คลังเก็บบล็อก

การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (Joint Variation)

การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (joint variation) เป็นความสัมพันธ์สิ่งหนึ่งกับอีกหลายสิ่ง บางครั้งเรียก การแปรผันร่วม

บทนิยาม ให้.. x, y_1, y_2, ..., y_n.. แทนปริมาณใด ๆ .. x..แปรผันโดยตรงกับ.. y_1, y_2, ..., y_n..คือ  x\propto(y_1)(y_2) ..., (y_n)..ความสัมพันธ์ที่เกิดนี้เรียกว่า .. x..แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ.. y_1, y_2, ..., y_n..อสังเ

ข้อสังเกต  การแปรผันเกี่ยวเนื่อง ไม่จำเป็นต้องเป็นการแปรผันตรงเท่านั้น อาจเป็นการแปรผกผันก็ได้ เช่น
……. x..แปรผันตรงกับ..y..และ..z..คือ..x\propto yz
……. x..แปรผันตรงกับ..y..และแปรผกผันกับ..z..คือ..x\propto\frac{y}{z}
…..หรือ..x..แปรผันตรงกับ..a..และ..b..แต่แปรผกผันกับ..c..คือ..x\propto\frac{ab}{c}

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x แปรผันตาม y และแปรผกผันกับ z กำหนด x=180 เมื่อ y=200 และ z=4 จงหาค่า x เมื่อ y=200 และ z=15
วิธีทำ…..กำหนดให้x \propto \frac{y}{z}x =\frac{ky}{z}
………. แทนค่า x=180, y=200 และ z=4
……….จะได้ 180 = \frac{k(200)}{4}k = \frac{180(4)}{200} = \frac{18}{5}
……….สมการแสดงการแปรผัน คือ x = \frac{18}{5}\left ( \frac{y}{z} \right )
……. แทนค่า… y=200 และ z=15จะได้x = \frac{18}{5}\left ( \frac{200}{15} \right ) = 48

ตัวอย่างที่ 2 ส่วนหนึ่งของ y แปรผันแบบผกผันกับ x^{2} และอีกส่วนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับ x^{3} โดยที่ y = 3 เมื่อ x = 1 และ y = 1 เมื่อ x = -1 ถ้า x = 3 แล้ว y มีค่าเท่าใด (สมาคม 42)
วิธีทำ…..กำหนดให้ y = a + bโดยที่a \propto \frac{1}{x^2}และb \propto x^3
……. ดังนั้น…..y = \frac{k_1}{x^2}+k_2x^3………………….(1)
……. แทนค่า y = 3 เมื่อ x = 1 …ใน (1)
…………………3 = k_1 + k_2 ………….…………………………….(2)
……. แทนค่า y = 1 เมื่อ x = -1 ใน (1)
…………………1 = k_1 - k_2 …………..……………………………(3)
…….(2) + (3) ….. 2k_1 = 4…..….k_1 = 2
…….แทนค่าk_1 = 2ลงใน (3)  จะได้k_2 = 1
…… แทนค่า k_1 = 2, k_2 = 1..ลงใน (1)จะได้
………………….y = \frac{2}{x^2} + x^3 …………………………(4)
……แทนค่า x = 3  ลงใน (4)y = \frac{2}{(3^2)} + (3^3) = \frac{2}{9} + 27 = 27\frac{2}{9}

ตัวอย่างที่ 3 ค่าใช้จ่ายในการจัดทำวารสารเล่มหนึ่งประกอบด้วยค่าใช้จ่ายส่วนหนึ่งคงที่ และอีกส่วนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับจำนวนเล่มที่พิมพ์ ถ้าพิมพ์ 150 เล่ม จะเสียค่าใช้จ่าย 2,850 บาท  และถ้าพิมพ์ 200 เล่ม จะเสียค่าใช้จ่ายทั้งหมด 3,000 บาท ถ้าต้องการพิมพ์ 300 เล่ม จะต้องขายเล่มละเท่าไร จึงจะได้กำไรเล่มละ 5 บาท (สมาคม 41)
วิธีทำให้ P เป็นค่าใช้จ่ายในการทำวารสาร,…..ฺB เป็นค่าใช้จ่ายส่วนคงที่
…………… C เป็นค่าใช้จ่ายส่วนที่แปรผันตามจำนวนเล่มที่พิมพ์,….. n เป็นจำนวนเล่มที่พิมพ์
…….กำหนดให้ P = B + Cโดยที่C \propto n
……….ดังนั้น…..P = B + kn…….………………………(1)
…..แทนค่า n = 150 เล่ม , P = 2,850 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 2,850 = B + 150k …..…………………..(2)
…..แทนค่า n = 200 เล่ม , P = 3,000 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 3,000 = B + 200k …..…………………..(3)
…….(3) – (2) ….. 150 = 50k…..….k = 3
…..แทนค่า k = 3 ใน (2) จะได้   2,850 = B + 150(3)B = 2,400
….. จะได้ …..P = 2,400 + 3n  …………………………(4)
…..ถ้า n = 300 เล่ม จะได้ P = 2,400 + 3(300) = 3,300 บาท
………ทุนเล่มละ ……3,300 \div 300 = 11บาท
……..  ดังนั้น ต้องขายเล่มละ11+5 = 16บาท

