การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

……..ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์บางสถานการณ์ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการหรือระบบสมการ ซึ่งบางสมการอาจเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนาม การหาคำตอบของสมการที่อยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนามต้องอาศัยการบวก ลบ คูณ และการเศษส่วนของพหุนาม ความสามารถในการคำนวณและการดำเนินการเกี่ยวกับเศษส่วนของพหุนามจึงเป็นทักษะที่สำคัญเพื่อใช้ในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนและการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น
…….ในวันนี้เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับการดำเนินการของเศษส่วนของหุนาม 2 เรื่องด้วยกันคือ “การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม” ซึ่งมีหลักเกณฑ์เช่นเดียวกับการคูณและการหารเศษส่วน ดังนี้

………….1)  \frac{P}{Q}\times \frac{R}{S} = \frac{P\times R}{Q\times S}
………….2) \frac{P}{Q}\div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q}\times \frac{S}{R}

……. นิยมเขียนผลคูณและผลหารที่ได้ ให้เป็นเศษส่วนของพหุนามในรูปผลสำเร็จหรือรูปอย่างง่าย (Simplify) ลองไปดูตัวอย่างกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลคูณของ \frac{2x^3+3x^2-27x}{x-3}\times \frac{x^2-25}{2x^2-x-45}  (สมาคม 30)
วิธีทำ……. \frac{2x^3+3x^2-27x}{x-3}\times \frac{x^2-25}{2x^2-x-45} = \frac{x(2x^2+3x-27)}{x-3}\times \frac{x^2-25}{2x^2-x-45}
………………………………………..= \frac{x(2x+9)(x-3)}{x-3}\times \frac{(x+5)(x-5)}{(2x+9)(x-5)}
………………………………………..= x(x+5)

ตัวอย่างที่ 2 \frac{x^2-y^2}{x-y}\times \frac{x+y}{x^3+y^3}\times \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)^2} ผลลัพธ์เป็นเท่าใด (สมาคม 29)
วิธีทำ\frac{x^2-y^2}{x-y}\times \frac{x+y}{x^3+y^3}\times \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)^2}
………….= \frac{(x-y)(x+y)}{x-y}\times \frac{x+y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}\times \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)(x+y)}
………….= \frac{1}{x+y}

ตัวอย่างที่ 3 จงทำ \frac{3x^2+7x-6}{x^3+3x^2+9x}\times \frac{6x^3+54x}{2x^4-162}\div \frac{27x^2-12}{x^3-27}  ให้อยู่ในรูปอย่าาง่าย  (สมาคม 34)
วิธีทำ เขียนใหม่ได้เป็น \frac{3x^2+7x-6}{x^3+3x^2+9x}\times \frac{6x^3+54x}{2x^4-162}\times \frac{x^3-27}{27x^2-12}
…………………= \frac{(3x-2)(x+3)}{x(x^2+3+9)}\times \frac{6x(x^2+9)}{2(x^4-81)}\times \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{3(9x^2-4)}
…………………= (3x-2)(x+3)\times \frac{3(x^+9)}{(x^2+9)(x^2-9)}\times \frac{x-3}{3(3x+2)(3x-2)}
…………………= \frac{1}{3x+2}

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลหารของ \frac{a^2-4a-21}{a^2-49} \div \frac{a^3+27}{a^2+9a+14} (สมาคม 32)
วิธีทำเขียนใหม่ได้เป็น..\frac{a^2-4a-21}{a^2-49} \times \frac{a^2+9a+14}{a^3+27}
………………..= \frac{(a-7)(a+3)}{(a-7)(a+7)}\times \frac{(a+7)(a+2)}{(a+3)(a^2-3a+9)}
………………..= \frac{a+2}{a^2-3a+9}

ตัวอย่างที่ 5 จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย \frac{c^3-8}{c+3} \div \left ( \frac{c-2}{4c}\times \frac{8c^4}{c^2+3c} \right )
วิธีทำ …..= \frac{c^3-8}{c+3} \times \frac{4c(c^2+3c)}{8c^4(c-2)}
………….= \frac{c^3-8}{c+3} \times \frac{c^2+3c}{2c^3(c-2)}
………….= \frac{(c-2)(c^2+2c+4)}{c+3} \times \frac{c(c+3)}{2c^3(c-2)}
………….= \frac{c^2+2c+4}{2c^2}

…….เป็นอย่างไรกันบ้างครับ พอจะเข้าใจเกี่ยวกับการคูณและการหารเศษส่วนของพหุนามกันบ้างไหมครับ  อย่าเพิ่งท้อหรืออย่าเพิ่งมองว่ายากเกินไปนะครับ ลองศึกษารายละเอียดอีกครั้งนะครับ …เดี๋ยวว่าง ๆ จะมาแทรกวิดีโอและใบงานให้ครับ

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง

…….ในตอนที่แล้ว เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับการแก้ “ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง” ซึ่งจะใช้วิธีแทนค่าตัวแปรในการแก้สมการหาคำตอบ ในตอนนี้เราจะมาเรียนรู้เกี่บวกับการแก้ “ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง” ซึ่งสามารถทำได้โดยทั้งวิธีแทนค่าตัวแปร และวิธีกำจัดตัวแปร ไปดูตัวอย่างกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริง ซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ x^2+y^2 = 25 และ x^2+y = 19 คำตอบของระบบสมการนี้เท่ากับเท่าใด (สมาคม 54)
วิธีทำ …………………………….x^2+y^2=25……….………..(1)
…………………………………….x^2+y = 19……….………(2)
……..จาก (1) – (2) จะได้…….y^2-y = 6.
………     ………………………y^2-y-6 = 0
………………………………..(y-3)(y+2)= 0
……………………………….y = 3, -2
…….แทน y = 3 ลงใน (1)
…………….จะได้x^2 = 25-(3)^2 = 16
…………………………x = 4, -4
…….แทน y = -2 ลงใน (1)
…………….จะได้x^2 = 25-(-2)^2 = 21
………………………..x = \sqrt{21}, -\sqrt{21}
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ (4, 3), (-4, 3), (\sqrt{21}, -2), (-\sqrt{21}, -2)

