การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีใช้สูตร

…….การหาคำตอบของสมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไป ax^2+bx+c = 0 สามารถทำได้โดย 1) แยกตัวประกอบ 2) แก้โดยทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แต่ในบางครั้งถ้าเราต้องการความรวดเร็วและสะดวก อาจจะใช้สูตรสำเร็จ (formula) เข้าช่วย ซึ่งได้มาจากการใช้ความรู้เกี่ยวกับกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างของกำลังสอง ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ ดังนี้
………………….ax^2+bx+c = 0
…….หารด้วย a ;……..x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
…………….x^2+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
…………………….(x+\frac{b}{2a})^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}
………………………..x+\frac{b}{2a}= \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
.
……………………………..x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}…………. จำสูตรนี้ให้ได้นะครับ !!! 

คำตอบที่ได้มี 2 คำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac > 0
………………มี 1 คำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac = 0
……………..ไม่มีคำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac < 0

……..ถ้ากำหนด \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} และ \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} เท่ากับ \alpha และ \beta ตามลำดับ และเรียก \alpha และ \beta เป็น รากของสมการ (roots of equations) จะได้ว่า
……. ผลบวกของราก \alpha +\beta = -\frac{b}{a}
……. ผลคูณของราก \alpha\beta = \frac{c}{a}

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 2x^2-3x-4 = 0
วิธีทำ……………..a = 2, b = -3, c= -4
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-4)}}{2\cdot 2}
……………………….= \frac{3\pm \sqrt{9+32}}{4}
………………………= \frac{3\pm \sqrt{41}}{4}
…………..ดังนั้น…..x = \frac{3+ \sqrt{41}}{4}, \frac{3- \sqrt{41}}{4}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 9x^2-30x+25 = 0
วิธีทำ……………..a = 9, b = -30, c= 25
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-(-30)\pm \sqrt{(-30)^2-4\cdot 9\cdot 25}}{2\cdot 9}
……………………….= \frac{30\pm \sqrt{900-900}}{18}
………………………= \frac{30}{18} = \frac{5}{3}
…………..ดังนั้น…..x = \frac{5}{3}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+4x+13 = 0
วิธีทำ……………..a = 1, b = 4, c= 13
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 13}}{2\cdot 1}
……………………….= \frac{-4\pm \sqrt{16-52}}{2}
………………………= \frac{4\pm \sqrt{-36}}{2}
………….เนื่องจาก ..b^2-4ac < 0ดังนั้น ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

ตัวอย่างที่ 4 กำหนด 2x^2-7x+4 = 0 จงหาผลบวกของค่า x และผลคูณของค่า x
วิธีทำ……..a = 2, b=-7, c=4
…………….ผลบวกของค่าx = -\frac{b}{a} = \frac{7}{2}
……………ของคูณของค่าx = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่า k ซึ่งจะทำให้สมการ 2x^2-7x+3k = 0 มีรากทั้งสองมีค่าเท่ากัน
วิธีทำ…….ax^2+bx+c = 0 มีรากทั้งสองเท่ากัน เมื่อ b^2-4ac = 0
……………2x^2-7x+3k = 0มีรากทั้งสองเท่ากัน
……………………จะได้ …..(-7)^2-4(2)(3k) = 0
……………………………….49-24k = 0
…………………………………x = \frac{49}{24}

ตัวอย่างที่ 6 ถ้า \alpha และ \beta เป็นรากของสมการ 2x^2+5x+1 = 0 จงหาค่าของ (\alpha -2)(\beta -2)
วิธีทำ…….2x^2+5x+1 = 0มีรากเท่ากับ ..\alpha และ \beta
………….ดังนั้น\alpha +\beta = -\frac{5}{2}และ\alpha\beta = \frac{1}{2}
……….(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha \beta -2\alpha -2\beta +4
……….(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha \beta -2\alpha -2\beta +4
…………………………..= \frac{1}{2}-2(-\frac{5}{2})+4
…………………………..= \frac{1}{2}+5+4
…………………………..= 9\frac{1}{2}

ตัวอย่างที่ 7 ถ้า  r_{1} และ r_{2}  เป็นรากของสมการ 6x^2-7x-3 = 0 แล้ว  ค่า k ที่ทำให้  \frac{1}{r_{1}} และ   \frac{1}{r_{2}}  เป็นรากของสมการ  x^2+kx-2 = 0 เป็นเท่าใด
วิธีทำ……จากสมการ6x^2-7x-3 = 0
…………จะได้…….(3x+1)(2x-3) = 0
…………………………..x = \frac{3}{2}, -\frac{1}{3}
……ดังนั้นr_{1} และ r_{2}  คือ \frac{2}{3}, -3  เป็นรากของ x^2+kx-2 = 0
……….จะได้…..(3x-2)(x+3) = 0
……………………3x^2+7x-6 = 0
……นำ..3..หารตลอดx^2+\frac{7}{3}x-2 = 0
………………ดังนั้น…..k = \frac{7}{3}

ลองศึกษาคลิปวิดีโอจาก YouTube อีกครั้งนะครับ เพื่อให้เกิดความเข้าใจยิ่งขึ้น หากมีความสงสัยหรือต้องการซักถามเพิ่มเติม ฝากคำถามไว้เลยนะครับ หรือทางข้อความผ่าน Facebook @ krupraiwan ตามลิงค์เลยนะครับ