ตัวอย่างที่ 4 ต้นทุนในการผลิตสินค้าแยกได้เป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งคงตัว อีกส่วนหนึ่งแปรผันตามจำนวนสินค้าที่ผลิต ถ้าผลิต 100 ชิ้น จะต้องเสียค่าใช้จ่ยทั้งหมด 18,000 บาท และถ้าผลิต 150 ชิ้น จะเสียค่าใช้จ่ายทั้งหมด 19,500 บาท ถ้าต้องการผลิต 300 ชิ้น จะต้องขายชิ้นละเท่าใด จึงจะได้กำไรร้อยละ 50 ของต้นทุน (สมาคม 57)
วิธีทำ…..ให้ P เป็นต้นทุนในการผลิตสินค้า,…..ฺA เป็นค่าใช้จ่ายส่วนคงที่
…………… B เป็นค่าใช้จ่ายส่วนที่แปรผันตามจำนวนสินค้าที่ผลิต,….. n เป็นจำนวนสินค้าที่ผลิตได้
…….กำหนดให้ P = A + Bโดยที่B \propto n
……….ดังนั้น…..P = A + kn…….………………………(1)
…..แทนค่า n = 100 ชิ้น , P = 18,000 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 18,000 = A + 100k …..…………………..(2)
…..แทนค่า n = 150 ชิ้น , P = 19,500 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 19,500 = A + 150k …..…………………..(3)
…….(3) – (2) ….. 1,500 = 50k…..….k = 30
…..แทนค่า k = 30 ใน (2) จะได้   18,000 = A + 100(30)A = 15,000
….. จะได้ …..P = 15,000 + 30n  …………………………(4)
…..ถ้า n = 300 ชิ้น จะได้ P = 15,000 + 30(300) = 24,000 บาท
………ทุนชิ้นละ ……24,000 \div 300 = 80บาท
……..  ต้องการกำไรชิ้นละ  50%  จะได้ \frac{50}{100}\times 80 = 40 บาท
…….. ดังนั้น ต้องการสินค้าชิ้นละ 80 + 40 = 120 จึงจะได้กำไร 50%

ตัวอย่างที่ 5 กัญญาเปิดร้านขายก๋วยเตี๋ยว โดยขายชามละ 30 บาท ในการขายแต่ละวันมีค่าใช้จ่ายสองส่วน ส่วนแรกคือค่าเช่าสถานที่ซึ่งไม่ขึ้นกับปริมาณก๋วยเตี๋ยวที่ขาย  ส่วนที่สองเป็นต้นทุนวัตถุดิบซึ่งจะแปรผันตรงตามจำนวนก๋วยเตี๋ยวที่ขาย ถ้ากัญญาขายก๋วยเตี๋ยวได้ 50 ชาม จะมีค่าใช้จ่ายทั้งหมด 2,100 บาท และถ้ากัญญาขายก๋วยเตี๋ยวได้ 175 ชาม จะได้กำไร 900 บาท แล้วกัญญาจ่ายค่าเช่าสถานที่ต่อวันเป็นเงินเท่าไร (สมาคม 55)
วิธีทำ…..ให้  Y เป็นค่าใช้จ่าย,..ฺA เป็นค่าเช่า,  B เป็นค่าวัตถุดิบ,….. n เป็นจำนวนชาม
…….กำหนดให้ Y = A + Bโดยที่B \propto n
……….ดังนั้น…..Y = A + kn…….………………………(1)
…..แทนค่า n = 50 ชาม , Y = 2,100 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 2,100 = A + 50k …..…………………..(2)
…..แทนค่า n = 175 ชาม , Y = (30\times 175)-900=4,350 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 4,350 = A + 175k …..…………………..(3)
…….(3) – (2) ….. 2,250 = 125k…..….k = 18
…..แทนค่า k = 18 ใน (2) จะได้   2,100 = A + 50(18)A = 1,200 บาท

