การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสามและผลต่างของกำลังสาม

……. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอีกรูปแบบหนึ่ง คือ ผลบวกของกำลังสาม เป็น A^{3}+B^{3} และผลต่างของกำลังสาม เป็น A^{3}-B^{3}

…….เราสามารถพิสูจน์ที่มาของสูตร ผลบวกกำลังสาม A^{3}+B^{3} = (A+B)(A^2-AB+B^2) ได้ดังนี้
A^{3}+B^{3} = A^3+A^2B-A^2B+B^3
…………..= (A^3+A^2B)-(A^2B-B^3)
…………..= A^2(A+B)-B(A^2-B^2)
…………..= A^2(A+B)-B(A+B)(A-B)
…………..= (A+B)\left \{ A^2-B(A-B) \right \}
…………..= (A+B)(A^2-AB+B^2)

…….ททำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ที่มาของสูตร ผลต่างกำลังสาม A^{3}-B^{3} = (A-B)(A^2+AB+B^2) ได้ดังนี้
A^{3}-B^{3} = A^3-A^2B+A^2B-B^3
…………..= (A^3-A^2B)+(A^2B-B^3)
…………..= A^2(A-B)+B(A^2-B^2)
…………..= A^2(A-B)+B(A+B)(A-B)
…………..= (A-B)\left \{ A^2+B(A+B) \right \}
…………..= (A-B)(A^2+AB+B^2)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบ x^3+8
วิธีทำ …….x^3+8 = x^3+2^3
…………………….=(x+2)(x^2-2x+4)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบ 1331y^3-343z^3
วิธีทำ ….1331y^3-343z^3= (11y)^3-(7z)^3
……………………………..=(11y-7z)(121y^2+77yz+49z^2)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบ 3x^3-\frac{3}{8}
วิธีทำ3x^3-\frac{3}{8} = 3\left \{ x^3-\frac{1}{8} \right \}
…………………..= 3\left \{ x^3-\left (\frac{1}{2} \right )^3 \right \}
…………………..= 3\left ( x-\frac{1}{2} \right )\left ( x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \right )

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบ x^3-y^6
วิธีทำ…..x^3-y^6 = x^3 - (y^2)^3
……………………= (x-y^2)(x^2+xy^2+y^4)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบ (8x-15)^3-(3x-7)^3
วิธีทำ= \left [ (8x-15)-(3x-7) \right ]\left [ (8x-15)^2+(8x-15)(3x-7)+(3x-7)^2 \right ]
………= \left [ (5x-8) \right ]\left [(64x^2-240x+225)+(24x^2-101x+105)+(9x^2-42x+49) \right ]
………=(5x-8)(97x^2-383x+379)

…….พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ เกี่ยวกับ “การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสามและผลต่างของกำลังสาม” ลองมาดูคลิปวิดีโอประกอบอีกครั้งครับ เพื่อให้มีความเข้าใจมากยิ่งขึ้น

นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยวิธีผลบวกและผลต่างของกำลังสาม” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

ร้อยละของจำนวนใด

…….ร้อยละที่ใช้อยู่ในชีวิจประจำวันมีมากมาย เช่น อัตราดอกเบี้ยเงินกู้ – เงินฝาก , ลดราคาสินค้า เป็นต้น แต่การคิดร้อยละต้องระบุจำนวนด้วยว่าเป็นร้อยละของจำนวนใด มิฉะนั้น จะได้ผลที่ไม่ถูกต้อง เช่น ร้อยละ 5 หรือ 5% ซึ่งไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นร้อยละ 5 ของจำนวนใด
…….แต่ถ้าระบุว่า ร้อยละ 5 ของ 40 หรือ 5% ของ 40 จะหมายถึง \frac{5}{100}\times 40 = 2
…….นั่นคือ ร้อยละ 5 ของ 40 เท่ากับ 2
…….หรือ ร้อยละ 5 ของ 75 หมายถึง \frac{5}{100}\times 75 = 3.75
…….หรือ ร้อยละ 5 ของ 120 หมายถึง \frac{5}{100}\times 120 = 6

ตัวอย่างที่ 1  400%  ของ  0.065  มากกว่าหรือน้อยกว่า  4% ของ  650  อยู่เท่าไร
วิธีทำ……. 400% ของ 0.065 หมายถึง \frac{400}{100}\times 0.065 = 0.26
…………..4%  ของ 650 หมายถึง \frac{4}{100}\times 650 = 26
…………..ดังนั้น 400%  ของ  0.065  น้อยกว่า  4% ของ  650 อยู่ 26 – 0.26 = 25.74

ตัวอย่างที่ 2 จงหาว่า  2% ของ  5% ของ  6% ของ 1,000,000  คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ  240
วิธีทำ…….2% ของ  5% ของ  6% ของ 1,000,000 หมายถึง \frac{2}{100}\times \frac{5}{100}\times \frac{6}{100}\times 1,000,000 = 60
…………..  60 คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ 420 จะได้ \frac{60}{240}\times 100 = 25
………….  ดังนั้น 2% ของ  5% ของ  6% ของ 1,000,000 คิดเป็น 25 % ของ 240

ตัวอย่างที่ 3 นักเรียนชั้น ม.1 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งสอบได้ 84% มีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 663 คน อยากทราบว่า นักเรียนชั้น ม.1 ของโรงเรียนแห่งนี้มีกี่คน
วิธีทำ…..นักเรียนชั้น ม.1 สอบได้ 84% หมายความว่า ถ้ามีนักเรียนม.1 จำนวน 100 คน จะมีนักเรียนสอบได้ 84 คน และสอบตก 100-84 = 16 คน
……….. ดังนั้น จึงมีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 84 – 16 = 68 8o
……….. มีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 68 คน จากนักเรียนทั้งหมด 100 คน
……….. ถ้ามีนักเรียนสอบได้มากกว่าสอบตก 663 คน จะมีนักเรียนทั้งหมด \frac{100}{68}\times 663 = 975 คน
……….. ดังนั้น นักเรียนชั้น ม.1 ของโรงเรียนแห่งนี้มี 975 คน

ตัวอย่างที่ 4 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งเปลี่ยนแปลงไปเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีด้านหนึ่งยาวเพิ่มขึ้นร้อยละ 60 อีกด้านหนึ่งยาวลดลงร้อยละ 60 แล้ว ถามว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีพื้นที่เปลี่ยนแปลงจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างไร
วิธีทำ…..สมมติให้ ความยาวแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมยาวด้านละ 10 หน่วย มีพื้นที่ 10 × 10 = 100 ตารางหน่วย
………… 60% ของความยาวเดิม หมายถึง \frac{60}{100}\times 10 = 6
……….. จะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า ยาว 10+6 = 16 หน่วย และกว้าง 10 – 6 = 4 หน่วย
………..  ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าใหม่ เป็น 16 × 4 = 64  ตารางหน่วย
……….. สรุปได้ว่า สี่เหลี่ยมใหม่มีพื้นที่ลดลงจากเดิม 100 – 64 = 36 ตารางหน่วย หรือ ลดลงจากเดิม 36 %

ตัวอย่างที่ 5 ปากกา 1,800 ด้าม เป็นปากกาสีน้ำเงิน ปากกาสีดำ และปากกาสีแดง นำมาจัดวางขายบนชั้น โดยเป็นปากกาสีน้ำเงิน 65% ของปากกาทั้งหมด และเป็นปากกาสีดำ 15% ของทั้งหมด ที่เหลือเป็นปากกาสีแดง ต่อมาขายปากกาสีน้ำเงินไปจำนวนหนึ่ง แล้วนับปากกาทั้งหมดใหม่ พบว่าเป็นปากกาสีน้ำเงินอยู่ 55% ของปากกาที่เหลืออยู่บนชั้น อยากทราบว่าจะเหลืออปากกาสีน้ำเงินกี่ด้าม
วิธีทำ…..เดิมมีปากกาสีน้ำเงิน \frac{65}{100}\times 1,800 = 1,170 ด้าม
……….ขายปากกาสีน้ำเงินไป.. n ..ด้าม เหลือปากกาสีน้ำเงิน 1,170-n ด้าม
……….และมีปากกาเหลือทั้งหมด 1,800-n ด้าม
………..ดังนั้น อัตราส่วนของ ปากกาน้ำเงินเหลือ : ปากกาที่เหลือบนชั้น เป็น \frac{1,170-n}{1,800-n} = \frac{55}{100}
…………..แก้สมการได้ n = 400
……..เหลือปากกาสีน้ำเงิน 1,170 - 400 = 770  ด้าม