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้ระบบสมการ 2x^2+3xy = 26 และ 3y^2+2xy = 39
วิธีทำ ……………..2x^2+3xy = 26……….………..(1)
……………………….3y^2+2xy = 39……….………(2)
…..จาก (1) ………x(2x+3y) = 26……….………..(3)
…..จาก (2) ………y(2x+3y) = 39……….………..(4)
……นำ (3) ÷ (4) ………\frac{x}{y} = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}
……………………………y = \frac{3x}{2}………..…………(5)
……แทนค่า y จาก (5) ลงใน (1)
……………….2x^2+3x(\frac{3x}{2}) = 26
……………………..\frac{13x^2}{2} = 26
………………………x^2 = 4
……………………….x = 2, -2
……..แทนค่า x = 2 ใน (5) จะได้  y= 3
……..แทนค่า x = -2 ใน (5) จะได้  y= -3
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ (2, 3), (-2, -3)

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า x และ y สอดคล้องกับสมการ 3x^2+4y^2-6xy+3x+3y = 100 และ4x^2-3y^2-8xy+4x-y = -50 แล้ว y มีค่าเท่ากับเท่าใด (สมาคม 51)
วิธีทำ ……………..3x^2+4y^2-6xy+3x+3y = 100……….………..(1)
……………………….4x^2-3y^2-8xy+4x-y = -50……….………(2)
……นำ (1) × 4 ………12x^2+16y^2-24xy+12x+12y = 400……….………..(3)
……นำ (2) × 3 ………12x^2-9y^2-24xy+12x-3y = -150……….………..(4)
……นำ (3) – (4) ………25y^2+15y = 550
…………………………….25y^2+15y - 550 = 0
เอา 5 หารตลอด จะได้5y^2+3y - 110 = 0
…………………………..(5y-22)(y+5) = 0
……………………………………………y = -5, \frac{22}{5}

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ x^4+x^2y^2+y^4 = 25 และx^2-xy+y^2 = 3 แล้ว x+y มีค่าเท่ากับเท่าใด (สมาคม 53)
วิธีทำ ……………..x^4+x^2y^2+y^4 = 25……….………..(1)
……………………….x^2-xy+y^2 = 3……….………(2)
…..จาก (1) ..(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2) = 25……….………..(3)
……นำ (3) ÷ (2) ………x^2+xy+y^2 = \frac{25}{3}……….………..(4)
……นำ (4) – (2) ………2xy = \frac{16}{3}.
 …………………………….xy = \frac{8}{3}……….………..(5)
……นำ (4) + (5) ………x^2+2xy+y^2 = \frac{33}{3} = 11
…………………………………(x+y)^2 = 11
…………………………………x+y = \sqrt{11}, -\sqrt{11}
………เนื่องจาก x,y เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น x+y = \sqrt{11}

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้ระบบสมการ x^2y^2z = 18,…x^2yz^2 = -36 และ xy^2z^2 = 12  (สมาคม 52)
วิธีทำ……………พิจารณาระบบสมการ
……………………………x^2y^2z = 18……………….(1)
……………………………x^2yz^2 = -36………………(2)
…………………………..xy^2z^2 = 12…………………(3)
นำ (1)×(2)×(3) ได้… x^5y^5z^5 = 18(-36)12 = -(2\times 3)^5
……………………………xyz = -6
…………………………..x^2y^2z^2 = 36………………(4)
…..นำ (4) ÷ (3) ได้………..x = 3
…..นำ (4) ÷ (2) ได้………..y = -1
…..นำ (4) ÷ (1) ได้………..z = 2
………ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ x = 3, y=-1, z = 2

……เป็นอย่างไรกันบ้างครับพอจะเข้าใจเกี่ยวกับการแก้ “ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสอง” กันบ้างไหม ถ้ายังไม่เข้าใจลองดูคลิปวิดีโอต่อไปนี้ครับ

เพื่อเป็นการทดสอบความเข้าใจ ให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 1.2 ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ ไปฝึกทำเลยกันนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> 1.2 ระบบสมการที่ประกบอด้วยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

……. ในวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ระดับชั้น ม.3 ภาคเรียนที่ 1 นักเรียนเคยเรียนเรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวมาแล้ว ซึ่งการแก้มี 2 วิธี ได้แก่ การแทนค่าตัวแปร และกำจัดตัวแปร ในเรื่องนี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัว และเลขชี้กำลังของตัวแปรไม่เกินสอง ซึ่งวันนี้จะเป็นหัวข้อแรก นั่นคือ การแก้ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง ซึ่งจะมีหลักการแก้ ดังนี้คือ
……. 1) จากสมการเชิงเส้น หาค่าของตัวแปร y ในรูปของตัวแปร x (หรือหาค่าของตัวแปร x ในรูปของตัวแปร y)
……. 2) แทนค่าของ y (หรือ x) ที่หาได้ในข้อ 1) ในสมการดีกรีสอง จะได้สมการกำลังสองที่มีตัวแปร x (หรือ y) เพียงอย่างเดียว แก้สมการกำลังสองนี้หาค่าของ x (หรือ y)
……. 3) แทนค่าของ x (หรือ y) ที่ได้ในข้อ 2 ในสมการที่แสดงค่าของ y ในรูปของ x (หรือแสดงค่าของ x ในรูปของ y) จะได้ค่าของ y (หรือ x)

