คลังเก็บบล็อก

การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (Joint Variation)

การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (joint variation) เป็นความสัมพันธ์สิ่งหนึ่งกับอีกหลายสิ่ง บางครั้งเรียก การแปรผันร่วม

บทนิยาม ให้.. x, y_1, y_2, ..., y_n.. แทนปริมาณใด ๆ .. x..แปรผันโดยตรงกับ.. y_1, y_2, ..., y_n..คือ  x\propto(y_1)(y_2) ..., (y_n)..ความสัมพันธ์ที่เกิดนี้เรียกว่า .. x..แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ.. y_1, y_2, ..., y_n..อสังเ

ข้อสังเกต  การแปรผันเกี่ยวเนื่อง ไม่จำเป็นต้องเป็นการแปรผันตรงเท่านั้น อาจเป็นการแปรผกผันก็ได้ เช่น
……. x..แปรผันตรงกับ..y..และ..z..คือ..x\propto yz
……. x..แปรผันตรงกับ..y..และแปรผกผันกับ..z..คือ..x\propto\frac{y}{z}
…..หรือ..x..แปรผันตรงกับ..a..และ..b..แต่แปรผกผันกับ..c..คือ..x\propto\frac{ab}{c}

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x แปรผันตาม y และแปรผกผันกับ z กำหนด x=180 เมื่อ y=200 และ z=4 จงหาค่า x เมื่อ y=200 และ z=15
วิธีทำ…..กำหนดให้x \propto \frac{y}{z}x =\frac{ky}{z}
………. แทนค่า x=180, y=200 และ z=4
……….จะได้ 180 = \frac{k(200)}{4}k = \frac{180(4)}{200} = \frac{18}{5}
……….สมการแสดงการแปรผัน คือ x = \frac{18}{5}\left ( \frac{y}{z} \right )
……. แทนค่า… y=200 และ z=15จะได้x = \frac{18}{5}\left ( \frac{200}{15} \right ) = 48

ตัวอย่างที่ 2 ส่วนหนึ่งของ y แปรผันแบบผกผันกับ x^{2} และอีกส่วนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับ x^{3} โดยที่ y = 3 เมื่อ x = 1 และ y = 1 เมื่อ x = -1 ถ้า x = 3 แล้ว y มีค่าเท่าใด (สมาคม 42)
วิธีทำ…..กำหนดให้ y = a + bโดยที่a \propto \frac{1}{x^2}และb \propto x^3
……. ดังนั้น…..y = \frac{k_1}{x^2}+k_2x^3………………….(1)
……. แทนค่า y = 3 เมื่อ x = 1 …ใน (1)
…………………3 = k_1 + k_2 ………….…………………………….(2)
……. แทนค่า y = 1 เมื่อ x = -1 ใน (1)
…………………1 = k_1 - k_2 …………..……………………………(3)
…….(2) + (3) ….. 2k_1 = 4…..….k_1 = 2
…….แทนค่าk_1 = 2ลงใน (3)  จะได้k_2 = 1
…… แทนค่า k_1 = 2, k_2 = 1..ลงใน (1)จะได้
………………….y = \frac{2}{x^2} + x^3 …………………………(4)
……แทนค่า x = 3  ลงใน (4)y = \frac{2}{(3^2)} + (3^3) = \frac{2}{9} + 27 = 27\frac{2}{9}

ตัวอย่างที่ 3 ค่าใช้จ่ายในการจัดทำวารสารเล่มหนึ่งประกอบด้วยค่าใช้จ่ายส่วนหนึ่งคงที่ และอีกส่วนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับจำนวนเล่มที่พิมพ์ ถ้าพิมพ์ 150 เล่ม จะเสียค่าใช้จ่าย 2,850 บาท  และถ้าพิมพ์ 200 เล่ม จะเสียค่าใช้จ่ายทั้งหมด 3,000 บาท ถ้าต้องการพิมพ์ 300 เล่ม จะต้องขายเล่มละเท่าไร จึงจะได้กำไรเล่มละ 5 บาท (สมาคม 41)
วิธีทำให้ P เป็นค่าใช้จ่ายในการทำวารสาร,…..ฺB เป็นค่าใช้จ่ายส่วนคงที่
…………… C เป็นค่าใช้จ่ายส่วนที่แปรผันตามจำนวนเล่มที่พิมพ์,….. n เป็นจำนวนเล่มที่พิมพ์
…….กำหนดให้ P = B + Cโดยที่C \propto n
……….ดังนั้น…..P = B + kn…….………………………(1)
…..แทนค่า n = 150 เล่ม , P = 2,850 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 2,850 = B + 150k …..…………………..(2)
…..แทนค่า n = 200 เล่ม , P = 3,000 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 3,000 = B + 200k …..…………………..(3)
…….(3) – (2) ….. 150 = 50k…..….k = 3
…..แทนค่า k = 3 ใน (2) จะได้   2,850 = B + 150(3)B = 2,400
….. จะได้ …..P = 2,400 + 3n  …………………………(4)
…..ถ้า n = 300 เล่ม จะได้ P = 2,400 + 3(300) = 3,300 บาท
………ทุนเล่มละ ……3,300 \div 300 = 11บาท
……..  ดังนั้น ต้องขายเล่มละ11+5 = 16บาท