ตัวอย่างที่ 6 ให้ y เท่ากับผลบวกของสองจำนวนโดยจำนวนแรกแปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และ v^2 และจำนวนที่สองแปรผันแบบผกผันกับรากที่สองของ v ถ้า y = 8 เมื่อ x = v = 1 และ y = 12 เมื่อ x = 1.5 และ v = 4 แล้วค่าของ y เมื่อ x = 4 และ v = 0.25 มีค่าเท่าใด (สมาคม 54)
วิธีทำ…..กำหนดให้ y = A + Bโดยที่A \propto xv^2และ B \propto \frac{1}{\sqrt{x}}
………….y = k_1xv^2+\frac{k_2}{\sqrt{x}}
………….8 = k_1 + k_2…..…………..(1)
………….12 = 24k_1 + \frac{k_2}{2}…..…………(2)
…….แก้ระบบสมการได้k_1 = \frac{16}{47}\rightarrow k_2 = \frac{360}{47}
……..จะได้สมการแปรผัน คือ y = \frac{16}{47}xv^2 + \frac{360}{47}\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )
………แทนค่าx = 4, v = 0.25 = \frac{1}{4}จะได้y = \frac{724}{47} = 15\frac{19}{47} = 15.40

…….จากตัวอย่างที่นำเสนอข้างต้น อ่านแล้วเป็นอย่างไรบ้างครับ พอจะเห็นแนวทางวิธีการคำนวณเกี่ยวกับการแปรผันเกี่ยวเนื่องกันไหมเอ่ย ถ้ามีความคิดเห็นประการใดหรือสงสัย จะสอบถามเพิ่มเติม ลอง “ใส่ความเห็น” ในช่องด้านล่างดูครับ และอ่านในหนังสือเรียนเพิ่มเติมอีกนะครับ เพื่อให้มีความแม่นยำและเป็นการฝึกมือที่หลากหลายยิ่ง ๆ ขึ้นไป

การแปรผกผัน (Inverse Variation)

…….การแปรผกผัน (Inverse variation) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างของสองสิ่งหรือปริมาณสองปริมาณ เมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอีกสิ่งหนึ่งลดลงอย่างเป็นสัดส่วนกัน หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลดลงอีกสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอย่างเป็นสัดส่วนกัน เช่น การทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าคนมากงานจะเสร็จเร็ว แต่คนน้อยงานจะเสร็จช้า เรียกว่า การแปรกลับกัน หรือ การแปรผกผัน หรือ สัดส่วนผกผัน

บทนิยาม กำหนดให้  x และ y  แทนปริมาณใด ๆ y แปรผกผันกับ x ใช้สัญลักษณ์ y\propto \frac{1}{x}.. เขียนในรูปสมการเป็น y=\frac{k}{x} ..เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ k\not=0

ข้อสังเกต  การแปรผันแบบผกผันไม่มีสมบัติการสมมาตร นั่นคือ ถ้า y\propto \frac{1}{x} แล้วไม่จำเป็นที่ x\propto \frac{1}{y}