…….เป็นยังไงกันบ้างครับเกี่ยวกับการคิดคำนวณ “ร้อยละของจำนวนใด” พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ ลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “ร้อยละของจำนวนใด”  ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง…แล้วพบกันใหม่ครับ Bye…Bye

คลิปวิดีโอเสริมเพิ่มความเข้าใจ |คลิปที่ 1|คลิปที่ 2 |

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ร้อยละของจำนวนใด ใน คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1

จำนวนนับ (Counting Number)

…….นักเรียนรู้จักจำนวนนับและสมบัติเบื้องต้นของจำนวนนับมาบ้างแล้วในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.1 แต่ยังมีสมบัติอีกบางประการที่น่ารู้จัก เพื่อให้นักเรียนมีความรู้และความเข้าใจในเรื่องจำนวนนับมากขึ้น ได้แก่ การตรวจสอบจำนวนนับนั้นว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่  การหา ห.ร.ม.(ตัวหารร่วมมาก) ของจำนวนนับสองจำนวนที่มีค่ามากเพื่อให้หาได้สะดวกและรวดเร็ว เราไปดูรายละเอียดกันเลยครับ

……. จำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1 และตัวของมันเอง เรียกว่า จำนวนเฉพาะ (Prime number)  เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 , … ดูเพิ่มเติมจำนวนเฉพาะ 1,000 จำนวนแรก
……. นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ชื่อ เอราทอสเทนีส แห่งไซรีนี (Eratosthenes of Cyrene) ได้คิดวิธีหาจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง 1 กับจำนวนนับที่กำหนดให้ โดยตัดจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะทิ้ง เรียกวิธีนี้ว่า ตะแกรงของเอราทอสเทนีส (the sieve of Eratosthenes)

…….การใช้ตะแกรงของเอราทอสเทนีส เพื่อใช้หาจำนวนเฉพาะ อาจจะไม่เหมาะสมในการตรวจสอบจำนวนมาก ๆ แต่เราอาจนำแนวคิดเดียวกันมาตรวจสอบได้ ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่า  83  เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
วิธีทำ  ขั้นที่ 1 จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่คูณตัวเอง แล้วผลคูณไม่เกิน 83 คือ 2, 3, 5, 7
………ขั้นที่ 2 นำ  2, 3, 5, 7  ไปหาร 83 ผลปรากฏว่า ไม่มีจำนวนเฉพาะจำนวนใดหาร 83 ลงตัว
………ดังนั้น 83 เป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 2 จงตรวจสอบว่า  161  เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
วิธีทำ  ขั้นที่ 1 จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่คูณตัวเอง แล้วผลคูณไม่เกิน 161 คือ 2, 3, 5, 7, 11
………ขั้นที่ 2 นำ  2, 3, 5, 7, 11  ไปหาร 161 ผลปรากฏว่า 7 หาร 161 ลงตัว (161 = 7×23)
………ดังนั้น 161 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

…….การหา ห.ร.ม. (ตัวหารร่วมมาก) ของจำนวนนับสองจำนวน ที่มีค่ามาก มีหลายวิธี แต่วิธีที่รวดเร็วคือ ขั้นตอนวิธีของยุคลิด (Euclidean algorithm)

คลิปที่ 1 การหา ห.ร.ม.แบบยุคลิด

คลิปที่ 2 การหา ห.ร.ม. แบบยุคลิด

…….เป็นไงบ้างครับ เพือให้เข้าใจยิ่งขึ้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “จำนวนนับ” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง

หรือดาวน์โหลดที่ >>> จำนวนนับ (Counting Number)  คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1

รูปเรขาคณิต (Geometric figure)

……. รูปเรขาคณิต (Geometric figure) เป็นรูปที่ประกอบด้วย จุด เส้นตรง เส้นโค้ง ระนาบ ฯลฯ ตัวอย่างของรูปเรขาคณิต ได้แก่ รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปวงกลม ทรงสี่เหลี่ยม ทรงกระบอก พีระมิด ทรงกลม ฯ

……. รูปสามเหลี่ยม (Triangle) เป็นรูปปิดที่ประกอบด้วยด้านสามด้าน
……. ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (perimeter) คือ ผลบวกของความยาวของด้านทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม
……. การจะสร้างรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ความยาวของด้านทั้งสามจะต้องสัมพันธ์กัน โดยผลบวกของด้านที่สั้นสองด้าน จะต้องมีค่ามากกว่าด้านยาวที่สุด

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดส่วนของเส้นตรงซึ่งมีความยาวต่อไปนี้ (หน่วยเป็นเซนติเมตร)
……. 1) 3,.. 4,.. 5 …………………2) 4, ..5, ..9
……. 3) 5, ..6, ..12 ……………….4) 3.5,  ..4.5, .. 7
……. 5) 4,.. 5, ..8.5 ………………6) 5.2,.. 7.5,.. 10.4
…..(1) จงหาว่า ส่วนของเส้นตรงในข้อใดบ้างที่ประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ เพราะเหตุใด
………..ตอบ ข้อ 1), 4), 5) และ 6) เพราะผลบวกของด้านที่สั้น 2 ด้าน มากกว่าด้านที่ยาวที่สุด
…..(2) จงหาว่า ส่วนของเส้นตรงในข้อใดบ้างที่ประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมไม่ได้ เพราะเหตุใด
……….ตอบ ข้อ 2) และ 3) เพราะผลบวกของด้านที่สั้น 2 ด้าน น้อยกว่าด้านที่ยาวที่สุด

ตัวอย่างที่ 2 ถ้านักเรียนมีเชือกเส้นหนึ่งยาว 4 เมตร นักเรียนจะสามารถนำมาขึงเป็นรูปสามเหลี่ยมได้หรือไม่ ถ้าได้ ทำอย่างไร และถ้าไม่ได้ เพราะเหตุใด
………ตอบ ทำได้ เพราะว่าความยาวของแต่ละด้านไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนนับ เช่น อาจวางเชือกให้มีความยาวของด้านเป็น 1.5 เมตร 1.5 เมตร และ 1 เมตร

♥ จุดข้างในและจุดข้างนอก (Interior & Exterior point)
…….รูปเรขาคณิตที่เกิดจากเส้นโค้ง นอกจากวงกลม วงรี แล้วเราสามารถสร้างรูปจากเส้นโค้งได้มากมาย

geo

…….จากรูปข้างบน เราเรียกว่า รูปเส้นโค้งปิดเชิงเดียว (single closed curve) จะเป็นรูปเส้นโค้งปิดที่เส้นรอบรูปไม่ตัดกัน
……. เส้นโค้งปิดเชิงเดียว จะมีเส้นรอบรูปเป็นเส้นแข่งเขตระหว่างส่วนที่อยู่ข้างในกับส่วนที่อยู่ข้างนอก  โดยจะเรียกจุดที่อยู่ข้างในว่า จุดข้างใน (Interior point) และจุดที่อยู่ข้างนอกรูปปิดว่า จุดข้างนอก (Exterior point)

intext…….. จากรูป A,  B,  E  เป็นจุดข้างนอก  และ C,  D  เป็นจุดข้างใน

…….. ถ้าในกรณีที่เป็นรูปซับซ้อน เราอาจจะบอกไม่ได้ในทันทีว่าจุดใดเป็นจุดข้างในหรือจุดข้างนอก หรือถ้าหาก็อาจต้องเสียเวลาค่อนข้างมาก แต่ถ้าเราใช้ทฤษฎีของ ฌอร์ดอง (Jordan’s Theorem) ในการหาจุดข้างในและจุดข้างนอกอาจจะช่วยให้เร็วขึ้น

…….. ทฤษฎีของฌอร์ดอง กล่าวว่า ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งจากจุดนั้นออกมาข้างนอกรูปทางใดทางหนึ่ง แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นตัดเส้นรอบรูปได้จำนวนจุดตัดเป็น จำนวนคี่ จุดนั้นจะเป็น จุดข้างใน  แต่ถ้าได้จำนวนจุดตัดเป็น จำนวนคู่ จุดนั้นจะเป็น จุดข้างนอก
jd

……. ลองทดสอบตัวเองดูสิครับว่า จุดใดเป็นจุดภายในและจุดใดเป็นจุดภายนอก
jd2……. มาดูกันว่า ถูกหรือเปล่าครับ จุดข้างใน ได้แก่จุด U ส่วนจุดข้างนอก ได้แก่จุด V, W, X, Y, Z