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์

…….ในครวที่แล้วได้กล่าวถึง  การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ ซึ่งหาได้จากพหุนามที่เราแยกตัวประกอบได้ แต่ในการหาคำตอบของสมการ ax^2+bx+c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว  และ a \neq 0 นั้น ในบางครั้งไม่สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม  ax^2+bx+c  ได้โดยง่ายดังเช่นที่ผ่านมา ในกรณีเช่นนี้เราอาจใช้ความรู้ในเรื่องกำลังสองสมบูรณ์ มาช่วยในการแก้สมการนี้
…….หลักการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
…….1. ทำสัมประสิทธิ์ของ ..x^2 ..ให้เป็น.. 1..ก่อน
…….2. จัดให้พจน์อิสระ คือพจน์ที่ไม่มี x อยู่ทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ
…….3. ให้บวกด้วยกำลังสองของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ
…….4. ทางด้านซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับให้เขียนเป็นรูปสองพจน์ยกกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ x^2-6x-1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-6x…..= 1
……………………..x^2-6x+3^2 = 1+9
…………………………..(x-3)^2 = 10
………………………………x-3 = \pm \sqrt{10}
……………………………………x = 3 \pm \sqrt{10}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ x^2-5x+2 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-5x…..= -2
………………….x^2-5x+(\frac{5}{2})^2 = -2+\frac{25}{4}
………………………….(x-\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}
……………………………..x-\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}
…………………………………..x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+x+1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2+x…..= -1
………………….x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = -1 +\frac{1}{4}
…………………………(x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4}
…….เนื่องจาก (x+\frac{1}{2})^2 \geq 0 สำหรับทุกค่าของ x
…….แสดงว่าไม่มีค่า x ที่ทำให้สมการ (x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4} เป็นจริง
……………….นั่นคือ สมการ x^2+x+1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ 3x^2-7x-1 = 0
วิธีทำ…..นำ 3 หารตลอด แล้วย้ายข้าง จัดรูปสมการ จะได้
………………….x^2-\frac{7}{3}x…..= \frac{1}{3}
……………x^2-\frac{7}{3}x+(\frac{7}{6})^2 = \frac{1}{3}+\frac{49}{36}
……………………(x-\frac{7}{6})^2 = \frac{12+49}{36}=\frac{61}{36}
………………………..x-\frac{7}{6} = \pm \frac{\sqrt{61}}{6}
……………………………..x = \frac{7\pm \sqrt{61}}{6}

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า  \frac{1+\sqrt{13}}{2}   และ  \frac{1-\sqrt{13}}{2}   เป็นรากของสมการ  ax^2-x+c = 0  เมื่อ    a \neq 0   แล้ว a^2+c^2    มีค่าเท่าใด
วิธีทำใช้กระบวนการคิดย้อนกลับ จากx = \frac{1\pm \sqrt{13}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2}
…………..จะได้เป็น………(x- \frac{1}{2})^2 = \frac{13}{4}
…………………………..x^2-x+\frac{1}{4} = \frac{13}{4}
………………………….x^2-x-3 = 0
…………..เทียบ ส.ป.ส. จะได้a=1, c=-3
………ดังนั้นa^2+c^2 = 1^2+(-3)^2 = 10

ตัวอย่างที่ 6 ถ้าผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนเรียงกันเท่ากับ  462   แล้วผลบวกของจำนวนทั้งสองนี้มีค่าเท่าไร
วิธีทำ…….ให้จำนวนที่เรียงกันสองจำนวนเป็น  x และ x+1
……………….จะได้………x(x+1) = 462
………………………x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = 462+\frac{1}{4}
……………………………..(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{1848+1}{4} = \frac{1849}{4}
…………………………………x+\frac{1}{2} = \pm \frac{43}{2}
……………………………………….x = \frac{-1\pm 43}{2} = \frac{42}{2}, -\frac{44}{2}
……………………………………….x = 21, -22
……………………………………….x = 21
……………ดังนั้น ผลบวกของจำนวนทั้งสอง เป็น 21+22 = 43

หลังจากดูตัวอย่างแล้วเป็นยังไงบ้างครับ เกี่ยวกับการแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์พอจะเข้ากันกันบ้างไหมเอ่ย เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น งั้นไปลองดูคลิปกันเลยครับ

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

……. จากนิยามของทฤษฎีบทเศษเหลือที่ว่า เมื่อพหุนาม P(x) หารด้วยพหุนาม x-cเมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เศษที่ได้จะเท่ากับ P(c) ทำให้เราทราบว่าเมื่อ P(c) = 0 จะทำให้ x-c เป็นตัวประกอบหนึ่งของ P(x) นั่นคือ
……. “พหุนาม P(x) จะมี x-cเป็นตัวประกอบหนึ่ง ก็่ต่อเมื่อ P(c) =0
…….ข้อความนี้มีชื่อเรียกว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) เรานำทฤษฎีบทดังกล่าวมาช่วยในการแยกตัวประกอบของ ได้ โดยการสุ่มหาค่า kที่ทำให้ P(k) = 0 พอดี เพื่อให้ทราบว่ามีตัวประกอบหนึ่งเป็น x-k และจากนั้นก็นำ x-kที่ได้นี้ ไปหารออกจาก P(x) เพื่อลดทอนกำลังลง และทำซ้ำจนกระทั่งแยกตัวประกอบได้ครบถ้วน