เราลองไปฝึกการแก้ “ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง” กันเลยครับ ตามตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ  x+y=16 และ  xy = 63
วิธีทำ……………………………..x+y=16……….………..(1)
…………………………………….xy = 63……….………(2)
……..จาก (1) จะได้………..y= 16-x…………………(3)
……..แทนค่า y จาก (3) ลงใน (2)
………จะได้………………….x(16-x) = 63
………………………………..16x-x^2 = 63
………………………….x^2-16x+63 = 0
……………………..(x-9)(x-7) = 0
……………………………..x = 7, 9
…..แทนค่า  x จาก (3) จะได้  ….y = 9, 7 ..ตามลำดับ
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ  (7, 9) และ (9, 7)

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้ระบบสมการ  x-y^2=0 และ  x+2y = 1
วิธีทำ……………………………..x-y^2=0……….………..(1)
…………………………………….x+2y = 1……….………(2)
……..จาก (2) จะได้………..x= 1-2y…………………(3)
……..แทนค่า x จาก (3) ลงใน (1)
………จะได้………………….(1-2y)-y^2 = 0
………………………………..y^2+2y-1= 0
……………………………….y = \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)}
……………………………….y = \frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2} = -1\pm\sqrt{2}
…….แทน y = -1+\sqrt{2} ลงใน (3)
…………….จะได้x = 1-2(-1+\sqrt{2}) = 3-2\sqrt{2}
…….แทน y = -1-\sqrt{2} ลงใน (3)
…………….จะได้x = 1-2(-1-\sqrt{2}) = 3+2\sqrt{2}
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ (3-2\sqrt{2}, -1+\sqrt{2}) และ (3+2\sqrt{2}, -1-\sqrt{2})

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้ระบบสมการ  x^2+xy+y^2=3 และ  x+y = 1
วิธีทำ……………………………..x^2+xy+y^2=3……….………..(1)
…………………………………….x+y = 1……….………(2)
……..จาก (2) จะได้………..y= 1-x…………………(3)
……..แทนค่า y จาก (3) ลงใน (1)
………จะได้…………x^2+x(1-x)+(1-x)^2 = 3
………………………….x^2+x-x^2+1-2x+x^2 = 3
………………………….x^2-x-2 = 0
……………………..(x-2)(x+1) = 0
……………………………..x = 2, -1
…..แทนค่า  x จาก (3) จะได้  ….y = -1, 2 ..ตามลำดับ
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ  (2, -1) และ (-1, 2)

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า x และ y เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับระบบสมการ  2x-3y=6 และ  x^2+y+2 = 0 แล้วคำตอบของระบบสมการนีัเป็นเท่าใด (สมาคม 54)
วิธีทำ……………………………..2x-3y=6……….………..(1)
…………………………………….x^2+y+2 = 0……….………(2)
……..จาก (1) จะได้………..x = \frac{3y+6}{2}…………………(3)
……..แทนค่า x จาก (3) ลงใน (2)
………จะได้……………(\frac{3y+6}{2})^2+y+2 = 0
……………………\frac{9y^2+36y+36}{4}+y+2 = 0
…………………………9y^2+36y+36+4y+8 = 0
………………………….9y^2+40y+44 = 0
……………………..(9y+22)(y+2) = 0
……………………………..y = -\frac{22}{9}, -2 แต่ -\frac{22}{9}  ใช้ไม่ได้
…..แทนค่า  y = -2 จาก (3) จะได้  ….x = 0
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการที่เป็นจำนวนเต็ม คือ  (0, -2)

ตัวอย่างที่ 5 จงหาจุดตัดของกราฟของสมการ  x^2-6x+y^2=7 และ  4x-7y = 28
วิธีทำ…..จุดตัดของกราฟของสมการทั้งสอง หาได้จากการแก้ระบบสมการ
…………………………………..x^2-6x+y^2=7……….………..(1)
…………………………………….4x-7y = 28……….………(2)
……..จาก (2) จะได้………..y = \frac{4x-28}{7}…………………(3)
……..แทนค่า y จาก (3) ลงใน (1)
………จะได้….x^2-6x+(\frac{4x-28}{7})^2 = 7
…………………..x^2-6x+\frac{16x^2-224x+784}{49} = 7
……………………49x^2-294x+16x^2-224x+784 = 343
……………………..65x^2-518x+441 = 0
……………………..(65x-63)(x-7) = 0
……………………………..x = \frac{63}{65}, 7
…..แทนค่า  x จาก (3) จะได้  ….y = -\frac{224}{65}, 0 ..ตามลำดับ
……. ดังนั้น จุดตั้ดของกราฟทั้งสอง คือ  (\frac{63}{65}, -\frac{224}{65}) และ (7, 0)

เป็นอย่างไรกันบ้างครับพอจะเข้าใจเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสองกันไหม ถ้ายังไม่เข้าใจลองดูคลิปวิดีโอต่อไปนี้ครับ

เพื่อเป็นการทดสอบความเข้าใจ ให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 1.1 ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง ไปฝึกทำเลยกันนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 1.1 ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

 

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีใช้สูตร

…….การหาคำตอบของสมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไป ax^2+bx+c = 0 สามารถทำได้โดย 1) แยกตัวประกอบ 2) แก้โดยทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แต่ในบางครั้งถ้าเราต้องการความรวดเร็วและสะดวก อาจจะใช้สูตรสำเร็จ (formula) เข้าช่วย ซึ่งได้มาจากการใช้ความรู้เกี่ยวกับกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างของกำลังสอง ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ ดังนี้
………………….ax^2+bx+c = 0
…….หารด้วย a ;……..x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
…………….x^2+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
…………………….(x+\frac{b}{2a})^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}
………………………..x+\frac{b}{2a}= \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
.
……………………………..x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}…………. จำสูตรนี้ให้ได้นะครับ !!! 