นักเรียนลองศึกษาจากคลิปวิดีโอ 2 คลิป ต่อไปนี้นะครับ เพื่อให้เกิดความรู้ความเข้าใจมากยิ่งขึ้น

นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “รูปเรขาคณิต” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้างนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 2.1 รูปเรขาคณิต

การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

…….การทดลองสุ่ม (Random Experiment) หมายถึง การทดลองหรือการทำงานที่ไม่สามารถบอกผลของการทำงานในครั้งนี้ได้ แต่สามารถบอกผลของการทำงานที่อาจจะเกิดขึ้นทั้งหมดได้ เช่น
……. การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง จะเกิดผลลัพธ์ได้ทั้งหมด 2 วิธี คือเหรียญอาจจะเกิดหัว (H) หรือก้อย (T) ซึ่งไม่สามารถบอกได้แน่นอนว่าจะเกิดหัวหรือก้อย

……. แซมเปิลสเปซ (Sample Space)  หมายถึง  เซตของผลการทดลองหรือการทำงานนั้น ๆ  ทั้งหมด  มีสมาชิกเป็นวิธีต่าง ๆ ที่อาจจะเกิดขึ้น  นำมาเขียนแจกแจงในรูปแบบต่าง ๆ อย่างครบถ้วน  แต่ละวิธีที่เกิดขึ้นจึงเป็นสมาชิกของเซต

ตัวอย่างที่ 1 จงหาแซมเปิลสเปซของการโยนเหรียญ 1 อัน สองครั้ง
วิธีทำ   S = S = \left \{ HH, HT, TH, TT \right \}

ตัวอย่างที่ 2 จงหาแซมเปิลสเปซของการตรวจสินค้า 3 ชิ้น เพื่อดูว่าดีหรือเสีย
วิธีทำ  ให้ A = ดี  B = เสีย จะได้
………. S = \left \{ AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB \right \}

ตัวอย่างที่ 3 จงหาแซมเปิลสเปซของการหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกล่องที่มีลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีฟ้า 2 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก
วิธีทำ  ให้  ข1 = ขาวลูกที่ 1,  ข2 = ขาวลูกที่ 2,  ฟ1 = ฟ้าลูกที่1,  ฟ2 = ฟ้าลูกที่ 2,  ล = ลูกบอลสีเหลือง
…….. S = { ข1ข2, ข1ฟ1, ข1ฟ2, ข1ล, ข2ฟ1, ข2ฟ2, ข2ล, ฟ1ฟ2, ฟ1ล, ฟ2ล }

 

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

หลักเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (Principle of Counting)

…….ในชีวิตประจำวันเรามักจะพบปัญหาเกี่ยวกับการนับจำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้ หรือจำนวนวิธีในการจัดชุดของสิ่งของต่าง ๆ เช่น การจัดชุดเสื้อผ้า การจัดการแข่งขันกีฬา การจัดชุดอาหาร เป็นต้น การคำนวณเพื่อหาคำตอบสำหรับปัญหาประเภทต่าง ๆ ดังกล่าว จะทำได้ง่ายและสะดวกรวดเร็วขึ้น ถ้าเข้าใจกฏเกณฑ์บางข้อ ซึ่งเรียกว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ

…….กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้  n_{1} วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n_{2} วิธี จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานทั้งสองอย่างเท่ากับ.. n_{1}\cdot n_{2} ..วิธี

…….กฎข้อที่ 2 ถ้างานอย่างแรกมีวิธีทำได้ n_{1} วิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n_{2} วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สามได้ n_{3} วิธี ฯลฯ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่าง เท่ากับ ..n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}\cdot \cdots n_{k}..วิธี

ตัวอย่างที่ 1 มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตัว จะจัดเป็นชุดที่ไม่ซ้ำกันได้กี่แบบ …….ตอบ3\times 4 = 12 แบบ
……………มีเรือวิ่งข้ามฟาก 3 ลำ จะนั่งเรือไปและกลับไม่ให้ซ้ำลำกันได้กี่วิธี …….ตอบ 3\times 2 = 6 วิธี
……………ทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง จะมีผลออกมาได้กี่แบบ ……. ตอบ6\times 6 = 36 แบบ

ตัวอย่างที่ 2 ใช้ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 มาสร้างจำนวน 3 หลัก จะสร้างได้กี่จำนวน ถ้ากำหนดให้
…..1) แต่ละหลักไม่ซ้ำกัน …….ตอบ 5\times 5\times 4 = 100 จำนวน
…..2) เป็นจำนวนคี่และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน …….ตอบ 4\times 4\times 3 = 48จำนวน
…..3) มีค่ามากกว่า 350 และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน……. ตอบ \left ( 1\times 1\times 3 \right )+\left ( 2\times 5\times 4 \right ) = 43 จำนวน
…..4) หารด้วย 10 ลงตัว……. ตอบ 1\times 5\times 6 = 30 จำนวน

ตัวอย่างที่ 3 บริษัทรถยนต์แห่งหนึ่งตัวถังรถยนต์ออกมา 2 แบบ มีเครื่องยนต์ 2 ขนาด และสีต่าง ๆ กัน 3 สี ถ้าต้องการแสดงรถยนต์ให้ครบทุกแบบ ทุกขนาดและทุกสี จะต้องใช้รถยนต์อย่างน้อยที่สุดกี่คัน
….วิธีทำ  เลือกตัวถังแล้วเลือกเครื่องยนต์แล้วเลือกสีได้ 2\times 2\times 3 = 12 คัน

ตัวอย่างที่ 4 จัดคน 10 คน นั่งเก้าอี้ 3 ตัว ซึ่งวางเรียงเป็นแถวเดียวกันได้ทั้งหมดกี่วิธี
….วิธีทำ  จัดคนเข้านั่งได้  10\times 9\times 8 = 720 วิธี

ตัวอย่างที่ 5 ข้อสอบฉบับหนึ่งมี 10 ข้อเป็นแบบถูก – ผิด จะมีวิธีตอบข้อสอบที่ไม่ซ้ำกันเลยได้ทั้งหมดกี่วิธี
….วิธีทำ…..ทำแบบทดสอบได้  2\times 2\times 2 \times \cdots \times 2 = 2^{10} = 1024 วิธี

ตัวอย่างที่ 6 ในการเลือกตั้งคณะกรรมการชุดหนึ่งจะประกอบไปด้วย ประธาน รองประธาน เหรัญญิก และเลขานุการ โดยที่กรรมการแต่ละคนจะดำรงตำแหน่งได้เพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ถ้ามีผู้สมัครทั้งหมด 6 คน เป็นชาย 2 คน เป็นหญิง 4 คน ผลการเลือกตั้งกรรมการชุดนี้จะมีได้ทั้งหมดกี่แบบที่ต่างกัน โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ6\times 5\times 4\times 3 = 360 แบบ
……. 2. กำหนดให้ประธานเป็นชาย และเลขาต้องเป็นหญิง …….ตอบ2\times 4\times 4\times 3 = 96 แบบ
……. 3. กรรมการต้องเป็นหญิงล้วน …….ตอบ4\times 3\times 2\times 1 = 24 แบบ

ตัวอย่างที่ 7 หมายเลขโทรศัพท์เคลื่อนที่ที่ขึ้นต้นด้วย 086720 xxxx จะมีทั้งหมดกี่หมายเลข
….วิธีทำ…..เลือกหมายเลขขึ้นต้นได้ 1 วิธีจากนั้นเลือกอีก 4 หมายเลขที่เหลือได้ จะได้ 1\times 10\times 10\times 10\times 10 = 10,000 หมายเลข

ตัวอย่างที่ 8 จากอักษรในคำว่า “PHYSIC” นำมาสร้างคำใหม่ประกอบด้วย 3 อักษร ต่างกัน (ไม่สนใจความหมายของคำเหล่านั้น) โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ6\times 5\times 4 = 120 วิธี
……. 2. ต้องเป็นพยัญชนะทั้งหมด …….ตอบ5\times 4\times 3 = 60 วิธี

ตัวอย่างที่ 9 ห้องประชุมแห่งหนึ่งมี 3 ประตู จงหาวิธีในการเดินเข้า – ออกห้องประชุม โดยมีเงื่อนไขต่างกัน ดังนี้
……. 1. จำนวนวิธีในการเดินเข้า …….ตอบ3 วิธี
……. 2. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก …….ตอบ3\times 3 = 9 วิธี
……. 3. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก โดยไม่ซ้ำประตูกัน …….ตอบ3\times 2 = 6 วิธี
……. 4. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก โดยใช้ประตูเดิม …….ตอบ3\times 1 = 3 วิธี