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 8x^3-6x^2-17x-6
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
…………P(2) = 8(2)^3-6(2)^2-17(2)-6 = 64-24-34-6 = 0
…………นั่นคือ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x-2} = 8x^2+10x+3
………………….P(x) = (x-2)(8x^2+10x+3)
………………….P(x) = (x-2)(2x+1)(4x+3)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ8x^3-6x^2-17x-6 = (x-2)(2x+1)(4x+3)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 6x^3+x^2-19x+6
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
…………P(-2) = 6(-2)^3+(-2)^2-19(-2)+6 = -48+4+38+6 = 0
…………นั่นคือ x+2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x+2} = 6x^2-11x+3
………………….P(x) = (x+2)(6x^2-11x+3)
………………….P(x) = (x+2)(3x-1)(2x-3)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ6x^3+x^2-19x+6 = (x+2)(3x-1)(2x-3)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 4x^3-20x^2+29x-10
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 10 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
…………P(2) = 4(2)^3-20(2)^2+29(2)-10 = 32-80+58-10 = 0
…………นั่นคือ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x-2} = 4x^2-12x+5
………………….P(x) = (x-2)(4x^2-12x+5)
………………….P(x) = (x-2)(2x-5)(2x-1)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ4x^3-20x^2+29x-10 = (x-2)(2x-5)(2x-1)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ P(x) = x^4-3x^3+4x^2-6x+4…….(สมาคม 56)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 4 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 4
…………P(1) = (1)^4-3(1)^3+4(1)^2-6(1)+4 = 1-3+4-6+4 = 0
…………P(2) = (2)^4-3(2)^3+4(2)^2-6(2)+4 = 16-24+16-12+4 = 0
…………นั่นคือ x-1 และ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x) โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้\frac{P(x)}{(x-1)(x-2)} = x^2+2
………………….P(x) = (x-1)(x-2)(x^2+2)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของx^4-3x^3+4x^2-6x+4 = (x-1)(x-2)(x^2+2)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ P(x) = 2x^4-5x^3-24x^2-7x+10…….(สมาคม 54)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 10 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
…………P(-1) = 2(-1)^4-5(-1)^3-24(-1)^2-7(-1)+10 = 2+5-24+7+10 = 0
…………P(-2) = 2(-2)^4-5(-2)^3-24(-2)^2-7(-2)+10 = 32+40-96+14+10 = 0
…………นั่นคือ x+1 และ x+2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x) โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้\frac{P(x)}{(x+1)(x+2)} = 2x^2-11x+5
………………….P(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของP(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)

…….เป็นอย่างไรบ้างครับเกี่ยวกับใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้ต่อเลยนะครับ

จากนั้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 2.6 การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเหศษเหลือ ไปฝึกทำลองดูครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ร่วมแสดงความคิดเห็นได้เลยครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem)

…….ในการหารพหุนาม เมื่อเรานำเอาพหุนามหารด้วยพหุนาม จะได้ผลหารทั้งที่ลงตัวมีเศษเป็นศูนย์ และทั้งที่เหลือเศษ ไม่ใช่ศูนย์ แต่ในกรณีทั่วไป เมื่อหารพหุนาม P(x) ใด ๆ ด้วยพหุนาม x-a ที่ a เป็นค่าคงตัว เมื่อหารแล้วมีเศษ เราจะเรียกว่า เศษเหลือ

…..นิยาม เมื่อพหุนาม P(x)หารด้วยพหุนาม x-cเมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เศษที่ได้จะเท่ากับ P(c)

…..เมื่อนำพหุนามมาหารกัน ทั้งผลหารและเศษที่ได้จะเป็นพหุนามเช่นกัน โดยเศษต้องเป็นหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าตัวหารเสมอ ในทฤษฎีเศษเหลือนี้ กล่าวถึงการหารที่มีตัวหารมีดีกรีเป็น 1 เท่านั้น เศษที่ได้จึงมีดีกรี 0 หรือค่าคงที่นั่นเอง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเศษเมื่อ 2x^3+3x^2-5x-4 หารด้วย x+1
วิธีทำ…..ให้ P(x) = 2x^3+3x^2-5x-4 หารด้วย x-c จะเหลือเศษ P(c)
…………และ x-c = x+1 จะได้ c=-1
………..ดังนั้น P(-1) = 2(-1)^3+3(-1)^2-5(-1)-4
……………………….= -2+3+5-4
……………………….= 2
………..ดังนั้น เศษคือ 2

ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงให้เห็นว่าx+7 เป็นตัวประกอบของ x^3-39x+70
วิธีทำ….ให้  P(x) = x^3-39x+70 หารด้วย  x+7 จะเหลือเศษ  P(-7)
…..ดังนั้นP(-7) = (-7)^3-39(-7)+70
………………….= -343+273+70
………………….= 0
………….เศษเป็น 0 แสดงว่า x+7 หาร x^3-39x+70 ลงตัว

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า P(x) = x^3+2x^2+3x+k และ Q(x) = x^3+x^2+9ต่างก็หารด้วย x+2 แล้วเหลือเศษเท่ากัน จงหาค่า k
วิธีทำ…..เนื่องจาก P(x) และ  Q(x) ต่างก็หารด้วย x+2 แล้วเหลือเศษเท่ากัน
………… จะได้ว่า …….. P(-2) = Q(-2)
……..แทนค่า(-2)^3+2(-2)^2+3(-2)+k = (-2)^3+(-2)^2+9
………-8+8-6+k = -8+4+9
…………………k-6= 5
……………………….k= 11

ตัวอย่างที่ 4 ถ้าพหุนามP(x) = ax^2+bx+2และ Q(x) = bx^2-ax+1 หารด้วย  x+1  เหลือเศษ 8 และ 3 ตามลำดับ แล้ว a^2+5b  มีค่าเท่าใด
วิธีทำ….จากทฤษฎีบทเศษเหลือจะได้ … P(-1) = 8
………แทนค่าP(-1) = a(-1)^2+b(-1)+2
…………………….8 = a-b+2
………………a-b = 6 ………………….. (1)
………………และ Q(-1) = 3
………แทนค่าQ(-1) = b(-1)^2-a(-1)+1
……………………..3 = b+a+1
………………..a+b = 2………………….(2)
……(1) + (2) จะได้…..2a = 8  …. a = 4
……แทนค่า a = 4 ใน ..(2) ..จะได้ b = -2
………ดังนั้นa^2+5b = (4)^2+5(-2) = 16-10 = 6