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x แปรผกผันกับ y และ x=-3 เมื่อ y=2  ค่าของ x เท่ากับเท่าใดเมื่อ y=-1
วิธีทำ   จากโจทย์ x\propto \frac{1}{y} จะได้ x=\frac{k}{y}
…………แทนค่า x=-3 เมื่อ y=2 ใน  x=\frac{k}{y}
………….จะได้ -3=\frac{k}{2}  →  k=-6
…………..แทนค่า y=-1 ใน  x=\frac{-6}{y}
……………จะได้   x=\frac{-6}{-1} = 6 ……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า x+1 แปรผกผันกับ y-2 และ x=4 เมื่อ y=8  ค่าของ y เท่ากับเท่าใดเมื่อ x=2
วิธีทำ จากโจทย์ x+1\propto \frac{1}{y-2} จะได้ x+1 =\frac{k}{y-2}
………แทนค่า  x=4 เมื่อ y=8  ในสมการ x+1 =\frac{k}{y-2}
………จะได้  4+1 =\frac{k}{8-2}  →  k = 30
………จะได้สมการ x+1 =\frac{30}{y-2}
……….หาค่า y เมื่อ x=2 จาก 2+1 =\frac{30}{y-2}
…………………..y-2 =\frac{30}{3}  →  y = 12
……. \therefore y มีค่าเท่ากับ 12  .. เมื่อ x=2 ………ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 การประกอบรถยนต์ 1 คัน ใช้คนทำอยู่ 5 คน ถ้าเพิ่มคนงานขึ้นอีก 1 คน งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 ชั่วโมง ถ้าเวลาที่ทำงานนี้แปรผกผันกับจำนวนคนงาน ถ้าต้องการให้งานเสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง ต้องเพิ่มคนงานอีกกี่คน
วิธีทำ  กำหนดให้  H = จำนวนชั่วโมงที่ทำงานเสร็จN = จำนวนคนงาน
……….จากโจทย์  H\propto \frac{1}{N}  จะได้  H =\frac{k}{N}
………ถ้า  N=5 จะได้  H =\frac{k}{5}
………ถ้า  N=6 งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 ชั่วโมง
…..\therefore ..จะได้ว่า H-8 =\frac{k}{6}
………แก้สมการโดยการแทนค่า.. H =\frac{k}{5} ได้เป็น \frac{k}{5}-8=\frac{k}{6}
………………….. \frac{k}{5}-\frac{k}{6}=8
………………….. \frac{k}{30}=8 k = 240
……..แทนค่า k ใน H =\frac{k}{5}  ได้  H =\frac{240}{5} = 48
…….นั่นคือ ถ้าใช้คน 5 คน จะแล้วเสร็จใน 48  ชั่วโมง
……………..ถ้างานนี้เสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง คือเสร็จใน 48 – 28 = 20 ชั่วโมง
…….จาก  H =\frac{24o}{N}
…….แทนค่า 20 =\frac{240}{N} N =\frac{240}{20} = 12
…….ถ้าต้องการให้เสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง ต้องใช้คน 12 คน
……. \therefore จะเพิ่มคนอีก 12-5 = 7 ..คน…………….ตอบ

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า y แปรผกผันกับ x+\sqrt{x} และ y=1 เมื่อ x=2  ค่าของ x เป็นเท่าไร เมื่อ y=\frac{1}{2-\sqrt{2}}
วิธีทำ …..y \propto \frac{1}{x+\sqrt{x}}y = \frac{k}{x+\sqrt{x}}
…………..จะได้k = (x+\sqrt{x})y
…………..แทนค่าy=1, x = 2
…………\therefore k = (2+\sqrt{2})1 = 2+\sqrt{2}
………ดังนั้น สมการนี้คือ y = \frac{2+\sqrt{2}}{x+\sqrt{x}}
……. แทนค่า y = \frac{1}{2-\sqrt{2}}จะได้\frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{x+\sqrt{x}}
…….คูณไขว้ จะได้ {x+\sqrt{x}} = (2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 4-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2
……………..{x+\sqrt{x}} = 2
….. แสดงว่า x = 1จึงจะทำให้สมการเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 5 บริษัทตกแต่งภายในให้คนงาน 20 คน ตกแต่งภายในอาคารหลังหนึ่ง คนงานทั้งหมดช่วยกันตกแต่งภายในอาคารไปได้ครึ่งหนึ่งใช้เวลา 18 วัน ถ้ากำหนดให้เวลาทำงาน แล้วเสร็จแปรผกผันกับจำนวนคนงาน จงหาว่าบริษัทรับตกแต่งภายในจะต้องเพิ่มคนงานอีกกี่คนจึงจะทำให้งานที่เหลือเสร็จใน 12 วัน
วิธีทำให้tแทน ระยะเวลาที่ทำงาน,Nแทน จำนวนคนงาน
……. กำหนดให้ t \propto \frac{1}{N}จะได้t = \frac{k}{N}
……. เมื่อ t = 18 และ N = 20หาค่าk
…… แทนค่า18 = \frac{k}{20}k = 18\times 20 = 360
….. จะได้สมการแปรผกผัน คือ t = \frac{360}{N}
….. ถ้าบริษัทต้องการเพิ่มคนงานทำงานที่เหลือให้เสร็จในเวลา 12 วัน นั่นคือ t = 12หาค่าN
….. แทนค่า 12 = \frac{360}{N}  ⇒N = \frac{360}{12} = 30
….. ดังนั้น บริษัทรับตกแต่งภายในต้องเพิ่มคนงานอีก 30 - 20 = 10 คน

ตัวอย่างที่ 6 ความถี่ของคลื่นวิทยุแปรผกผันกับความยาวคลื่น ถ้าความถี่เป็น 450 กิโลเฮิรตซ์ ความยาวคลื่นเป็น 980 เมตร ต้องการลดความยาวคลื่นลง 80 เมตร จะใช้ความถี่กี่กิโลเฮิรตซ์