ตัวอย่างที่ 10 จดหมายแตกต่างกัน 3 ฉบับ ต้องการทิ้งจดหมายในตู้ไปรษณีย์ 4 ตู้ จะทิ้งได้กี่วิธี โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ4\times 4\times 4 = 64 วิธี
……. 2. ห้ามทิ้งซ้ำตู้กัน …….ตอบ4\times 3\times 2 = 24 วิธี

ตัวอย่างที่ 11 ครูมีหนังสือ 4 เล่มแตกต่างกัน ถ้าต้องการแจกให้นักเรียน 5 คน จงหาจำนวนวิธีแจกหนังสือโดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไข …….ตอบ5\times 5\times 5\times 5 = 5^4 = 625 วิธี
……. 2. ไม่มีใครได้หนังสือเกิน 1 เล่ม …….ตอบ5\times 4\times 3\times 2 = 120 วิธี

เพื่อที่จะให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น ให้ศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้นะครับ

หลังจากนั้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 1.1 และ 1.2 ไปลองทำเป็นการบ้านดูนะครับ เพื่อให้เกิดทักษะ กระบวนการเรียนรู้ มากยิ่ง ๆ ขึ้นไป

แบบฝึกหัดที่ 1.2 กฏการนับเบื้องต้น (O-NET)

หรือดาวน์โหลดที่ >>>  แบบฝึกหัดที่ 1.1 กฏการนับเบื้องต้น แบบฝึกหัดที่ 1.2 กฏการนับเบื้องต้น

 

 

มองประวัติศาสตร์ระบบการศึกษาฟิลิปปินส์ : อดีตถึงปัจจุบัน

…….กว่า 3 ศตวรรษที่ประเทศฟิลิปปินส์ต้องอยู่ภายใต้การปกครองโดยจักรวรรดิสเปน (ค.ศ. 1571-1898) และเกือบ 5 ทศวรรษภายใต้สหรัฐอเมริกา (ค.ศ. 1898-1940) มีการเปลี่ยนแปลงมากมายเกิดขึ้นภายในประเทศ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การปฏิรูประบบการศึกษาที่ได้รับการเปลี่ยนแปลงให้เป็นระบบมากยิ่งขึ้น ภายใต้การปกครองของสเปนและสหรัฐที่มีนโยบายการศึกษาที่แตกต่างกัน

 …….ถึงแม้ว่าสเปนและสหรัฐ ไม่ได้เข้ามามีบทบาทในระบบการศึกษาในประเทศฟิลิปปินส์แล้ว แต่นโยบายการศึกษาของสเปนและสหรัฐ เป็นมรดกที่ยังคงหลงเหลืออยู่ในฟิลิปปินส์จนถึงปัจจุบัน

 …….ในบทความชิ้นนี้ ผมจึงขออธิบายถึงนโยบายการศึกษาในประเทศฟิลิปปินส์ ตั้งแต่อดีตในสมัยที่ฟิลิปปินส์เป็นประเทศอาณานิคมของสเปนและสหรัฐ จนถึงปัจจุบันที่ฟิลิปปินส์สามารถดำเนินนโยบายการศึกษาได้อย่างเสรีว่ามีการเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยเพียงใด

555

นโยบายทางการศึกษาในยุคที่เป็นอาณานิคมของสเปน

……. หลังจากที่ฟิลิปปินส์ตกเป็นอาณานิคมของสเปนอย่างเป็นทางการในปี ค.ศ. 1571 ระบบการศึกษาในฟิลิปปินส์ได้รับอิทธิพลจากนโยบายของจักรวรรดิสเปน สิ่งหนึ่งที่ถือเป็นเอกลักษณ์สำคัญในการเปลี่ยนแปลงของระบบการศึกษาในสมัยนั้น คือ ระบบการศึกษาแบบคาทอลิก โดยศาสนาคริสต์นิกายโรมันคาทอลิกมีบทบาทอย่างมากในการพัฒนาระบบการศึกษาทั้งในระดับโรงเรียนและมหาวิทยาลัยภายในฟิลิปปินส์ เพราะเป็นยุทธศาสตร์สำคัญของสเปนในการเผยแผ่คริสต์ศาสนานิกายโรมันคาทอลิกในฟิลิปปินส์

……. ปัจจัยที่ส่งผลให้ศาสนจักรโรมันคาทอลิกประสบความสำเร็จในการปฏิรูประบบการศึกษาในประเทศฟิลิปปินส์คือ ปัจจัยด้านการถือครองที่ดิน เหตุเพราะศาสนาโรมันคาทอลิกถือครองที่ดินเป็นจำนวนมากภายในฟิลิปปินส์ ซึ่งส่งผลให้นักบวชนิกายโรมันคาทอลิกมีอิทธิพลและมีอำนาจมากในการปฏิรูประบบการศึกษา และประสบความสำเร็จในการเผยแผ่ศาสนาคริสต์นิกายโรมันคาทอลิกภายในฟิลิปปินส์

 …….ทั้งนี้ ระบบการศึกษาในประเทศฟิลิปปินส์ได้ถูกเปลี่ยนแปลงอีกครั้งในปี ค.ศ.1863 ผ่านกฎหมายการศึกษา (Educational Decree) ที่เน้นให้ระบบการศึกษาภายในประเทศมีความเป็นระบบ มีหลักสูตรที่มีมาตรฐาน และก่อตั้งโรงเรียนเพิ่มมากยิ่งขึ้นเพื่อรองรับประชาชนทั่วไปภายในประเทศ อย่างไรก็ดี ความเหลื่อมล้ำในการเข้าถึงระบบการศึกษาของคนในประเทศยังคงมีอยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งความเหลื่อมล้ำระหว่างผู้ชายและผู้หญิง และความเหลื่อมล้ำระหว่างครอบครัวที่มีฐานะร่ำรวยและยากจน

……. นอกเหนือจากศาสนาและระบบการศึกษาที่เป็นระบบ ภาษาสเปนเป็นอีกสิ่งหนึ่งที่สเปนได้ทิ้งไว้แก่ประเทศอาณานิคม ซึ่งเห็นได้จากร่องรอยของมรดกทางภาษาสเปน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในภาษาตากาล็อกที่ได้รับอิทธิพลอย่างมากจากภาษาสเปน เช่นเดียวกับการตั้งชื่อคนในประเทศ ถนนหนทาง หรือสิ่งก่อสร้างต่าง ๆ ในฟิลิปปินส์ที่ยังคงถูกเรียกขานเป็นภาษาสเปนจนถึงปัจจุบัน

นโยบายทางการศึกษาในยุคที่เป็นอาณานิคมของสหรัฐ

 …….ในการปฏิรูประบบการศึกษาภายในฟิลิปปินส์ภายใต้อาณานิคมของสหรัฐ ยุทธศาสตร์สำคัญของสหรัฐ คือ ความพยายามที่จะทำให้ชาวฟิลิปปินส์มีความเป็นอเมริกันมากขึ้น (Americanization) ผ่านนโยบายการศึกษาที่ถูกคิดค้นขึ้นโดยชาวอเมริกัน

 …….ตลอดระยะเวลาที่สหรัฐปกครองฟิลิปปินส์ มีการสนับสนุนให้ใช้ภาษาอังกฤษมากขึ้น เพื่อลดบทบาทการใช้ภาษาท้องถิ่น โดยกว่า 5 ทศวรรษของระบบการศึกษาแบบอเมริกัน นักเรียนฟิลิปปินส์ต้องศึกษาบทประพันธ์ของกวีตะวันตกชื่อดังมากมาย อาทิ วิลเลี่ยม เชคสเปียร์ เป็นต้น ส่งผลทำให้ชาวฟิลิปปินส์ให้ความสนใจกับวรรณคดีท้องถิ่นน้อยลง และใช้ภาษาอังกฤษในชั้นเรียนและในชีวิตประจำวันมากขึ้น

 …….ถึงแม้ว่าสหรัฐ พยายามสอดแทรกวรรณกรรมตะวันตกในชีวิตประจำวันของชาวฟิลิปปินส์ แต่เมื่อเทียบกับยุคที่สเปนปกครองฟิลิปปินส์ก่อนหน้านั้น ถือได้ว่าชาวฟิลิปปินส์มีเสรีภาพในการแสดงผลงานด้านบทประพันธ์ กลอน และวารสารต่างๆ ในภาษาท้องถิ่นมากกว่าในยุคที่เป็นอาณานิคมของสเปน