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ P(x) = x^3+bx^2+cx+d  เมื่อ b,c,d เป็นค่าคงตัว ถ้า P(x)-3 หารด้วย x+1, x-2 และ x+3ลงตัว แล้ว b+c+dมีค่าเท่าใด
วิธีทำถ้า P(x)-3 หารด้วย x+1, x-2 และ x+3ลงตัว แสดงว่า
…………….P(x)-3 = (x+1)(x-2)(x+3)
…………….P(x)-3 = (x+1)(x^2+x-6)
………………………..= x^3+x^2-6x+x^2+x-6
………………………..= x^3+2x^2-5x-6
………………..P(x) = x^3+2x^2-5x-3
…..เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้b=2 , c=-5, d=-3
……ดังนั้น b+c+d = 2+(-5)+(-3) = 2-5-3 = -6

…..พอจะเข้าใจเกี่ยวกับการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งจะเป็นพื้นฐานในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 3 บ้างไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้ต่อเลยนะครับ

เมื่อดูคลิปเสร็จแล้ว ให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 2.5 ทฤษฎีบทเศษเหลือ ไปทำลองดูครับ เพื่อที่จะให้ทราบว่าเรามีความเข้าใจมากน้อยเพียงใด

หรือดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 2.5 ทฤษฎีบทเศษเหลือ

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสามและผลต่างของกำลังสาม

……. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอีกรูปแบบหนึ่ง คือ ผลบวกของกำลังสาม เป็น A^{3}+B^{3} และผลต่างของกำลังสาม เป็น A^{3}-B^{3}

…….เราสามารถพิสูจน์ที่มาของสูตร ผลบวกกำลังสาม A^{3}+B^{3} = (A+B)(A^2-AB+B^2) ได้ดังนี้
A^{3}+B^{3} = A^3+A^2B-A^2B+B^3
…………..= (A^3+A^2B)-(A^2B-B^3)
…………..= A^2(A+B)-B(A^2-B^2)
…………..= A^2(A+B)-B(A+B)(A-B)
…………..= (A+B)\left \{ A^2-B(A-B) \right \}
…………..= (A+B)(A^2-AB+B^2)

…….ททำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ที่มาของสูตร ผลต่างกำลังสาม A^{3}-B^{3} = (A-B)(A^2+AB+B^2) ได้ดังนี้
A^{3}-B^{3} = A^3-A^2B+A^2B-B^3
…………..= (A^3-A^2B)+(A^2B-B^3)
…………..= A^2(A-B)+B(A^2-B^2)
…………..= A^2(A-B)+B(A+B)(A-B)
…………..= (A-B)\left \{ A^2+B(A+B) \right \}
…………..= (A-B)(A^2+AB+B^2)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบ x^3+8
วิธีทำ …….x^3+8 = x^3+2^3
…………………….=(x+2)(x^2-2x+4)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบ 1331y^3-343z^3
วิธีทำ ….1331y^3-343z^3= (11y)^3-(7z)^3
……………………………..=(11y-7z)(121y^2+77yz+49z^2)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบ 3x^3-\frac{3}{8}
วิธีทำ3x^3-\frac{3}{8} = 3\left \{ x^3-\frac{1}{8} \right \}
…………………..= 3\left \{ x^3-\left (\frac{1}{2} \right )^3 \right \}
…………………..= 3\left ( x-\frac{1}{2} \right )\left ( x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \right )

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบ x^3-y^6
วิธีทำ…..x^3-y^6 = x^3 - (y^2)^3
……………………= (x-y^2)(x^2+xy^2+y^4)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบ (8x-15)^3-(3x-7)^3
วิธีทำ= \left [ (8x-15)-(3x-7) \right ]\left [ (8x-15)^2+(8x-15)(3x-7)+(3x-7)^2 \right ]
………= \left [ (5x-8) \right ]\left [(64x^2-240x+225)+(24x^2-101x+105)+(9x^2-42x+49) \right ]
………=(5x-8)(97x^2-383x+379)

…….พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ เกี่ยวกับ “การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสามและผลต่างของกำลังสาม” ลองมาดูคลิปวิดีโอประกอบอีกครั้งครับ เพื่อให้มีความเข้าใจมากยิ่งขึ้น

นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยวิธีผลบวกและผลต่างของกำลังสาม” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

ร้อยละของจำนวนใด

…….ร้อยละที่ใช้อยู่ในชีวิจประจำวันมีมากมาย เช่น อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ – เงินฝาก , ลดราคาสินค้า เป็นต้น แต่การคิดร้อยละต้องระบุจำนวนด้วยว่าเป็นร้อยละของจำนวนใด มิฉะนั้น จะได้ผลที่ไม่ถูกต้อง เช่น ร้อยละ 5 หรือ 5% ซึ่งไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นร้อยละ 5 ของจำนวนใด
…….แต่ถ้าระบุว่า ร้อยละ 5 ของ 40 หรือ 5% ของ 40 จะหมายถึง \frac{5}{100}\times 40 = 2
…….นั่นคือ ร้อยละ 5 ของ 40 เท่ากับ 2
…….หรือ ร้อยละ 5 ของ 75 หมายถึง \frac{5}{100}\times 75 = 3.75
…….หรือ ร้อยละ 5 ของ 120 หมายถึง \frac{5}{100}\times 120 = 6

ตัวอย่างที่ 1  400%  ของ  0.065  มากกว่าหรือน้อยกว่า  4% ของ  650  อยู่เท่าไร
วิธีทำ……. 400% ของ 0.065 หมายถึง \frac{400}{100}\times 0.065 = 0.26
…………..4%  ของ 650 หมายถึง \frac{4}{100}\times 650 = 26
…………..ดังนั้น 400%  ของ  0.065  น้อยกว่า  4% ของ  650 อยู่ 26 – 0.26 = 25.74