คำตอบที่ได้มี 2 คำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac > 0
………………มี 1 คำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac = 0
……………..ไม่มีคำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac < 0

……..ถ้ากำหนด \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} และ \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} เท่ากับ \alpha และ \beta ตามลำดับ และเรียก \alpha และ \beta เป็น รากของสมการ (roots of equations) จะได้ว่า
……. ผลบวกของราก \alpha +\beta = -\frac{b}{a}
……. ผลคูณของราก \alpha\beta = \frac{c}{a}

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 2x^2-3x-4 = 0
วิธีทำ……………..a = 2, b = -3, c= -4
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-4)}}{2\cdot 2}
……………………….= \frac{3\pm \sqrt{9+32}}{4}
………………………= \frac{3\pm \sqrt{41}}{4}
…………..ดังนั้น…..x = \frac{3+ \sqrt{41}}{4}, \frac{3- \sqrt{41}}{4}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 9x^2-30x+25 = 0
วิธีทำ……………..a = 9, b = -30, c= 25
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-(-30)\pm \sqrt{(-30)^2-4\cdot 9\cdot 25}}{2\cdot 9}
……………………….= \frac{30\pm \sqrt{900-900}}{18}
………………………= \frac{30}{18} = \frac{5}{3}
…………..ดังนั้น…..x = \frac{5}{3}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+4x+13 = 0
วิธีทำ……………..a = 1, b = 4, c= 13
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 13}}{2\cdot 1}
……………………….= \frac{-4\pm \sqrt{16-52}}{2}
………………………= \frac{4\pm \sqrt{-36}}{2}
………….เนื่องจาก ..b^2-4ac < 0ดังนั้น ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

ตัวอย่างที่ 4 กำหนด 2x^2-7x+4 = 0 จงหาผลบวกของค่า x และผลคูณของค่า x
วิธีทำ……..a = 2, b=-7, c=4
…………….ผลบวกของค่าx = -\frac{b}{a} = \frac{7}{2}
……………ของคูณของค่าx = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่า k ซึ่งจะทำให้สมการ 2x^2-7x+3k = 0 มีรากทั้งสองมีค่าเท่ากัน
วิธีทำ…….ax^2+bx+c = 0 มีรากทั้งสองเท่ากัน เมื่อ b^2-4ac = 0
……………2x^2-7x+3k = 0มีรากทั้งสองเท่ากัน
……………………จะได้ …..(-7)^2-4(2)(3k) = 0
……………………………….49-24k = 0
…………………………………x = \frac{49}{24}

ตัวอย่างที่ 6 ถ้า \alpha และ \beta เป็นรากของสมการ 2x^2+5x+1 = 0 จงหาค่าของ (\alpha -2)(\beta -2)
วิธีทำ…….2x^2+5x+1 = 0มีรากเท่ากับ ..\alpha และ \beta
………….ดังนั้น\alpha +\beta = -\frac{5}{2}และ\alpha\beta = \frac{1}{2}
……….(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha \beta -2\alpha -2\beta +4
……….(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha \beta -2\alpha -2\beta +4
…………………………..= \frac{1}{2}-2(-\frac{5}{2})+4
…………………………..= \frac{1}{2}+5+4
…………………………..= 9\frac{1}{2}

ตัวอย่างที่ 7 ถ้า  r_{1} และ r_{2}  เป็นรากของสมการ 6x^2-7x-3 = 0 แล้ว  ค่า k ที่ทำให้  \frac{1}{r_{1}} และ   \frac{1}{r_{2}}  เป็นรากของสมการ  x^2+kx-2 = 0 เป็นเท่าใด
วิธีทำ……จากสมการ6x^2-7x-3 = 0
…………จะได้…….(3x+1)(2x-3) = 0
…………………………..x = \frac{3}{2}, -\frac{1}{3}
……ดังนั้นr_{1} และ r_{2}  คือ \frac{2}{3}, -3  เป็นรากของ x^2+kx-2 = 0
……….จะได้…..(3x-2)(x+3) = 0
……………………3x^2+7x-6 = 0
……นำ..3..หารตลอดx^2+\frac{7}{3}x-2 = 0
………………ดังนั้น…..k = \frac{7}{3}

ลองศึกษาคลิปวิดีโอจาก YouTube อีกครั้งนะครับ เพื่อให้เกิดความเข้าใจยิ่งขึ้น หากมีความสงสัยหรือต้องการซักถามเพิ่มเติม ฝากคำถามไว้เลยนะครับ หรือทางข้อความผ่าน Facebook @ krupraiwan ตามลิงค์เลยนะครับ

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์

…….ในครวที่แล้วได้กล่าวถึง  การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ ซึ่งหาได้จากพหุนามที่เราแยกตัวประกอบได้ แต่ในการหาคำตอบของสมการ ax^2+bx+c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว  และ a \neq 0 นั้น ในบางครั้งไม่สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม  ax^2+bx+c  ได้โดยง่ายดังเช่นที่ผ่านมา ในกรณีเช่นนี้เราอาจใช้ความรู้ในเรื่องกำลังสองสมบูรณ์ มาช่วยในการแก้สมการนี้
…….หลักการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
…….1. ทำสัมประสิทธิ์ของ ..x^2 ..ให้เป็น.. 1..ก่อน
…….2. จัดให้พจน์อิสระ คือพจน์ที่ไม่มี x อยู่ทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ
…….3. ให้บวกด้วยกำลังสองของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ
…….4. ทางด้านซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับให้เขียนเป็นรูปสองพจน์ยกกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ x^2-6x-1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-6x…..= 1
……………………..x^2-6x+3^2 = 1+9
…………………………..(x-3)^2 = 10
………………………………x-3 = \pm \sqrt{10}
……………………………………x = 3 \pm \sqrt{10}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ x^2-5x+2 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-5x…..= -2
………………….x^2-5x+(\frac{5}{2})^2 = -2+\frac{25}{4}
………………………….(x-\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}
……………………………..x-\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}
…………………………………..x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+x+1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2+x…..= -1
………………….x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = -1 +\frac{1}{4}
…………………………(x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4}
…….เนื่องจาก (x+\frac{1}{2})^2 \geq 0 สำหรับทุกค่าของ x
…….แสดงว่าไม่มีค่า x ที่ทำให้สมการ (x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4} เป็นจริง
……………….นั่นคือ สมการ x^2+x+1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ 3x^2-7x-1 = 0
วิธีทำ…..นำ 3 หารตลอด แล้วย้ายข้าง จัดรูปสมการ จะได้
………………….x^2-\frac{7}{3}x…..= \frac{1}{3}
……………x^2-\frac{7}{3}x+(\frac{7}{6})^2 = \frac{1}{3}+\frac{49}{36}
……………………(x-\frac{7}{6})^2 = \frac{12+49}{36}=\frac{61}{36}
………………………..x-\frac{7}{6} = \pm \frac{\sqrt{61}}{6}
……………………………..x = \frac{7\pm \sqrt{61}}{6}