 …….อย่างไรก็ตาม ผลงานวรรณกรรมของชาวฟิลิปปินส์กลับไม่ได้รับการบรรจุในวิชาภาษาและวรรณคดีในชั้นเรียนเท่าที่ควร ซึ่งส่งผลทำให้ระบบการศึกษาแบบอเมริกันแตกต่างจากระบบการศึกษาในยุคที่เป็นอาณานิคมของสเปนโดยสิ้นเชิง นั่นคือ ชาวฟิลิปปินส์ในยุคที่ถูกปกครองโดยสหรัฐ ไม่มีโอกาสได้เรียนภาษาประจำชาติของตัวเอง เพราะภาษาท้องถิ่นถูกใช้เป็นเพียงตัวช่วยในการเรียนการสอนในวิชาต่างๆ เท่านั้น อีกทั้งสหรัฐยังผูกขาดการใช้ภาษาอังกฤษในระบบการศึกษา จวบจน ค.ศ. 1940 ภายหลังจากที่ญี่ปุ่นเข้ายึดครองฟิลิปปินส์ในสงครามโลกครั้งที่ 2 แต่ญี่ปุ่นไม่ได้มีบทบาทในการพัฒนาการศึกษาภายในประเทศฟิลิปปินส์

นโยบายการศึกษาภายหลังยุคที่เป็นอาณานิคมของสหรัฐจวบจนปัจจุบัน

……. ภายหลังจากที่ฟิลิปปินส์มีอิสระในการกำหนดนโยบายการศึกษาแล้ว ฟิลิปปินส์ยังคงให้ความสำคัญกับภาษาอังกฤษในระบบการศึกษา พิจารณาได้จากรัฐธรรมนูญของประเทศฟิลิปปินส์ฉบับปี ค.ศ.1987 ที่ระบุไว้อย่างชัดเจนว่า ภาษาทางการที่ใช้ในการเรียนการสอนในโรงเรียนคือภาษาฟิลิปปินส์และภาษาอังกฤษ กระทรวงศึกษาธิการของฟิลิปปินส์ได้กำหนดให้ใช้ภาษาทั้งสองในวิชาที่แตกต่างกันในการเรียนการสอน

 …….ในปัจจุบัน นโยบายการศึกษาของฟิลิปปินส์ยังคงเป็นไปในรูปแบบอเมริกันที่เน้นภาษาอังกฤษเป็นภาษาหลักในการเรียนการสอน ในขณะเดียวกันสถาบันทางการศึกษาหลายต่อหลายแห่งยังคงขึ้นตรงต่อระบบการศึกษาแบบคาทอลิก อาทิ มหาวิทยาลัย ดา ลา ซาน (De La Salle University) และมหาวิทยาลัย อาเตเนโอ เด มานิล่า (Ateneo de Manila University) เป็นต้น

……. โดยสรุป การที่นโยบายทางการศึกษาของฟิลิปปินส์ถูกควบคุมโดยประเทศเจ้าอาณานิคมอย่างสเปนและ สหรัฐ ส่งผลดีและผลเสียแตกต่างกันไป

……. ผลดีสำหรับฟิลิปปินส์คือ ระบบการศึกษาของฟิลิปปินส์มีคุณภาพ มีมาตรฐานและเป็นระบบมากยิ่งขึ้น ผ่านการปฏิรูปทางการศึกษาของสเปน รวมไปถึงการที่ประชาชนภายในประเทศมีระดับความสามารถทางภาษาอังกฤษที่สูงขึ้นภายใต้ระบบการศึกษาแบบอเมริกัน

 …….ผลเสียภายใต้การปกครองโดยสเปนและสหรัฐ คือ การถูกลิดรอนอิสรภาพในการกำหนดทิศทางทางการศึกษาด้วยตัวเอง อาทิ ประชาชนฟิลิปปินส์ได้รับอิทธิพลและกฎเกณฑ์ต่างๆ ภายใต้ระบบการศึกษาแบบคาทอลิก หรือการที่เอกลักษณ์ของชาติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งวรรณกรรมและภาษาท้องถิ่นได้รับการอนุรักษ์และให้ความสำคัญที่น้อยลงภายใต้ระบบการศึกษาแบบอเมริกัน

บทเรียนสำหรับประเทศไทย :

 …….ปฏิเสธไม่ได้เลยว่ามรดกทางการศึกษาที่สเปนและสหรัฐได้มอบไว้แก่ฟิลิปปินส์ คือ ระบบการศึกษาที่เป็นระบบ และการเรียนการสอนที่เน้นการพัฒนาภาษาอังกฤษ ซึ่งทำให้ประชาชนชาวฟิลิปปินส์มีทักษะภาษาอังกฤษที่ดี และเกิดการพัฒนาคุณภาพการศึกษาภายในประเทศ

 …….สำหรับประเทศไทย ถึงแม้ว่าระบบการศึกษาไทยในปัจจุบันไม่ได้ถูกวางรากฐานโดยประเทศจ้าวอาณานิคม แต่ปฏิเสธไม่ได้ว่าระบบการศึกษาไทยรับอิทธิพลจากระบบการศึกษาตะวันตก ถึงกระนั้นการศึกษาไทยกลับไม่ได้มีคุณภาพทัดเทียมกับชาติตะวันตก โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเรียนการสอนภาษาอังกฤษที่ไม่ประสบความสำเร็จเท่าใดนัก เนื่องจากการเรียนการสอนภาษาอังกฤษในประเทศเป็นเพียงวิชาหนึ่งที่เรียนเพื่อให้รู้แบบท่องจำหรือเป็นเพียงความรู้ ไม่ใช่การฝึกฝนทักษะเพื่อให้ผู้เรียนนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้

 …….การพัฒนาการเรียนภาษาอังกฤษในระบบการศึกษาไทยนำมาซึ่งประเด็นที่ท้าทายว่า ระบบการศึกษาไทยควรให้น้ำหนักอย่างไรกับเป้าหมายสองประการ คือ ความพยายามอนุรักษ์ภาษาไทยที่เป็นเอกลักษณ์ของชาติ และการพัฒนาคนให้มีความพร้อมสำหรับโลกในอนาคตที่มีการเชื่อมโยงกันมากขึ้น ผมเห็นว่าประเทศไทยมีความจำเป็นต้องให้น้ำหนักกับเป้าหมายหลังมากขึ้น

 …….ทั้งนี้การบรรลุเป้าหมายดังกล่าว ผมได้เสนอแนวทางการพัฒนาการศึกษาของชาติ โดยเฉพาะการศึกษาภาษาต่างประเทศไว้จำนวนหนึ่ง อาทิ การปรับปรุงโรงเรียนทั้งหมดให้เป็นโรงเรียน 2 ภาษา (ภาษาไทยและภาษาอังกฤษ) และพัฒนาโรงเรียนบางส่วนให้เป็นโรงเรียน 3 ภาษา รวมทั้งการพัฒนาคุณภาพของโรงเรียนทั้งประเทศให้มีคุณภาพขั้นต่ำเทียบเท่าโรงเรียนสาธิต รวมทั้งการพัฒนาหนังสือและสื่อการเรียนการสอนและบริบทแวดล้อมที่ส่งเสริมการเรียนรู้ภาษาต่างประเทศ

 …….ท่ามกลางกระแสโลกาภิวัตน์ที่พรมแดนประเทศมีความสำคัญน้อยลงและโลกมีความเชื่อมโยงกันมากขึ้น ภาษาต่างประเทศจะเป็นทักษะที่จำเป็นมากขึ้น ระบบการศึกษาไทยควรได้รับการปฏิรูปครั้งใหญ่โดยให้น้ำหนักกับการเรียนภาษาต่างประเทศมากขึ้น เพื่อพัฒนาคนไทยให้เป็นพลเมืองโลกและสามารถแข่งขันได้ และไม่ควรวิตกกังวลมากจนเกินไปว่าจะทำให้คนไทยสูญเสียเอกลักษณ์หรือตกเป็นอาณานิคมของต่างชาติทางอ้อม

บทความโดย ศ.ดร.เกรียงศักดิ์ เจริญวงศ์ศักดิ์  ใน การเมือง : ทัศนวิจารณ์ ของหนังสือพิมพ์กรุงเทพธุกิจ

การใช้สื่อสังคมออนไลน์ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนห้องเรียนกลับด้าน (Flipped Classroom)