ตัวอย่างที่ 2 จงหาว่า  2% ของ  5% ของ  6% ของ 1,000,000  คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ  240
วิธีทำ…….2% ของ  5% ของ  6% ของ 1,000,000 หมายถึง \frac{2}{100}\times \frac{5}{100}\times \frac{6}{100}\times 1,000,000 = 60
…………..  60 คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ 420 จะได้ \frac{60}{240}\times 100 = 25
………….  ดังนั้น 2% ของ  5% ของ  6% ของ 1,000,000 คิดเป็น 25 % ของ 240

ตัวอย่างที่ 3 นักเรียนชั้น ม.1 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งสอบได้ 84% มีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 663 คน อยากทราบว่า นักเรียนชั้น ม.1 ของโรงเรียนแห่งนี้มีกี่คน
วิธีทำ…..นักเรียนชั้น ม.1 สอบได้ 84% หมายความว่า ถ้ามีนักเรียนม.1 จำนวน 100 คน จะมีนักเรียนสอบได้ 84 คน และสอบตก 100-84 = 16 คน
……….. ดังนั้น จึงมีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 84 – 16 = 68 8o
……….. มีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 68 คน จากนักเรียนทั้งหมด 100 คน
……….. ถ้ามีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 663 คน จะมีนักเรียนทั้งหมด \frac{100}{68}\times 663 = 975 คน
……….. ดังนั้น นักเรียนชั้น ม.1 ของโรงเรียนแห่งนี้มี 975 คน

ตัวอย่างที่ 4 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งเปลี่ยนแปลงไปเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีด้านหนึ่งยาวเพิ่มขึ้นร้อยละ 60 อีกด้านหนึ่งยาวลดลงร้อยละ 60 แล้ว ถามว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีพื้นที่เปลี่ยนแปลงจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างไร
วิธีทำ…..สมมติให้ ความยาวแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมยาวด้านละ 10 หน่วย มีพื้นที่ 10 × 10 = 100 ตารางหน่วย
………… 60% ของความยาวเดิม หมายถึง \frac{60}{100}\times 10 = 6
……….. จะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า ยาว 10+6 = 16 หน่วย และกว้าง 10 – 6 = 4 หน่วย
………..  ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าใหม่ เป็น 16 × 4 = 64  ตารางหน่วย
……….. สรุปได้ว่า สี่เหลี่ยมใหม่มีพื้นที่ลดลงจากเดิม 100 – 64 = 36 ตารางหน่วย หรือ ลดลงจากเดิม 36 %

ตัวอย่างที่ 5 ปากกา 1,800 ด้าม เป็นปากกาสีน้ำเงิน ปากกาสีดำ และปากกาสีแดง นำมาจัดวางขายบนชั้น โดยเป็นปากกาสีน้ำเงิน 65% ของปากกาทั้งหมด และเป็นปากกาสีดำ 15% ของทั้งหมด ที่เหลือเป็นปากกาสีแดง ต่อมาขายปากกาสีน้ำเงินไปจำนวนหนึ่ง แล้วนับปากกาทั้งหมดใหม่ พบว่าเป็นปากกาสีน้ำเงินอยู่ 55% ของปากกาที่เหลืออยู่บนชั้น อยากทราบว่าจะเหลืออปากกาสีน้ำเงินกี่ด้าม
วิธีทำ…..เดิมมีปากกาสีน้ำเงิน \frac{65}{100}\times 1,800 = 1,170 ด้าม
……….ขายปากกาสีน้ำเงินไป.. n ..ด้าม เหลือปากกาสีน้ำเงิน 1,170-n ด้าม
……….และมีปากกาเหลือทั้งหมด 1,800-n ด้าม
………..ดังนั้น อัตราส่วนของ ปากกาน้ำเงินเหลือ : ปากกาที่เหลือบนชั้น เป็น \frac{1,170-n}{1,800-n} = \frac{55}{100}
…………..แก้สมการได้ n = 400
……..เหลือปากกาสีน้ำเงิน 1,170 - 400 = 770  ด้าม

…….เป็นยังไงกันบ้างครับเกี่ยวกับการคิดคำนวณ “ร้อยละของจำนวนใด” พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ ลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “ร้อยละของจำนวนใด”  ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง…แล้วพบกันใหม่ครับ Bye…Bye

คลิปวิดีโอเสริมเพิ่มความเข้าใจ |คลิปที่ 1|คลิปที่ 2 |

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ร้อยละของจำนวนใด ใน คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1

จำนวนนับ (Counting Number)

…….นักเรียนรู้จักจำนวนนับและสมบัติเบื้องต้นของจำนวนนับมาบ้างแล้วในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.1 แต่ยังมีสมบัติอีกบางประการที่น่ารู้จัก เพื่อให้นักเรียนมีความรู้และความเข้าใจในเรื่องจำนวนนับมากขึ้น ได้แก่ การตรวจสอบจำนวนนับนั้นว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่  การหา ห.ร.ม.(ตัวหารร่วมมาก) ของจำนวนนับสองจำนวนที่มีค่ามากเพื่อให้หาได้สะดวกและรวดเร็ว เราไปดูรายละเอียดกันเลยครับ

……. จำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1 และตัวของมันเอง เรียกว่า จำนวนเฉพาะ (Prime number)  เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 , … ดูเพิ่มเติมจำนวนเฉพาะ 1,000 จำนวนแรก
……. นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ชื่อ เอราทอสเทนีส แห่งไซรีนี (Eratosthenes of Cyrene) ได้คิดวิธีหาจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง 1 กับจำนวนนับที่กำหนดให้ โดยตัดจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะทิ้ง เรียกวิธีนี้ว่า ตะแกรงของเอราทอสเทนีส (the sieve of Eratosthenes)

