฝึกหัดและไปฝึกทำเป็นการบ้านดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร เขียนมาเล่าให้ฟังบางนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การคูณและการหารพหุนาม

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 62 other followers