…….พอดีผมมีโอกาสได้ไปเป็นวิทยากรอบรมการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนโดยใช้สื่อสังคมออนไลน์ (Social Media) ในการนำมาประยุกต์ใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนตามแนวคิด (Flipped Classroom) ณ โรงเรียนิคมวิทยา อำเภอนิคมพัฒนา จังหวัดระยอง ในระหว่างวันที่ 7-8 พฤษภาคม 2557 ก็เลยอยากนำประสบการณ์เหล่านั้นมาเล่าให้ท่านที่สนใจ ได้นำแนวคิดไปใช้ในการจัดการเรียนการสอนลองดูนะครับ

จุดเริ่มต้นและความเป็นมา
……. Jonathan Bergmann และ Aaron Sams ซึ่งพวกเขาเป็นครูวิชาเคมีของโรงเรียน Woodland Park High School รัฐโคโลราโด ประเทศสหรัฐอเมริกา และได้เขียนหนังสือที่ชื่อ Flip Your Classroom : Reach Every Student in Every Class Every Day ขึ้น Ffpครู 2 ท่านนี้ได้พบว่าการเรียนของนักเรียนหลาย ๆ คนไม่สามารถเข้ามาเรียนในชั้นเรียนได้ตามเวลาอันเนื่องมาจากสาเหตุหลายๆประการ เช่น นักเรียนที่เป็นนักกีฬา นักเรียนที่ต้องทำงานนอกเวลา หรือกิจกรรมต่างที่ต้องใช้เวลาในการเดินทาง หรือแม้กระทั้งเนื้อหาวิชาที่ใช้เวลาในการทำความเข้าใจมาก ๆ  จนไม่สามารถจัดได้หมดในชั่วโมงเรียนดังนั้น Jonathan และAaron จึงมีแนวคิดจาก
……..1. พิจารณาเลือกเทคโนโลยีที่มีความเป็นไปได้ที่จะนำมาใช้กับนักเรียน และนักเรียนสามารถนำขึ้นมาเรียนได้ขณะเดินทางทาง หรือในเวลาว่างจากอุปกรณ์หรือเครื่องมือ ที่นักเรียนมี เช่น คอมพิวเตอร์, แท็บเล็ต, สมาร์ทโฟน, หรือแล็บท็อป นอกเหนือจากการเรียนในชั้นเรียน
…….2. โดยมีกิจกรรมต่างๆ เป็นตัวเชื่อม เช่น อีเมล์จากนักเรียนที่มีข้อสงสัย อีเมล์จากครูผู้สอนตั้งคำถามไปยังนักเรียน  บทความหรือเนื้อหาต่าง ๆ เกี่ยวกับเนื้อหาวิชาที่อยู่บนเว็บไซด์

กลับด้านชั้นเรียนคืออะไร
…….นำสิ่งที่เดิมเคยทำในชั้นเรียนไปทำที่บ้าน และนำสิ่งที่เคยถูกมอบหมายให้ทำที่บ้านมาทำในชั้นเรียนแทน ชั้นเรียนที่เราคุ้นเคยกันมานั้น ครูจะเป็นผู้บรรยายเนื้อหาต่างๆ ในชั้นเรียนแล้วมอบงานให้นักเรียนกลับไปทำเป็นการบ้าน แต่ Jonathan และ Aaron  สังเกตว่า เวลาที่นักเรียนต้องการพบครูจริงๆ คือ เวลาที่เขาติดขัดและต้องการความช่วยเหลือ เขาไม่ได้ต้องการครูอยู่ในชั้นเรียนเพื่อบอกเนื้อหา เพราะเขาสามารถค้นหาเนื้อหานั้นด้วยตนเองได้ สรุปง่าย ๆ ก็คือ ปรับการให้ความสำคัญที่ครูไปสู่การเรียนรู้ของนักเรียน

มีการจัดการเรียนรู้อย่างไร
……. ครูอาจจะสร้างแหล่งเรียนรู้ (Resource Center) เช่น เว็บบล็อก (WordPress) เฟซบุ๊คกลุ่ม (Groups) หรือบันทึกวิดีโอการสอนให้เด็กไปดูเป็นการบ้าน แล้วครูใช้ชั้นเรียนสำหรับชี้แนะนักเรียนให้เข้าใจแก่นความรู้ หรือชี้แนะในการที่เด็กได้รับมอบหมายจะดีกว่า ขณะเดียวกัน เทคโนโลยีสารสนเทศในปัจจุบันก้าวหน้าไปมาก เว็บไซต์ต่าง ๆ อย่าง YouTube อัดแน่นไปด้วยความรู้ต่างๆ เด็กสามารถเรียนรู้ได้ด้วยตัวเอง หมดยุคที่ต้องคอยมารอรับความรู้ในชั้นเรียนเพียงช่องทางเดียว เพราะฉะนั้นในห้องเรียนกลับด้าน ครูจะแจกสื่อให้เด็กไปเรียนรู้ล่วงหน้าที่บ้าน หรืออาจให้เด็กไปดูสื่ออย่างยูทูบ เมื่อมาเข้าชั้นเรียนในวันรุ่งขึ้น นักเรียนจะซักถามข้อสงสัยต่างๆ จากนั้นก็ลงมือทำงานที่ได้รับมอบหมายเป็นรายบุคคลหรือรายกลุ่มโดยมีครูคอยให้คำแนะนำตอบข้อสงสัย

ข้อจำกัด-ข้อควรคำนึง ของการกลับด้านชั้นเรียน
…….เพื่อตรวจสอบว่า เด็กได้ดูสื่อที่ครูให้ไปเรียนรู้ล่วงหน้าหรือไม่นั้น จะมีเด็กบันทึกโน้ตมาส่งครู อาจบันทึกมาในสมุด เข้าไปเขียนไว้ใน Blog ของครู หรือเขียนส่งมาทางอีเมล และจะให้เด็กตั้งคำถามมาด้วยอย่างน้อย 1 ข้อ อย่างไรก็ตาม ในแต่ละรายวิชาจะมีข้อจำกัดและข้อควรคำนึง ดังนี้
ข้อจำกัด
…..1. ต้องมีการเตรียมการอย่างดี มีความเชื่อมโยงสัมพันธืกันทั้งเวลา เนื้อหา กิจกรรม
…..2. ต้องปรับค่านิยม คุ้นชิน และความเชื่อเดิม
…..3. ความพร้อมของเทคโนโลยีและสื่อที่ใช้
…..4. การปรับบทบาทครูและนักเรียน
ข้อควรคำนึง
…..1. วุฒิภาวะและความพร้อมของผู้เรียน
…..2. ความตั้งใจและกระตือรือร้นของครูผู้สอน
…..3. ความเหมาะสมของรายวิชา/บทเรียน
…..4. สื่อการเรียนการสอน
…..5. ความเข้าใจของผู้เกี่ยวข้อง