ตัวอย่างที่ 7 เมื่อสมปองอยู่ห่างจากเครื่องกระจายเสียงเครื่องหนึ่งเป็นระยะ 10 เมตร สมปองวัดความเข้มเสียงได้ 0.016 วัตต์ต่อตารางเมตร ถ้าความเข้มเสียงแปรผกผันกับกำลังสองของระยะที่คนฟังอยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดเสียง จงหาว่า
1) ถ้าสมปองอยู่ห่างจากเครื่องกระจายเสียง 15 เมตร จะวัดความเข้มเสียงได้เป็นเท่าใด
2) ถ้าสมปองวัดความเข้มเสียงได้เป็น 0.4 วัตต์ต่อตารางเมตร เขาอยู่ห่างเครื่องกระจายเสียงเท่าใด

Example 8. The resistance R of a copper wire of a constant length varies inversly as the square of its diameter d. If the resistance of a wire 2.5 mm in diameter is 20 ohms, find the resistance of a wire with diameter 2 mm.

Example 9. When a space satellite orbits the earth, the force F attracting it towards the earth is inversly proportional to the square of its distance R from the earth. Express F in terms of R and the constant of variation k. Hence calculate
….. a) the value of k if F = 50 when R = 32
….. b) the value of R if F = 512

การแปรผันตรง (Direct Variation)

…..การแปรผัน (variation) คือ ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณหรือมากกว่านั้น เมื่อปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงไป อีกปริมาณหนึ่งจะเปลี่ยนตามไปด้วย อย่างได้สัดส่วนกัน สามารถแบ่งการแปรผันออกเป็น 3 ชนิด คือ
….. 1. การแปรผันตรง (direct variation)
….. 2. การแปรผกผัน (inverse variation)
….. 3. การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (joint variation)

…..การแก้ปัญหาโจทย์การแปรผัน
…..1. พิจารณาว่ามีสิ่งที่เกี่ยวข้องกันอยู่กี่สิ่ง กำหนดตัวแปร เท่ากับจำนวนสิ่งที่เกี่ยวข้องกันตามโจทย์ และเขียนหน่วย
…..2. สร้างสมการแปรผัน แล้วเปลี่ยนเป็นสมการที่มีค่าคงตัว (นิยมใช้ค่า k)
…..3. แทนค่าตัวแปร เพื่อแก้สมการหาค่า k
…..4. เขียนสมการโดยแทนค่า k แล้วหาค่าที่โจทย์ถาม

การแปรผันตรง

…..การแปรผันตรง (direct variation) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างของสองสิ่งหรือปริมาณสองปริมาณ เมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มอีกสิ่งหนึ่งก็เพิ่มขึ้นตามไปด้วยอย่างเป็นสัดส่วนกัน หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลดอีกสิ่งหนึ่งก็ลดลงตามไปด้วยอย่างเป็นสัดส่วนกัน เรียกว่า การแปรผันตามกัน หรือ การแปรผันตรง หรือ เป็นสัดส่วนโดยตรง

บทนิยาม กำหนดให้ x  และ y  แทนปริมาณใด ๆ y  แปรผันตรงกับ x  ใช้สัญลักษณ์ y\propto x เขียนในรูปสมการเป็น y=kx เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ k\not=0 เรียก k  ว่า ค่าคงตัวแห่งการแปรผัน (variation constant)