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า  \frac{1+\sqrt{13}}{2}   และ  \frac{1-\sqrt{13}}{2}   เป็นรากของสมการ  ax^2-x+c = 0  เมื่อ    a \neq 0   แล้ว a^2+c^2    มีค่าเท่าใด
วิธีทำใช้กระบวนการคิดย้อนกลับ จากx = \frac{1\pm \sqrt{13}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2}
…………..จะได้เป็น………(x- \frac{1}{2})^2 = \frac{13}{4}
…………………………..x^2-x+\frac{1}{4} = \frac{13}{4}
………………………….x^2-x-3 = 0
…………..เทียบ ส.ป.ส. จะได้a=1, c=-3
………ดังนั้นa^2+c^2 = 1^2+(-3)^2 = 10

ตัวอย่างที่ 6 ถ้าผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนเรียงกันเท่ากับ  462   แล้วผลบวกของจำนวนทั้งสองนี้มีค่าเท่าไร
วิธีทำ…….ให้จำนวนที่เรียงกันสองจำนวนเป็น  x และ x+1
……………….จะได้………x(x+1) = 462
………………………x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = 462+\frac{1}{4}
……………………………..(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{1848+1}{4} = \frac{1849}{4}
…………………………………x+\frac{1}{2} = \pm \frac{43}{2}
……………………………………….x = \frac{-1\pm 43}{2} = \frac{42}{2}, -\frac{44}{2}
……………………………………….x = 21, -22
……………………………………….x = 21
……………ดังนั้น ผลบวกของจำนวนทั้งสอง เป็น 21+22 = 43

หลังจากดูตัวอย่างแล้วเป็นยังไงบ้างครับ เกี่ยวกับการแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์พอจะเข้ากันกันบ้างไหมเอ่ย เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น งั้นไปลองดูคลิปกันเลยครับ

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

……. จากนิยามของทฤษฎีบทเศษเหลือที่ว่า เมื่อพหุนาม P(x) หารด้วยพหุนาม x-cเมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เศษที่ได้จะเท่ากับ P(c) ทำให้เราทราบว่าเมื่อ P(c) = 0 จะทำให้ x-c เป็นตัวประกอบหนึ่งของ P(x) นั่นคือ
……. “พหุนาม P(x) จะมี x-cเป็นตัวประกอบหนึ่ง ก็่ต่อเมื่อ P(c) =0
…….ข้อความนี้มีชื่อเรียกว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) เรานำทฤษฎีบทดังกล่าวมาช่วยในการแยกตัวประกอบของ ได้ โดยการสุ่มหาค่า kที่ทำให้ P(k) = 0 พอดี เพื่อให้ทราบว่ามีตัวประกอบหนึ่งเป็น x-k และจากนั้นก็นำ x-kที่ได้นี้ ไปหารออกจาก P(x) เพื่อลดทอนกำลังลง และทำซ้ำจนกระทั่งแยกตัวประกอบได้ครบถ้วน

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 8x^3-6x^2-17x-6
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
…………P(2) = 8(2)^3-6(2)^2-17(2)-6 = 64-24-34-6 = 0
…………นั่นคือ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x-2} = 8x^2+10x+3
………………….P(x) = (x-2)(8x^2+10x+3)
………………….P(x) = (x-2)(2x+1)(4x+3)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ8x^3-6x^2-17x-6 = (x-2)(2x+1)(4x+3)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 6x^3+x^2-19x+6
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
…………P(-2) = 6(-2)^3+(-2)^2-19(-2)+6 = -48+4+38+6 = 0
…………นั่นคือ x+2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x+2} = 6x^2-11x+3
………………….P(x) = (x+2)(6x^2-11x+3)
………………….P(x) = (x+2)(3x-1)(2x-3)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ6x^3+x^2-19x+6 = (x+2)(3x-1)(2x-3)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 4x^3-20x^2+29x-10
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 10 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
…………P(2) = 4(2)^3-20(2)^2+29(2)-10 = 32-80+58-10 = 0
…………นั่นคือ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x-2} = 4x^2-12x+5
………………….P(x) = (x-2)(4x^2-12x+5)
………………….P(x) = (x-2)(2x-5)(2x-1)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ4x^3-20x^2+29x-10 = (x-2)(2x-5)(2x-1)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ P(x) = x^4-3x^3+4x^2-6x+4…….(สมาคม 56)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 4 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 4
…………P(1) = (1)^4-3(1)^3+4(1)^2-6(1)+4 = 1-3+4-6+4 = 0
…………P(2) = (2)^4-3(2)^3+4(2)^2-6(2)+4 = 16-24+16-12+4 = 0
…………นั่นคือ x-1 และ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x) โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้\frac{P(x)}{(x-1)(x-2)} = x^2+2
………………….P(x) = (x-1)(x-2)(x^2+2)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของx^4-3x^3+4x^2-6x+4 = (x-1)(x-2)(x^2+2)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ P(x) = 2x^4-5x^3-24x^2-7x+10…….(สมาคม 54)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 10 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
…………P(-1) = 2(-1)^4-5(-1)^3-24(-1)^2-7(-1)+10 = 2+5-24+7+10 = 0
…………P(-2) = 2(-2)^4-5(-2)^3-24(-2)^2-7(-2)+10 = 32+40-96+14+10 = 0
…………นั่นคือ x+1 และ x+2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x) โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้\frac{P(x)}{(x+1)(x+2)} = 2x^2-11x+5
………………….P(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของP(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)