นำมาปรับใช้ในบริบทของเราได้อย่างไร
…….เช่น การนำไปใช้ในรายวิชาวิทยาศาสตร์ จะช่วยให้มีเวลาและโอกาสมากขึ้นที่จะจัดกิจกรรมการเรียนรู้โดย Inquiry Approach ซึ่งนักเรียนจะได้ลงมือทำงานและปฏิบัติกิจกรรมการเรียนรู้และได้ศึกษาทดลองที่ลึกซึ้งขึ้น ยกตัวอย่างเรื่อง เซลล์และการค้นพบเซลล์ เวลา 2 ชั่วโมง
…..1. ขั้นสร้างความสนใจ (ล่วงหน้าก่อนการเรียนการสอนในชั่วโมงจริง)
…….1.1 ครูสร้างบล็อก หรือตั้งกระทู้บนอินเทอร์เน็ตเพื่อเป็นประเด็นในแง่มุมต่างๆ โดยตั้งกระทู้ถามนักเรียนว่าร่างกายของคนเราหรือสัตว์ประกอบขึ้นด้วยส่วนประกอบใดบ้าง และหน่วยที่เล็กที่สุดที่ประกอบขึ้นเป็นร่างกายคืออะไร
…….1.2 ครูควรเลือกสร้างสื่อ ในเรื่องที่เกี่ยวข้องสำหรับสอนนักเรียนล่วงหน้าอาจเป็นคลิปวิดีโอเป็นเรื่องๆ สั้นๆ หรืออาจเป็นไฟล์สำหรับกดาว์นโหลดได้ หรือนำขึ้นไปฝากไว้บน YouTube  เนื้อหาเช่น ครูสาธิตการใช้กล้องจุลทรรศน์และอธิบายประเภท ส่วนประกอบ และวิธีการใช้กล้องจุลทรรศน์ให้นักเรียนเข้าใจในรูปแบบต่างๆ เช่นคลิปวิดีโอ
…….1.3 ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายในประเด็นต่างบนอินเทอร์เน็ตหรือทางสื่อต่าง ๆ ล่วงหน้าก่อนการเรียนในห้องเรียน เช่น Line, Facebook, ตามแต่ที่จะถนัด เช่น
…….- เซลล์คืออะไร
…….- นักวิทยาศาสตร์ที่ค้นพบเซลล์คนแรกเป็นใคร
…….- นักเรียนจะศึกษาลักษณะของเซลล์ได้อย่างไร
…….- ครูอภิปรายถึงการใช้อุปกรณ์ที่ช่วยในการมองเห็น ได้แก่ แว่นขยายกล้องจุลทรรศน์ และกล้องโทรทรรศน์
…….- นักเรียนร่วมกันอภิปรายจำแนกรายละเอียดถึงความแตกต่างในการเลือกใช้ประโยชน์จากอุปกรณ์ดังกล่าว
…….1.4 นักเรียนศึกษาค้นคว้า ส่วนประกอบและการใช้กล้องจุลทรรศน์ จากคลิปวิดีโอเรื่อง กล้องจุลทรรศน์ หรือจากแหล่งเรียนรู้ต่าง ๆ นักเรียนคิดและลำดับเหตุการณ์ขั้นตอนการใช้กล้องจุลทรรศน์ศึกษาสิ่งที่มองไม่เห็นด้วยตาเปล่า
…..2.ขั้นที่ 2 สำรวจและค้นหา และขั้นที่ 3 อธิบายและลงข้อสรุป 2 ขั้นตอนนี้ครูสามารถให้นักเรียนคุยกันหรือวางแผนการทำงานร่วมกันมาจากที่บ้านล่วงหน้าก่อนการเรียนจริงในห้องเรียน
…..3. ขั้นขยายความรู้ ขั้นตอนนี้สามารถนำมาทำกิจกรรมในห้องเรียนได้เลยในทันที เต็มเวลา 2 ชั่วโมง ที่เข้าเรียนเพราะทุกขั้นตอนนักเรียนได้เรียนและศึกษามาทั้งหมดแล้ว

ข้อคิดสำหรับห้องเรียนกลับด้าน
…….วิดีโออาจใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับการสอนบางเรื่อง แต่อาจจะไม่ได้ผลสำหรับการสอนบางเรื่อง ความรู้บางอย่างนักเรียนต้องค้นคว้าหาคำตอบด้วยตนเอง บางเรื่องครูต้องสอนโดยตรง บางเรื่องเกิดจากการซักถามอภิปราย วิดีโอจึงไม่ใช่สูตรสำเร็จสำหรับการสอนทุกเรื่อง ครูผู้สอนต้องพิจารณาตามความเหมาะสม

อ้างอิง
1. ครูเพื่อศิษย์ สร้างห้องเรียนกลับทาง ของ ศ.นพ.วิจารณ์ พานิช
2. ห้องเรียนกลับด้านของ สพฐ. โดย ดร.รุ่งนภา นุตราวงศ์ ผู้เชี่ยวชาญของ สพฐ. 
3. ห้องเรียนกลับด้าน (Flipped Classroom) โดยนายอนุศร  หงษ์ขุนทด

เสียงสะท้อนเยาวชนระบบการศึกษานี้ “เพื่อใคร”

             พูดกันมานับครั้งไม่ถ้วนแล้วกับปัญหาของการศึกษาไทย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อปี 2556 ที่ผ่านมา หลังมีกระแสข่าวว่าประเทศไทยมีคุณภาพการศึกษาอยู่เกือบรั้งท้ายกลุ่มเอเชียตะวันออกเฉียงใต้ (อาเซียน) ทั้งที่เราเคยมีการปฏิรูปการศึกษาครั้งใหญ่มาแล้วเมื่อปี 2542 ก็ตาม

ที่ผ่านมานโยบายการศึกษาของไทยผ่านการลองผิดลองถูกมามาก ทั้งรูปแบบตะวันออกและตะวันตก  คำถามคือ..แล้วเหตุใดจึงเหมือนกับว่า “ยิ่งแก้ยิ่งเละ” ซึ่งก็มีผู้ตั้งข้อสังเกตว่า อาจเพราะที่ผ่านมา แผนต่างๆ ล้วนถูกกำหนดจากผู้ใหญ่ทั้งสิ้น โดยไม่ค่อยจะได้รับฟังความคิดเห็น หรือให้เด็กและเยาวชนซึ่งเป็นผู้เรียนมีส่วนร่วมเท่าใดนัก

เมื่อวันที่ 23 เม.ย. 2557 ที่ผ่านมา สำนักวิจัยมหาวิทยาลัยอัสสัมชัญ (ABAC Poll) เปิดเผยผลการสำรวจในหัวข้อ “เด็กและเยาวชนไทยอยากเห็นอะไรที่เปลี่ยนแปลงจากการศึกษาไทย” ณ สำนักงานส่งเสริมสังคมแห่งการเรียนรู้และคุณภาพเยาวชน (สสค.)

ทำการสำรวจเยาวชนอายุ 14-18 ปี ระหว่างวันที่ 1-15 เม.ย. 2557 ใน 17 จังหวัด คือ กรุงเทพมหานคร สมุทรปราการ จันทบุรี ลพบุรี นครปฐม เพชรบูรณ์ สุโขทัย เชียงใหม่ ยโสธร ชัยภูมิ อุดรธานี ขอนแก่น นครราชสีมา สงขลา นครศรีธรรมราช ชุมพร และสุรินทร์ จำนวน 4,255 คน ผลสำรวจทำให้พบความจริงที่น่าเป็นห่วงบางประการ

             – เรียนหนักแทบตาย..แต่สุดท้ายต้องกวดวิชา เสียงสะท้อนของเยาวชนกลุ่มตัวอย่าง ร้อยละ 54.0 ระบุว่าต้องเรียนในชั้นเรียนปกติวันละ 7-8 คาบ และยังไม่พอ ชีวิตนอกโรงเรียนยังต้องอยู่กับการบ้าน โดยร้อยละ 74.7 ใช้เวลาช่วงกลางคืนทำการบ้าน แต่ขณะเดียวกัน เด็กไทยร้อยละ 65.1 กลับระบุว่าการเรียนพิเศษเป็นสิ่งจำเป็น เพราะมองว่าได้เคล็ดลับที่ต้องใช้สอบมากกว่าที่โรงเรียนสอน , เนื้อหาที่เรียนในชั้นเรียนปกติไม่ออกสอบ หรือผู้สอนกวดวิชา (ติวเตอร์) มีเทคนิคการสอนที่น่าสนใจ ทำให้จำเนื้อหาได้ง่ายกว่าครูในชั้นเรียนปกติ เป็นต้น

ในประเด็นแรกนี้ เยาวชนกลุ่มตัวอย่างได้สะท้อนเรื่องราวเกี่ยวกับครูมากมาย ร้อยละ 25 เน้นไปที่วิธีการสอน ที่ครูในชั้นเรียนมักจะสอนตามหนังสือ จนราวกับว่ามาอ่านหนังสือให้ฟังเสียมากกว่า ทำไมครูจึงไม่หาเทคนิคการสอนที่ทำให้ไม่น่าเบื่ออย่างติวเตอร์กวดวิชาบ้าง? หรือครูบางคนที่สอนในห้องแบบผ่านๆ แต่เก็บเคล็ดสำคัญไปสอนในชั่วโมงกวดวิชาที่ต้องเสียเงินค่าเรียนเพิ่ม เป็นต้น (รองลงมา ร้อยละ 21.2 ตั้งคำถามถึงตัวการบ้าน เช่นการบ้านมากแต่ให้เวลาทำน้อย และอันดับ 3 ร้อยละ 14.7 พูดถึงความประพฤติส่วนบุคคลของครู เช่นเข้าสอนไม่ตรงเวลา ฯลฯ )

              – การสอบคือความเป็นความตายของทั้งชีวิต เป็นที่พูดกันมานานแล้วว่าการศึกษาไทยมีมิติของชนชั้นซ่อนอยู่ กล่าวคือ ผู้ที่สามารถสอบเข้าเรียนต่อสถาบันอุดมศึกษาชั้นนำของประเทศ หรือได้ประกอบอาชีพบางสายงาน จะเสมือนหนึ่งถูกยกระดับฐานะทางสังคมให้สูงขึ้นเหนือผู้จบจากสถาบันอื่นๆ หรือผู้ประกอบอาชีพอื่นๆ ไปด้วย