ตัวอย่างที่ 4 ต้นทุนในการผลิตสินค้าแยกได้เป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งคงตัว อีกส่วนหนึ่งแปรผันตามจำนวนสินค้าที่ผลิต ถ้าผลิต 100 ชิ้น จะต้องเสียค่าใช้จ่ยทั้งหมด 18,000 บาท และถ้าผลิต 150 ชิ้น จะเสียค่าใช้จ่ายทั้งหมด 19,500 บาท ถ้าต้องการผลิต 300 ชิ้น จะต้องขายชิ้นละเท่าใด จึงจะได้กำไรร้อยละ 50 ของต้นทุน (สมาคม 57)
วิธีทำ…..ให้ P เป็นต้นทุนในการผลิตสินค้า,…..ฺA เป็นค่าใช้จ่ายส่วนคงที่
…………… B เป็นค่าใช้จ่ายส่วนที่แปรผันตามจำนวนสินค้าที่ผลิต,….. n เป็นจำนวนสินค้าที่ผลิตได้
…….กำหนดให้ P = A + Bโดยที่B \propto n
……….ดังนั้น…..P = A + kn…….………………………(1)
…..แทนค่า n = 100 ชิ้น , P = 18,000 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 18,000 = A + 100k …..…………………..(2)
…..แทนค่า n = 150 ชิ้น , P = 19,500 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 19,500 = A + 150k …..…………………..(3)
…….(3) – (2) ….. 1,500 = 50k…..….k = 30
…..แทนค่า k = 30 ใน (2) จะได้   18,000 = A + 100(30)A = 15,000
….. จะได้ …..P = 15,000 + 30n  …………………………(4)
…..ถ้า n = 300 ชิ้น จะได้ P = 15,000 + 30(300) = 24,000 บาท
………ทุนชิ้นละ ……24,000 \div 300 = 80บาท
……..  ต้องการกำไรชิ้นละ  50%  จะได้ \frac{50}{100}\times 80 = 40 บาท
…….. ดังนั้น ต้องการสินค้าชิ้นละ 80 + 40 = 120 จึงจะได้กำไร 50%

ตัวอย่างที่ 5 กัญญาเปิดร้านขายก๋วยเตี๋ยว โดยขายชามละ 30 บาท ในการขายแต่ละวันมีค่าใช้จ่ายสองส่วน ส่วนแรกคือค่าเช่าสถานที่ซึ่งไม่ขึ้นกับปริมาณก๋วยเตี๋ยวที่ขาย  ส่วนที่สองเป็นต้นทุนวัตถุดิบซึ่งจะแปรผันตรงตามจำนวนก๋วยเตี๋ยวที่ขาย ถ้ากัญญาขายก๋วยเตี๋ยวได้ 50 ชาม จะมีค่าใช้จ่ายทั้งหมด 2,100 บาท และถ้ากัญญาขายก๋วยเตี๋ยวได้ 175 ชาม จะได้กำไร 900 บาท แล้วกัญญาจ่ายค่าเช่าสถานที่ต่อวันเป็นเงินเท่าไร (สมาคม 55)
วิธีทำ…..ให้  Y เป็นค่าใช้จ่าย,..ฺA เป็นค่าเช่า,  B เป็นค่าวัตถุดิบ,….. n เป็นจำนวนชาม
…….กำหนดให้ Y = A + Bโดยที่B \propto n
……….ดังนั้น…..Y = A + kn…….………………………(1)
…..แทนค่า n = 50 ชาม , Y = 2,100 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 2,100 = A + 50k …..…………………..(2)
…..แทนค่า n = 175 ชาม , Y = (30\times 175)-900=4,350 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 4,350 = A + 175k …..…………………..(3)
…….(3) – (2) ….. 2,250 = 125k…..….k = 18
…..แทนค่า k = 18 ใน (2) จะได้   2,100 = A + 50(18)A = 1,200 บาท

ตัวอย่างที่ 6 ให้ y เท่ากับผลบวกของสองจำนวนโดยจำนวนแรกแปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และ v^2 และจำนวนที่สองแปรผันแบบผกผันกับรากที่สองของ v ถ้า y = 8 เมื่อ x = v = 1 และ y = 12 เมื่อ x = 1.5 และ v = 4 แล้วค่าของ y เมื่อ x = 4 และ v = 0.25 มีค่าเท่าใด (สมาคม 54)
วิธีทำ…..กำหนดให้ y = A + Bโดยที่A \propto xv^2และ B \propto \frac{1}{\sqrt{x}}
………….y = k_1xv^2+\frac{k_2}{\sqrt{x}}
………….8 = k_1 + k_2…..…………..(1)
………….12 = 24k_1 + \frac{k_2}{2}…..…………(2)
…….แก้ระบบสมการได้k_1 = \frac{16}{47}\rightarrow k_2 = \frac{360}{47}
……..จะได้สมการแปรผัน คือ y = \frac{16}{47}xv^2 + \frac{360}{47}\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )
………แทนค่าx = 4, v = 0.25 = \frac{1}{4}จะได้y = \frac{724}{47} = 15\frac{19}{47} = 15.40

…….จากตัวอย่างที่นำเสนอข้างต้น อ่านแล้วเป็นอย่างไรบ้างครับ พอจะเห็นแนวทางวิธีการคำนวณเกี่ยวกับการแปรผันเกี่ยวเนื่องกันไหมเอ่ย ถ้ามีความคิดเห็นประการใดหรือสงสัย จะสอบถามเพิ่มเติม ลอง “ใส่ความเห็น” ในช่องด้านล่างดูครับ และอ่านในหนังสือเรียนเพิ่มเติมอีกนะครับ เพื่อให้มีความแม่นยำและเป็นการฝึกมือที่หลากหลายยิ่ง ๆ ขึ้นไป