…….การใช้ตะแกรงของเอราทอสเทนีส เพื่อใช้หาจำนวนเฉพาะ อาจจะไม่เหมาะสมในการตรวจสอบจำนวนมาก ๆ แต่เราอาจนำแนวคิดเดียวกันมาตรวจสอบได้ ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่า  83  เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
วิธีทำ  ขั้นที่ 1 จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่คูณตัวเอง แล้วผลคูณไม่เกิน 83 คือ 2, 3, 5, 7
………ขั้นที่ 2 นำ  2, 3, 5, 7  ไปหาร 83 ผลปรากฏว่า ไม่มีจำนวนเฉพาะจำนวนใดหาร 83 ลงตัว
………ดังนั้น 83 เป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 2 จงตรวจสอบว่า  161  เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
วิธีทำ  ขั้นที่ 1 จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่คูณตัวเอง แล้วผลคูณไม่เกิน 161 คือ 2, 3, 5, 7, 11
………ขั้นที่ 2 นำ  2, 3, 5, 7, 11  ไปหาร 161 ผลปรากฏว่า 7 หาร 161 ลงตัว (161 = 7×23)
………ดังนั้น 161 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

…….การหา ห.ร.ม. (ตัวหารร่วมมาก) ของจำนวนนับสองจำนวน ที่มีค่ามาก มีหลายวิธี แต่วิธีที่รวดเร็วคือ ขั้นตอนวิธีของยุคลิด (Euclidean algorithm)

คลิปที่ 1 การหา ห.ร.ม.แบบยุคลิด

คลิปที่ 2 การหา ห.ร.ม. แบบยุคลิด

…….เป็นไงบ้างครับ เพือให้เข้าใจยิ่งขึ้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “จำนวนนับ” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง

หรือดาวน์โหลดที่ >>> จำนวนนับ (Counting Number)  คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1

รูปเรขาคณิต (Geometric figure)

……. รูปเรขาคณิต (Geometric figure) เป็นรูปที่ประกอบด้วย จุด เส้นตรง เส้นโค้ง ระนาบ ฯลฯ ตัวอย่างของรูปเรขาคณิต ได้แก่ รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปวงกลม ทรงสี่เหลี่ยม ทรงกระบอก พีระมิด ทรงกลม ฯ

……. รูปสามเหลี่ยม (Triangle) เป็นรูปปิดที่ประกอบด้วยด้านสามด้าน
……. ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (perimeter) คือ ผลบวกของความยาวของด้านทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม
……. การจะสร้างรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ความยาวของด้านทั้งสามจะต้องสัมพันธ์กัน โดยผลบวกของด้านที่สั้นสองด้าน จะต้องมีค่ามากกว่าด้านยาวที่สุด

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดส่วนของเส้นตรงซึ่งมีความยาวต่อไปนี้ (หน่วยเป็นเซนติเมตร)
……. 1) 3,.. 4,.. 5 …………………2) 4, ..5, ..9
……. 3) 5, ..6, ..12 ……………….4) 3.5,  ..4.5, .. 7
……. 5) 4,.. 5, ..8.5 ………………6) 5.2,.. 7.5,.. 10.4
…..(1) จงหาว่า ส่วนของเส้นตรงในข้อใดบ้างที่ประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ เพราะเหตุใด
………..ตอบ ข้อ 1), 4), 5) และ 6) เพราะผลบวกของด้านที่สั้น 2 ด้าน มากกว่าด้านที่ยาวที่สุด
…..(2) จงหาว่า ส่วนของเส้นตรงในข้อใดบ้างที่ประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมไม่ได้ เพราะเหตุใด
……….ตอบ ข้อ 2) และ 3) เพราะผลบวกของด้านที่สั้น 2 ด้าน น้อยกว่าด้านที่ยาวที่สุด

ตัวอย่างที่ 2 ถ้านักเรียนมีเชือกเส้นหนึ่งยาว 4 เมตร นักเรียนจะสามารถนำมาขึงเป็นรูปสามเหลี่ยมได้หรือไม่ ถ้าได้ ทำอย่างไร และถ้าไม่ได้ เพราะเหตุใด
………ตอบ ทำได้ เพราะว่าความยาวของแต่ละด้านไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนนับ เช่น อาจวางเชือกให้มีความยาวของด้านเป็น 1.5 เมตร 1.5 เมตร และ 1 เมตร

♥ จุดข้างในและจุดข้างนอก (Interior & Exterior point)
…….รูปเรขาคณิตที่เกิดจากเส้นโค้ง นอกจากวงกลม วงรี แล้วเราสามารถสร้างรูปจากเส้นโค้งได้มากมาย

geo

…….จากรูปข้างบน เราเรียกว่า รูปเส้นโค้งปิดเชิงเดียว (single closed curve) จะเป็นรูปเส้นโค้งปิดที่เส้นรอบรูปไม่ตัดกัน
……. เส้นโค้งปิดเชิงเดียว จะมีเส้นรอบรูปเป็นเส้นแข่งเขตระหว่างส่วนที่อยู่ข้างในกับส่วนที่อยู่ข้างนอก  โดยจะเรียกจุดที่อยู่ข้างในว่า จุดข้างใน (Interior point) และจุดที่อยู่ข้างนอกรูปปิดว่า จุดข้างนอก (Exterior point)

intext…….. จากรูป A,  B,  E  เป็นจุดข้างนอก  และ C,  D  เป็นจุดข้างใน

…….. ถ้าในกรณีที่เป็นรูปซับซ้อน เราอาจจะบอกไม่ได้ในทันทีว่าจุดใดเป็นจุดข้างในหรือจุดข้างนอก หรือถ้าหาก็อาจต้องเสียเวลาค่อนข้างมาก แต่ถ้าเราใช้ทฤษฎีของ ฌอร์ดอง (Jordan’s Theorem) ในการหาจุดข้างในและจุดข้างนอกอาจจะช่วยให้เร็วขึ้น