…….เป็นอย่างไรบ้างครับเกี่ยวกับใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้ต่อเลยนะครับ

จากนั้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 2.6 การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเหศษเหลือ ไปฝึกทำลองดูครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ร่วมแสดงความคิดเห็นได้เลยครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem)

…….ในการหารพหุนาม เมื่อเรานำเอาพหุนามหารด้วยพหุนาม จะได้ผลหารทั้งที่ลงตัวมีเศษเป็นศูนย์ และทั้งที่เหลือเศษ ไม่ใช่ศูนย์ แต่ในกรณีทั่วไป เมื่อหารพหุนาม P(x) ใด ๆ ด้วยพหุนาม x-a ที่ a เป็นค่าคงตัว เมื่อหารแล้วมีเศษ เราจะเรียกว่า เศษเหลือ

…..นิยาม เมื่อพหุนาม P(x)หารด้วยพหุนาม x-cเมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เศษที่ได้จะเท่ากับ P(c)

…..เมื่อนำพหุนามมาหารกัน ทั้งผลหารและเศษที่ได้จะเป็นพหุนามเช่นกัน โดยเศษต้องเป็นหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าตัวหารเสมอ ในทฤษฎีเศษเหลือนี้ กล่าวถึงการหารที่มีตัวหารมีดีกรีเป็น 1 เท่านั้น เศษที่ได้จึงมีดีกรี 0 หรือค่าคงที่นั่นเอง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเศษเมื่อ 2x^3+3x^2-5x-4 หารด้วย x+1
วิธีทำ…..ให้ P(x) = 2x^3+3x^2-5x-4 หารด้วย x-c จะเหลือเศษ P(c)
…………และ x-c = x+1 จะได้ c=-1
………..ดังนั้น P(-1) = 2(-1)^3+3(-1)^2-5(-1)-4
……………………….= -2+3+5-4
……………………….= 2
………..ดังนั้น เศษคือ 2

ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงให้เห็นว่าx+7 เป็นตัวประกอบของ x^3-39x+70
วิธีทำ….ให้  P(x) = x^3-39x+70 หารด้วย  x+7 จะเหลือเศษ  P(-7)
…..ดังนั้นP(-7) = (-7)^3-39(-7)+70
………………….= -343+273+70
………………….= 0
………….เศษเป็น 0 แสดงว่า x+7 หาร x^3-39x+70 ลงตัว

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า P(x) = x^3+2x^2+3x+k และ Q(x) = x^3+x^2+9ต่างก็หารด้วย x+2 แล้วเหลือเศษเท่ากัน จงหาค่า k
วิธีทำ…..เนื่องจาก P(x) และ  Q(x) ต่างก็หารด้วย x+2 แล้วเหลือเศษเท่ากัน
………… จะได้ว่า …….. P(-2) = Q(-2)
……..แทนค่า(-2)^3+2(-2)^2+3(-2)+k = (-2)^3+(-2)^2+9
………-8+8-6+k = -8+4+9
…………………k-6= 5
……………………….k= 11

ตัวอย่างที่ 4 ถ้าพหุนามP(x) = ax^2+bx+2และ Q(x) = bx^2-ax+1 หารด้วย  x+1  เหลือเศษ 8 และ 3 ตามลำดับ แล้ว a^2+5b  มีค่าเท่าใด
วิธีทำ….จากทฤษฎีบทเศษเหลือจะได้ … P(-1) = 8
………แทนค่าP(-1) = a(-1)^2+b(-1)+2
…………………….8 = a-b+2
………………a-b = 6 ………………….. (1)
………………และ Q(-1) = 3
………แทนค่าQ(-1) = b(-1)^2-a(-1)+1
……………………..3 = b+a+1
………………..a+b = 2………………….(2)
……(1) + (2) จะได้…..2a = 8  …. a = 4
……แทนค่า a = 4 ใน ..(2) ..จะได้ b = -2
………ดังนั้นa^2+5b = (4)^2+5(-2) = 16-10 = 6

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ P(x) = x^3+bx^2+cx+d  เมื่อ b,c,d เป็นค่าคงตัว ถ้า P(x)-3 หารด้วย x+1, x-2 และ x+3ลงตัว แล้ว b+c+dมีค่าเท่าใด
วิธีทำถ้า P(x)-3 หารด้วย x+1, x-2 และ x+3ลงตัว แสดงว่า
…………….P(x)-3 = (x+1)(x-2)(x+3)
…………….P(x)-3 = (x+1)(x^2+x-6)
………………………..= x^3+x^2-6x+x^2+x-6
………………………..= x^3+2x^2-5x-6
………………..P(x) = x^3+2x^2-5x-3
…..เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้b=2 , c=-5, d=-3
……ดังนั้น b+c+d = 2+(-5)+(-3) = 2-5-3 = -6

…..พอจะเข้าใจเกี่ยวกับการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งจะเป็นพื้นฐานในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 3 บ้างไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้ต่อเลยนะครับ

เมื่อดูคลิปเสร็จแล้ว ให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 2.5 ทฤษฎีบทเศษเหลือ ไปทำลองดูครับ เพื่อที่จะให้ทราบว่าเรามีความเข้าใจมากน้อยเพียงใด

หรือดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 2.5 ทฤษฎีบทเศษเหลือ

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสามและผลต่างของกำลังสาม

……. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอีกรูปแบบหนึ่ง คือ ผลบวกของกำลังสาม เป็น A^{3}+B^{3} และผลต่างของกำลังสาม เป็น A^{3}-B^{3}