ผลการสำรวจครั้งนี้ ยังคงตอกย้ำความเชื่อดังกล่าว ร้อยละ 65.5 ของเยาวชนกลุ่มตัวอย่าง ระบุว่าความกลัวที่สุดของชีวิตการเรียนคือการสอบไม่ผ่านหรือสอบเข้าเรียนต่อไม่ได้ รองลงมาร้อยละ 59.6 ตั้งเป้าว่าต้องเรียนให้เก่งๆ ทำเกรดให้สูงที่สุด และเมื่อถามว่า “ค่านิยมใดที่อยากให้สังคมไทยเลิกยึดถือเสียที” ร้อยละ 52.7 หรือส่วนใหญ่ตอบว่าการได้เรียนในสถาบันการศึกษาชั้นนำและใบปริญญาคือเป้าหมายของเด็กไทย

รองลงมาร้อยละ 46.5 ตอบว่าการเรียนเก่งเป็นเรื่องสำคัญที่สุดในชีวิต อันดับ 3 ร้อยละ 46.1 ตอบว่าการเรียนนั้นเป็นไปเพื่อยกระดับฐานะ (เงินเดือน/รายได้) มากกว่าการนำความรู้ไปพัฒนาชาติบ้านเมือง อันดับ 4 ร้อยละ 46.0 มองว่าสังคมกำหนดให้เด็กต้องเรียนอะไร เด็กจึงไม่ได้เรียนในสิ่งที่อยากเรียน อันดับ 5 ร้อยละ 43.2 ตอบว่าไม่มีที่ว่างสำหรับผู้แพ้ การสอบตกหรือเข้ามหาวิทยาลัยไม่ได้คือความล้มเหลวในชีวิต ทั้งหมดนี้สะท้อนให้เห็นว่า..เด็กไทยต้องอยู่กับการสอบแข่งขันตลอดเวลาจนเกิดความเครียดสะสม เนื่องจากกรอบค่านิยมที่สังคมขีดเส้นไว้ให้ทั้งสิ้น

            – ความรู้ท่วมหัวเอาตัวไม่รอด เยาวชนกลุ่มตัวอย่างกว่าครึ่งหนึ่ง หรือร้อยละ 58.7 ระบุว่าเด็กไทยน่าจะเรียนหนักมากที่สุดในโลก แต่ไม่สามารถนำความรู้ในห้องเรียนไปใช้งานได้จริงในชีวิตประจำวัน ทั้งนี้ ร้อยละ 69.4 ระบุว่าระบบการศึกษาไทยต้องเปลี่ยนแปลง และเมื่อถามต่อไปว่าอยากให้แก้ไขอะไรบ้าง ผลสำรวจสามารถจัดอันดับได้เป็นข้อๆ ดังต่อไปนี้

1.หลักสูตรต้องเหมาะสมกับเด็กไทยไม่ใช่ต่างชาติ

2.เน้นการประยุกต์ในชีวิตประจำวันมากกว่าทฤษฎีในตำราอย่างเดียว

3.แต่ละวิชาควรสอนโดยครูที่จบตรงในสายวิชานั้นๆ

4.ลดชั่วโมงการเรียนที่มากเกินความจำเป็น

5.เทคนิค/กลวิธีการสอนของครู

6.ขยายโอกาสการในศึกษาระดับมหาวิทยาลัยให้ทั่วถึงอย่างเท่าเทียมกัน

7.เพิ่มการฝึกปฏิบัติมากขึ้นจากเดิมที่สอนทฤษฎีตามตำราเป็นหลัก

8.เป้าหมายการเรียนไม่ควรเป็นไปเพื่อสอบอย่างเดียว

9.เปิดโอกาสให้เด็กได้เรียนในสิ่งที่อยากเรียนจริงๆ และ

10. อื่นๆ เช่น ปลูกฝังค่านิยมและมุมมองต่ออาชีพ , ส่งเสริมการสอนภาษาต่างประเทศให้มากขึ้น , ให้ความสำคัญกับผู้เรียนให้มากขึ้น/ลดการสอบแข่งขันเพื่อเข้าเรียนต่อ ฯลฯ ทั้งหมดนี้เป็นเสียงสะท้อนของเด็กและเยาวชนผู้ซึ่งแบกรับภาระจากนโยบายการศึกษา ทั้งที่เป็นทางการคือแผนหรือหลักสูตรของรัฐ และที่ไม่เป็นทางการคือค่านิยมของผู้ปกครองและสังคมที่กดดัน

           เข้าทำนอง “คนคิดไม่ได้ใช้ คนใช้ไม่ได้คิด” จนเป็นปัญหาเพราะผู้กำหนดนโยบาย อาจไม่เข้าใจความเป็นจริง และความต้องการของเด็กไทย

ที่มา หนังสือพิมพ์แนวหน้าออนไลน์  ฉบับวันที่ 28 เมษายน 2557

Niels Henrik Abel นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่หลังสิ้นอายุขัย

01     ถ้า Niels Abel มิได้เสียชีวิตด้วยวัณโรคในวัย 26 ปี เขาอาจจะเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งคริสต์ศตวรรษที่ 19 ถึงจะมีอายุขัยน้อย และประสบการณ์วิจัยไม่มาก แต่ Abel ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าสมการกำลัง 5 (quintic equation) เช่น ax5 +bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 เมื่อ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ ไม่มีคำตอบสำหรับ x ที่สามารถหาเป็นสูตรสำเร็จได้จากค่า a, b, c, d, e และ f ดังบุรพที่นักคณิตศาสตร์รุ่นก่อน Abel ได้เคยพยายามค้นหามานานร่วม 250 ปี

​Niels Henrik Abel เกิดเมื่อวันที่ 5 สิงหาคม ค.ศ.1802 (ตรงกับรัชสมัยสมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช) ที่หมู่บ้านเล็กๆ บนเกาะ Finnöy ซึ่งตั้งอยู่ทางทิศตะวันตกเฉียงใต้ของเมือง Stavenger ในนอร์เวย์ บิดา Sören George Abel มีอาชีพเป็นนักบวชนิกาย Lutheran ส่วนมารดา Anne Marie Simonson เป็นบุตรีของพ่อค้าที่มีฐานะดี Niels เป็นลูกคนที่ 2 ของครอบครัวที่มีลูก 7 คน

​เมื่อ Abel อายุ 2 ขวบ บิดาได้อพยพครอบครัวไปทำงานที่เมือง Gjerstad เมื่อถึงวัยต้องเข้าโรงเรียน Abel กับพี่น้องทุกคนได้บิดาเป็นครูสอนหนังสือ เพราะบิดามีการศึกษาดีพอสมควร และยังเป็นนักเคลื่อนไหวในสภาผู้แทนราษฎร ในการต่อสู้กอบกู้เอกราชของนอร์เวย์จากสวีเดน ในปี 1814 ด้วย

​ในปี 1815 Abel วัย 13 ปี กับพี่ชายได้ถูกส่งตัวไปเรียนหนังสือที่โรงเรียน Cathedral School ในกรุงออสโล ซึ่งเป็นโรงเรียนมัธยมที่ดีที่สุดของประเทศ แต่ในปีที่ Abel เข้าเรียนนั้น บรรดาครูดีๆ ที่สอนหนังสือเก่งของโรงเรียนหลายคนได้ย้ายไปสอนที่มหาวิทยาลัย หลายคนได้ลาออก ส่วนครูที่บรรจุใหม่นอกจากสอนหนังสือไม่เก่งแล้ว ยังเข้มงวดด้านระเบียบวินัยมากด้วย บรรยากาศการเรียนที่เลวร้ายและไม่สนุกเลยนี้ ทำให้คะแนนเรียนของ Abel และพี่ชายตกต่ำ จนพี่ชายล้มป่วยเป็นโรคซึมเศร้า ประจวบกับในช่วงเวลานั้น ครอบครัว Abel กำลังมีปัญหามากมาย เพราะทั้งบิดาและมารดาเป็นโรคพิษสุราเรื้อรัง เมื่อครอบครัวทำธุรกิจล้มเหลว ความกดดันและความผิดพลาดเหล่านี้ทำให้พี่ชายของ Abel ขอลาออกจากโรงเรียน เพื่อกลับไปอยู่ที่บ้านและไม่กลับไปเรียนต่ออีก ส่วนมารดาเวลาติดเหล้า ได้ละเลยหน้าที่ไม่เลี้ยงดูลูกๆ เลย Read the rest of this entry

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 66 other followers