…….. ทฤษฎีของฌอร์ดอง กล่าวว่า ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งจากจุดนั้นออกมาข้างนอกรูปทางใดทางหนึ่ง แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นตัดเส้นรอบรูปได้จำนวนจุดตัดเป็น จำนวนคี่ จุดนั้นจะเป็น จุดข้างใน  แต่ถ้าได้จำนวนจุดตัดเป็น จำนวนคู่ จุดนั้นจะเป็น จุดข้างนอก
jd

……. ลองทดสอบตัวเองดูสิครับว่า จุดใดเป็นจุดภายในและจุดใดเป็นจุดภายนอก
jd2……. มาดูกันว่า ถูกหรือเปล่าครับ จุดข้างใน ได้แก่จุด U ส่วนจุดข้างนอก ได้แก่จุด V, W, X, Y, Z

นักเรียนลองศึกษาจากคลิปวิดีโอ 2 คลิป ต่อไปนี้นะครับ เพื่อให้เกิดความรู้ความเข้าใจมากยิ่งขึ้น

นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “รูปเรขาคณิต” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้างนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 2.1 รูปเรขาคณิต

การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

…….การทดลองสุ่ม (Random Experiment) หมายถึง การทดลองหรือการทำงานที่ไม่สามารถบอกผลของการทำงานในครั้งนี้ได้ แต่สามารถบอกผลของการทำงานที่อาจจะเกิดขึ้นทั้งหมดได้ เช่น
……. การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง จะเกิดผลลัพธ์ได้ทั้งหมด 2 วิธี คือเหรียญอาจจะเกิดหัว (H) หรือก้อย (T) ซึ่งไม่สามารถบอกได้แน่นอนว่าจะเกิดหัวหรือก้อย

……. แซมเปิลสเปซ (Sample Space)  หมายถึง  เซตของผลการทดลองหรือการทำงานนั้น ๆ  ทั้งหมด  มีสมาชิกเป็นวิธีต่าง ๆ ที่อาจจะเกิดขึ้น  นำมาเขียนแจกแจงในรูปแบบต่าง ๆ อย่างครบถ้วน  แต่ละวิธีที่เกิดขึ้นจึงเป็นสมาชิกของเซต

ตัวอย่างที่ 1 จงหาแซมเปิลสเปซของการโยนเหรียญ 1 อัน สองครั้ง
วิธีทำ   S = S = \left \{ HH, HT, TH, TT \right \}

ตัวอย่างที่ 2 จงหาแซมเปิลสเปซของการตรวจสินค้า 3 ชิ้น เพื่อดูว่าดีหรือเสีย
วิธีทำ  ให้ A = ดี  B = เสีย จะได้
………. S = \left \{ AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB \right \}

ตัวอย่างที่ 3 จงหาแซมเปิลสเปซของการหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกล่องที่มีลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีฟ้า 2 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก
วิธีทำ  ให้  ข1 = ขาวลูกที่ 1,  ข2 = ขาวลูกที่ 2,  ฟ1 = ฟ้าลูกที่1,  ฟ2 = ฟ้าลูกที่ 2,  ล = ลูกบอลสีเหลือง
…….. S = { ข1ข2, ข1ฟ1, ข1ฟ2, ข1ล, ข2ฟ1, ข2ฟ2, ข2ล, ฟ1ฟ2, ฟ1ล, ฟ2ล }

 

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

หลักเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (Principle of Counting)

…….ในชีวิตประจำวันเรามักจะพบปัญหาเกี่ยวกับการนับจำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้ หรือจำนวนวิธีในการจัดชุดของสิ่งของต่าง ๆ เช่น การจัดชุดเสื้อผ้า การจัดการแข่งขันกีฬา การจัดชุดอาหาร เป็นต้น การคำนวณเพื่อหาคำตอบสำหรับปัญหาประเภทต่าง ๆ ดังกล่าว จะทำได้ง่ายและสะดวกรวดเร็วขึ้น ถ้าเข้าใจกฏเกณฑ์บางข้อ ซึ่งเรียกว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ

…….กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้  n_{1} วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n_{2} วิธี จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานทั้งสองอย่างเท่ากับ.. n_{1}\cdot n_{2} ..วิธี

…….กฎข้อที่ 2 ถ้างานอย่างแรกมีวิธีทำได้ n_{1} วิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n_{2} วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สามได้ n_{3} วิธี ฯลฯ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่าง เท่ากับ ..n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}\cdot \cdots n_{k}..วิธี

ตัวอย่างที่ 1 มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตัว จะจัดเป็นชุดที่ไม่ซ้ำกันได้กี่แบบ …….ตอบ3\times 4 = 12 แบบ
……………มีเรือวิ่งข้ามฟาก 3 ลำ จะนั่งเรือไปและกลับไม่ให้ซ้ำลำกันได้กี่วิธี …….ตอบ 3\times 2 = 6 วิธี
……………ทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง จะมีผลออกมาได้กี่แบบ ……. ตอบ6\times 6 = 36 แบบ