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า y แปรผันโดยตรงกับ x กำหนด y=4 เมื่อ x=3  จงหาค่า y เมื่อ x=21
วิธีทำ   จาก y\propto x จะได้ y=kx (เมื่อ k เป็นค่าคงตัว)
…………แทนค่า y=4 เมื่อ x=3 ใน  y=kx  จะได้
…………….4=k(3)  →  k=\frac{4}{3}
…………….จะได้  y=\frac{4}{3}x
……………แทนค่า x=21 จะได้   y=\frac{4}{3}\times 21 = 28 ……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า x แปรผันตามกำลังสองของ y และ x=72 เมื่อ y=3  จงหาค่าคงตัวของการแปรผัน และค่าของ y เมื่อ x=288
วิธีทำ  x แปรผันตามกำลังสองของ y คือ x\propto y^2
…….จะได้ x=ky^2  (เมื่อ k เป็นค่าคงตัว)
…….แทนค่า  x=72 เมื่อ y=3   ใน x=ky^2
……..จะได้  72 = k(9)  → k=8
…….ดังนั้น จะได้สมการเป็น x=8y^2
…….ถ้า x=288 ค่า y คือ    288=8y^2
……………..  y^2 = \frac{288}{8} = 36
……………… y=\pm 6……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ a+b \propto 2a-5b ถ้า b = 32 เมื่่อ a = 20 แล้ว  a มีค่าเป็นเท่าใด เมื่อ b = 40
วิธีทำจาก a+b \propto 2a-5b  จะได้  a+b = k(2a-5b)
…………แทนค่า  a = 20 และ b = 32
………… จะได้ …..20+32 = k [2(20)-5(30)]
…………………….. k = \frac{52}{-120} = -\frac{13}{30}
…………ดังนั้น จะได้สมการเป็น a+b = -\frac{13}{30}(2a-5b)
………..ถ้า b = 40 จะได้ a+40= -\frac{13}{30}(2a-200)
…………………….1200 + 30a = -26a + 2600
………………………………56a = 1400
…………………………….a = \frac{1400}{56} = 25………ตอบ

ตัวอย่างที่ 4  ถ้าอัตราการหมุนของกังหันลมแปรผันตามกำลังสองของอัตราเร็วของกระแสลม ในขณะที่อัตราเร็วของกระแสลมเท่ากับ 20 กิโลเมตรต่อชั่วโมง สังเกตได้ว่ากังหันหมุน 5 รอบต่อนาที ถ้าในขณะหนึ่งสังเกตเห็นกังหันหมุน 600 รอบต่อชั่วโมง ความเร็วลมในขณะนั้นเป็นเท่าใด
วิธีทำให้ M แทนอัตราการหมุนของกังหันลม (รอบ/นาที)และvอัตราเร็วของกระแสลม (กม./ชม.)
…………….จะได้M \propto v^2  …. → M = kv^2
…………….แทนค่า M = 5 เมื่่อ v = 20
…………….จะได้……5 = k(20)^2
……………………….. k = \frac{5}{400} = \frac{1}{80}
………….เขียนสมการได้เป็น ……M = \frac{1}{80}v^2
…………แทนค่า .M = 600 รอบต่อชั่วโมง คิดเป็น M = \frac{600}{60} = 10 รอบต่อนาที ลงในสมการ
……………จะได้เป็น…..10 = \frac{1}{80}v^2…..v^2 = 800
…………………. v = \sqrt{800} = \sqrt{400\times 2} = 20\sqrt{2}  กิโลเมตรต่อชั่วโมง ………ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 ความยาวของก้านลูกตุ้มนาฬิกา แปรผันตามกำลังสองของเวลาแกว่งครบรอบ ถ้าก้านลูกตุ้มนาฬิกายาว 99.2 เซนติเมตร จะแกว่งครบรอบใน 2 วินาที ก้านของลูกตุ้มต้องยาวกี่เซนติเมตร จึงจะแกว่งได้นาทีละ 24 รอบ
วิธีทำ กำหนดให้  L เป็นความยาวของก้านลูกตุ้มนาฬิกา หน่วยเป็น เซนติเมตร
……………..   t เป็นเวลาแกว่งครบรอบของลูกตุ้ม หน่วยเป็น วินาที
…….. จากโจทย์  L แปรผันตามกำลังสองของ t คือ L\propto t^2
…….จะได้ L=kt^2  (เมื่อ k เป็นค่าคงตัว)
…….แทนค่า  L=99.2 เมื่อ t=2   ใน L=kt^2
……..จะได้  99.2 = k(2)^2  → k=\frac{99.2}{4} = 24.8
…….ดังนั้น จะได้สมการเป็น L=24.8t^2
……. ลูกตุ้มนาฬิกาแกว่งได้นาทีละ 24 รอบ หมายถึง 24 รอบ ในเวลา 60 วินาที
…….ถ้า 1 รอบ ในเวลา \frac{60}{24} = \frac{5}{2} นาที
…….ถ้า t = \frac{5}{2} ..จะได้..L = 24.8(\frac{5}{2})^2
………………….L=\frac{25}{4}\times 24.8 = 155
……. \therefore ก้านของลูกตุ้มนาฬิกายาว..155.. เซนติเมตร ……….ตอบ

เป็นอย่างไรบ้างครับมีความรู้ ความใจเกี่ยวกับกับการแปรผันตรงมากขึ้นไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองคลิกเข้าไปดูคลิปวิดีโออีกครั้งครับ

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 68 other followers