…….เราสามารถพิสูจน์ที่มาของสูตร ผลบวกกำลังสาม A^{3}+B^{3} = (A+B)(A^2-AB+B^2) ได้ดังนี้
A^{3}+B^{3} = A^3+A^2B-A^2B+B^3
…………..= (A^3+A^2B)-(A^2B-B^3)
…………..= A^2(A+B)-B(A^2-B^2)
…………..= A^2(A+B)-B(A+B)(A-B)
…………..= (A+B)\left \{ A^2-B(A-B) \right \}
…………..= (A+B)(A^2-AB+B^2)

…….ททำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ที่มาของสูตร ผลต่างกำลังสาม A^{3}-B^{3} = (A-B)(A^2+AB+B^2) ได้ดังนี้
A^{3}-B^{3} = A^3-A^2B+A^2B-B^3
…………..= (A^3-A^2B)+(A^2B-B^3)
…………..= A^2(A-B)+B(A^2-B^2)
…………..= A^2(A-B)+B(A+B)(A-B)
…………..= (A-B)\left \{ A^2+B(A+B) \right \}
…………..= (A-B)(A^2+AB+B^2)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบ x^3+8
วิธีทำ …….x^3+8 = x^3+2^3
…………………….=(x+2)(x^2-2x+4)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบ 1331y^3-343z^3
วิธีทำ ….1331y^3-343z^3= (11y)^3-(7z)^3
……………………………..=(11y-7z)(121y^2+77yz+49z^2)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบ 3x^3-\frac{3}{8}
วิธีทำ3x^3-\frac{3}{8} = 3\left \{ x^3-\frac{1}{8} \right \}
…………………..= 3\left \{ x^3-\left (\frac{1}{2} \right )^3 \right \}
…………………..= 3\left ( x-\frac{1}{2} \right )\left ( x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \right )

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบ x^3-y^6
วิธีทำ…..x^3-y^6 = x^3 - (y^2)^3
……………………= (x-y^2)(x^2+xy^2+y^4)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบ (8x-15)^3-(3x-7)^3
วิธีทำ= \left [ (8x-15)-(3x-7) \right ]\left [ (8x-15)^2+(8x-15)(3x-7)+(3x-7)^2 \right ]
………= \left [ (5x-8) \right ]\left [(64x^2-240x+225)+(24x^2-101x+105)+(9x^2-42x+49) \right ]
………=(5x-8)(97x^2-383x+379)

…….พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ เกี่ยวกับ “การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสามและผลต่างของกำลังสาม” ลองมาดูคลิปวิดีโอประกอบอีกครั้งครับ เพื่อให้มีความเข้าใจมากยิ่งขึ้น

นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยวิธีผลบวกและผลต่างของกำลังสาม” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

ร้อยละของจำนวนใด

…….ร้อยละที่ใช้อยู่ในชีวิจประจำวันมีมากมาย เช่น อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ – เงินฝาก , ลดราคาสินค้า เป็นต้น แต่การคิดร้อยละต้องระบุจำนวนด้วยว่าเป็นร้อยละของจำนวนใด มิฉะนั้น จะได้ผลที่ไม่ถูกต้อง เช่น ร้อยละ 5 หรือ 5% ซึ่งไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นร้อยละ 5 ของจำนวนใด
…….แต่ถ้าระบุว่า ร้อยละ 5 ของ 40 หรือ 5% ของ 40 จะหมายถึง \frac{5}{100}\times 40 = 2
…….นั่นคือ ร้อยละ 5 ของ 40 เท่ากับ 2
…….หรือ ร้อยละ 5 ของ 75 หมายถึง \frac{5}{100}\times 75 = 3.75
…….หรือ ร้อยละ 5 ของ 120 หมายถึง \frac{5}{100}\times 120 = 6

ตัวอย่างที่ 1  400%  ของ  0.065  มากกว่าหรือน้อยกว่า  4% ของ  650  อยู่เท่าไร
วิธีทำ……. 400% ของ 0.065 หมายถึง \frac{400}{100}\times 0.065 = 0.26
…………..4%  ของ 650 หมายถึง \frac{4}{100}\times 650 = 26
…………..ดังนั้น 400%  ของ  0.065  น้อยกว่า  4% ของ  650 อยู่ 26 – 0.26 = 25.74

ตัวอย่างที่ 2 จงหาว่า  2% ของ  5% ของ  6% ของ 1,000,000  คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ  240
วิธีทำ…….2% ของ  5% ของ  6% ของ 1,000,000 หมายถึง \frac{2}{100}\times \frac{5}{100}\times \frac{6}{100}\times 1,000,000 = 60
…………..  60 คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ 420 จะได้ \frac{60}{240}\times 100 = 25
………….  ดังนั้น 2% ของ  5% ของ  6% ของ 1,000,000 คิดเป็น 25 % ของ 240

ตัวอย่างที่ 3 นักเรียนชั้น ม.1 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งสอบได้ 84% มีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 663 คน อยากทราบว่า นักเรียนชั้น ม.1 ของโรงเรียนแห่งนี้มีกี่คน
วิธีทำ…..นักเรียนชั้น ม.1 สอบได้ 84% หมายความว่า ถ้ามีนักเรียนม.1 จำนวน 100 คน จะมีนักเรียนสอบได้ 84 คน และสอบตก 100-84 = 16 คน
……….. ดังนั้น จึงมีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 84 – 16 = 68 8o
……….. มีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 68 คน จากนักเรียนทั้งหมด 100 คน
……….. ถ้ามีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 663 คน จะมีนักเรียนทั้งหมด \frac{100}{68}\times 663 = 975 คน
……….. ดังนั้น นักเรียนชั้น ม.1 ของโรงเรียนแห่งนี้มี 975 คน