ตัวอย่างที่ 2 ใช้ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 มาสร้างจำนวน 3 หลัก จะสร้างได้กี่จำนวน ถ้ากำหนดให้
…..1) แต่ละหลักไม่ซ้ำกัน …….ตอบ 5\times 5\times 4 = 100 จำนวน
…..2) เป็นจำนวนคี่และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน …….ตอบ 4\times 4\times 3 = 48จำนวน
…..3) มีค่ามากกว่า 350 และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน……. ตอบ \left ( 1\times 1\times 3 \right )+\left ( 2\times 5\times 4 \right ) = 43 จำนวน
…..4) หารด้วย 10 ลงตัว……. ตอบ 1\times 5\times 6 = 30 จำนวน

ตัวอย่างที่ 3 บริษัทรถยนต์แห่งหนึ่งตัวถังรถยนต์ออกมา 2 แบบ มีเครื่องยนต์ 2 ขนาด และสีต่าง ๆ กัน 3 สี ถ้าต้องการแสดงรถยนต์ให้ครบทุกแบบ ทุกขนาดและทุกสี จะต้องใช้รถยนต์อย่างน้อยที่สุดกี่คัน
….วิธีทำ  เลือกตัวถังแล้วเลือกเครื่องยนต์แล้วเลือกสีได้ 2\times 2\times 3 = 12 คัน

ตัวอย่างที่ 4 จัดคน 10 คน นั่งเก้าอี้ 3 ตัว ซึ่งวางเรียงเป็นแถวเดียวกันได้ทั้งหมดกี่วิธี
….วิธีทำ  จัดคนเข้านั่งได้  10\times 9\times 8 = 720 วิธี

ตัวอย่างที่ 5 ข้อสอบฉบับหนึ่งมี 10 ข้อเป็นแบบถูก – ผิด จะมีวิธีตอบข้อสอบที่ไม่ซ้ำกันเลยได้ทั้งหมดกี่วิธี
….วิธีทำ…..ทำแบบทดสอบได้  2\times 2\times 2 \times \cdots \times 2 = 2^{10} = 1024 วิธี

ตัวอย่างที่ 6 ในการเลือกตั้งคณะกรรมการชุดหนึ่งจะประกอบไปด้วย ประธาน รองประธาน เหรัญญิก และเลขานุการ โดยที่กรรมการแต่ละคนจะดำรงตำแหน่งได้เพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ถ้ามีผู้สมัครทั้งหมด 6 คน เป็นชาย 2 คน เป็นหญิง 4 คน ผลการเลือกตั้งกรรมการชุดนี้จะมีได้ทั้งหมดกี่แบบที่ต่างกัน โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ6\times 5\times 4\times 3 = 360 แบบ
……. 2. กำหนดให้ประธานเป็นชาย และเลขาต้องเป็นหญิง …….ตอบ2\times 4\times 4\times 3 = 96 แบบ
……. 3. กรรมการต้องเป็นหญิงล้วน …….ตอบ4\times 3\times 2\times 1 = 24 แบบ

ตัวอย่างที่ 7 หมายเลขโทรศัพท์เคลื่อนที่ที่ขึ้นต้นด้วย 086720 xxxx จะมีทั้งหมดกี่หมายเลข
….วิธีทำ…..เลือกหมายเลขขึ้นต้นได้ 1 วิธีจากนั้นเลือกอีก 4 หมายเลขที่เหลือได้ จะได้ 1\times 10\times 10\times 10\times 10 = 10,000 หมายเลข

ตัวอย่างที่ 8 จากอักษรในคำว่า “PHYSIC” นำมาสร้างคำใหม่ประกอบด้วย 3 อักษร ต่างกัน (ไม่สนใจความหมายของคำเหล่านั้น) โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ6\times 5\times 4 = 120 วิธี
……. 2. ต้องเป็นพยัญชนะทั้งหมด …….ตอบ5\times 4\times 3 = 60 วิธี

ตัวอย่างที่ 9 ห้องประชุมแห่งหนึ่งมี 3 ประตู จงหาวิธีในการเดินเข้า – ออกห้องประชุม โดยมีเงื่อนไขต่างกัน ดังนี้
……. 1. จำนวนวิธีในการเดินเข้า …….ตอบ3 วิธี
……. 2. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก …….ตอบ3\times 3 = 9 วิธี
……. 3. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก โดยไม่ซ้ำประตูกัน …….ตอบ3\times 2 = 6 วิธี
……. 4. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก โดยใช้ประตูเดิม …….ตอบ3\times 1 = 3 วิธี

ตัวอย่างที่ 10 จดหมายแตกต่างกัน 3 ฉบับ ต้องการทิ้งจดหมายในตู้ไปรษณีย์ 4 ตู้ จะทิ้งได้กี่วิธี โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ4\times 4\times 4 = 64 วิธี
……. 2. ห้ามทิ้งซ้ำตู้กัน …….ตอบ4\times 3\times 2 = 24 วิธี

ตัวอย่างที่ 11 ครูมีหนังสือ 4 เล่มแตกต่างกัน ถ้าต้องการแจกให้นักเรียน 5 คน จงหาจำนวนวิธีแจกหนังสือโดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไข …….ตอบ5\times 5\times 5\times 5 = 5^4 = 625 วิธี
……. 2. ไม่มีใครได้หนังสือเกิน 1 เล่ม …….ตอบ5\times 4\times 3\times 2 = 120 วิธี

เพื่อที่จะให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น ให้ศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้นะครับ

หลังจากนั้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 1.1 และ 1.2 ไปลองทำเป็นการบ้านดูนะครับ เพื่อให้เกิดทักษะ กระบวนการเรียนรู้ มากยิ่ง ๆ ขึ้นไป

แบบฝึกหัดที่ 1.2 กฏการนับเบื้องต้น (O-NET)

หรือดาวน์โหลดที่ >>>  แบบฝึกหัดที่ 1.1 กฏการนับเบื้องต้น แบบฝึกหัดที่ 1.2 กฏการนับเบื้องต้น

 

 

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 66 other followers