ตัวอย่างที่ 4 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งเปลี่ยนแปลงไปเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีด้านหนึ่งยาวเพิ่มขึ้นร้อยละ 60 อีกด้านหนึ่งยาวลดลงร้อยละ 60 แล้ว ถามว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีพื้นที่เปลี่ยนแปลงจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างไร
วิธีทำ…..สมมติให้ ความยาวแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมยาวด้านละ 10 หน่วย มีพื้นที่ 10 × 10 = 100 ตารางหน่วย
………… 60% ของความยาวเดิม หมายถึง \frac{60}{100}\times 10 = 6
……….. จะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า ยาว 10+6 = 16 หน่วย และกว้าง 10 – 6 = 4 หน่วย
………..  ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าใหม่ เป็น 16 × 4 = 64  ตารางหน่วย
……….. สรุปได้ว่า สี่เหลี่ยมใหม่มีพื้นที่ลดลงจากเดิม 100 – 64 = 36 ตารางหน่วย หรือ ลดลงจากเดิม 36 %

ตัวอย่างที่ 5 ปากกา 1,800 ด้าม เป็นปากกาสีน้ำเงิน ปากกาสีดำ และปากกาสีแดง นำมาจัดวางขายบนชั้น โดยเป็นปากกาสีน้ำเงิน 65% ของปากกาทั้งหมด และเป็นปากกาสีดำ 15% ของทั้งหมด ที่เหลือเป็นปากกาสีแดง ต่อมาขายปากกาสีน้ำเงินไปจำนวนหนึ่ง แล้วนับปากกาทั้งหมดใหม่ พบว่าเป็นปากกาสีน้ำเงินอยู่ 55% ของปากกาที่เหลืออยู่บนชั้น อยากทราบว่าจะเหลืออปากกาสีน้ำเงินกี่ด้าม
วิธีทำ…..เดิมมีปากกาสีน้ำเงิน \frac{65}{100}\times 1,800 = 1,170 ด้าม
……….ขายปากกาสีน้ำเงินไป.. n ..ด้าม เหลือปากกาสีน้ำเงิน 1,170-n ด้าม
……….และมีปากกาเหลือทั้งหมด 1,800-n ด้าม
………..ดังนั้น อัตราส่วนของ ปากกาน้ำเงินเหลือ : ปากกาที่เหลือบนชั้น เป็น \frac{1,170-n}{1,800-n} = \frac{55}{100}
…………..แก้สมการได้ n = 400
……..เหลือปากกาสีน้ำเงิน 1,170 - 400 = 770  ด้าม

…….เป็นยังไงกันบ้างครับเกี่ยวกับการคิดคำนวณ “ร้อยละของจำนวนใด” พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ ลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “ร้อยละของจำนวนใด”  ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง…แล้วพบกันใหม่ครับ Bye…Bye

คลิปวิดีโอเสริมเพิ่มความเข้าใจ |คลิปที่ 1|คลิปที่ 2 |

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ร้อยละของจำนวนใด ใน คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1

จำนวนนับ (Counting Number)

…….นักเรียนรู้จักจำนวนนับและสมบัติเบื้องต้นของจำนวนนับมาบ้างแล้วในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.1 แต่ยังมีสมบัติอีกบางประการที่น่ารู้จัก เพื่อให้นักเรียนมีความรู้และความเข้าใจในเรื่องจำนวนนับมากขึ้น ได้แก่ การตรวจสอบจำนวนนับนั้นว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่  การหา ห.ร.ม.(ตัวหารร่วมมาก) ของจำนวนนับสองจำนวนที่มีค่ามากเพื่อให้หาได้สะดวกและรวดเร็ว เราไปดูรายละเอียดกันเลยครับ

……. จำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1 และตัวของมันเอง เรียกว่า จำนวนเฉพาะ (Prime number)  เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 , … ดูเพิ่มเติมจำนวนเฉพาะ 1,000 จำนวนแรก
……. นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ชื่อ เอราทอสเทนีส แห่งไซรีนี (Eratosthenes of Cyrene) ได้คิดวิธีหาจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง 1 กับจำนวนนับที่กำหนดให้ โดยตัดจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะทิ้ง เรียกวิธีนี้ว่า ตะแกรงของเอราทอสเทนีส (the sieve of Eratosthenes)

…….การใช้ตะแกรงของเอราทอสเทนีส เพื่อใช้หาจำนวนเฉพาะ อาจจะไม่เหมาะสมในการตรวจสอบจำนวนมาก ๆ แต่เราอาจนำแนวคิดเดียวกันมาตรวจสอบได้ ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่า  83  เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
วิธีทำ  ขั้นที่ 1 จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่คูณตัวเอง แล้วผลคูณไม่เกิน 83 คือ 2, 3, 5, 7
………ขั้นที่ 2 นำ  2, 3, 5, 7  ไปหาร 83 ผลปรากฏว่า ไม่มีจำนวนเฉพาะจำนวนใดหาร 83 ลงตัว
………ดังนั้น 83 เป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 2 จงตรวจสอบว่า  161  เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
วิธีทำ  ขั้นที่ 1 จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่คูณตัวเอง แล้วผลคูณไม่เกิน 161 คือ 2, 3, 5, 7, 11
………ขั้นที่ 2 นำ  2, 3, 5, 7, 11  ไปหาร 161 ผลปรากฏว่า 7 หาร 161 ลงตัว (161 = 7×23)
………ดังนั้น 161 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

…….การหา ห.ร.ม. (ตัวหารร่วมมาก) ของจำนวนนับสองจำนวน ที่มีค่ามาก มีหลายวิธี แต่วิธีที่รวดเร็วคือ ขั้นตอนวิธีของยุคลิด (Euclidean algorithm)

คลิปที่ 1 การหา ห.ร.ม.แบบยุคลิด

คลิปที่ 2 การหา ห.ร.ม. แบบยุคลิด

…….เป็นไงบ้างครับ เพือให้เข้าใจยิ่งขึ้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “จำนวนนับ” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง

หรือดาวน์โหลดที่ >>> จำนวนนับ (Counting Number)  คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 66 other followers