คลังเก็บบล็อก

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีใช้สูตร

…….การหาคำตอบของสมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไป ax^2+bx+c = 0 สามารถทำได้โดย 1) แยกตัวประกอบ 2) แก้โดยทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แต่ในบางครั้งถ้าเราต้องการความรวดเร็วและสะดวก อาจจะใช้สูตรสำเร็จ (formula) เข้าช่วย ซึ่งได้มาจากการใช้ความรู้เกี่ยวกับกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างของกำลังสอง ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ ดังนี้
………………….ax^2+bx+c = 0
…….หารด้วย a ;……..x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
…………….x^2+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
…………………….(x+\frac{b}{2a})^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}
………………………..x+\frac{b}{2a}= \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
.
……………………………..x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}…………. จำสูตรนี้ให้ได้นะครับ !!! 

คำตอบที่ได้มี 2 คำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac > 0
………………มี 1 คำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac = 0
……………..ไม่มีคำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac < 0

……..ถ้ากำหนด \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} และ \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} เท่ากับ \alpha และ \beta ตามลำดับ และเรียก \alpha และ \beta เป็น รากของสมการ (roots of equations) จะได้ว่า
……. ผลบวกของราก \alpha +\beta = -\frac{b}{a}
……. ผลคูณของราก \alpha\beta = \frac{c}{a}

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 2x^2-3x-4 = 0
วิธีทำ……………..a = 2, b = -3, c= -4
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-4)}}{2\cdot 2}
……………………….= \frac{3\pm \sqrt{9+32}}{4}
………………………= \frac{3\pm \sqrt{41}}{4}
…………..ดังนั้น…..x = \frac{3+ \sqrt{41}}{4}, \frac{3- \sqrt{41}}{4}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 9x^2-30x+25 = 0
วิธีทำ……………..a = 9, b = -30, c= 25
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-(-30)\pm \sqrt{(-30)^2-4\cdot 9\cdot 25}}{2\cdot 9}
……………………….= \frac{30\pm \sqrt{900-900}}{18}
………………………= \frac{30}{18} = \frac{5}{3}
…………..ดังนั้น…..x = \frac{5}{3}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+4x+13 = 0
วิธีทำ……………..a = 1, b = 4, c= 13
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 13}}{2\cdot 1}
……………………….= \frac{-4\pm \sqrt{16-52}}{2}
………………………= \frac{4\pm \sqrt{-36}}{2}
………….เนื่องจาก ..b^2-4ac < 0ดังนั้น ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

ตัวอย่างที่ 4 กำหนด 2x^2-7x+4 = 0 จงหาผลบวกของค่า x และผลคูณของค่า x
วิธีทำ……..a = 2, b=-7, c=4
…………….ผลบวกของค่าx = -\frac{b}{a} = \frac{7}{2}
……………ของคูณของค่าx = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่า k ซึ่งจะทำให้สมการ 2x^2-7x+3k = 0 มีรากทั้งสองมีค่าเท่ากัน
วิธีทำ…….ax^2+bx+c = 0 มีรากทั้งสองเท่ากัน เมื่อ b^2-4ac = 0
……………2x^2-7x+3k = 0มีรากทั้งสองเท่ากัน
……………………จะได้ …..(-7)^2-4(2)(3k) = 0
……………………………….49-24k = 0
…………………………………x = \frac{49}{24}

ตัวอย่างที่ 6 ถ้า \alpha และ \beta เป็นรากของสมการ 2x^2+5x+1 = 0 จงหาค่าของ (\alpha -2)(\beta -2)
วิธีทำ…….2x^2+5x+1 = 0มีรากเท่ากับ ..\alpha และ \beta
………….ดังนั้น\alpha +\beta = -\frac{5}{2}และ\alpha\beta = \frac{1}{2}
……….(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha \beta -2\alpha -2\beta +4
……….(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha \beta -2\alpha -2\beta +4
…………………………..= \frac{1}{2}-2(-\frac{5}{2})+4
…………………………..= \frac{1}{2}+5+4
…………………………..= 9\frac{1}{2}

ตัวอย่างที่ 7 ถ้า  r_{1} และ r_{2}  เป็นรากของสมการ 6x^2-7x-3 = 0 แล้ว  ค่า k ที่ทำให้  \frac{1}{r_{1}} และ   \frac{1}{r_{2}}  เป็นรากของสมการ  x^2+kx-2 = 0 เป็นเท่าใด
วิธีทำ……จากสมการ6x^2-7x-3 = 0
…………จะได้…….(3x+1)(2x-3) = 0
…………………………..x = \frac{3}{2}, -\frac{1}{3}
……ดังนั้นr_{1} และ r_{2}  คือ \frac{2}{3}, -3  เป็นรากของ x^2+kx-2 = 0
……….จะได้…..(3x-2)(x+3) = 0
……………………3x^2+7x-6 = 0
……นำ..3..หารตลอดx^2+\frac{7}{3}x-2 = 0
………………ดังนั้น…..k = \frac{7}{3}

ลองศึกษาคลิปวิดีโอจาก YouTube อีกครั้งนะครับ เพื่อให้เกิดความเข้าใจยิ่งขึ้น หากมีความสงสัยหรือต้องการซักถามเพิ่มเติม ฝากคำถามไว้เลยนะครับ หรือทางข้อความผ่าน Facebook @ krupraiwan ตามลิงค์เลยนะครับ

Advertisements

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์

…….ในครวที่แล้วได้กล่าวถึง  การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ ซึ่งหาได้จากพหุนามที่เราแยกตัวประกอบได้ แต่ในการหาคำตอบของสมการ ax^2+bx+c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว  และ a \neq 0 นั้น ในบางครั้งไม่สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม  ax^2+bx+c  ได้โดยง่ายดังเช่นที่ผ่านมา ในกรณีเช่นนี้เราอาจใช้ความรู้ในเรื่องกำลังสองสมบูรณ์ มาช่วยในการแก้สมการนี้
…….หลักการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
…….1. ทำสัมประสิทธิ์ของ ..x^2 ..ให้เป็น.. 1..ก่อน
…….2. จัดให้พจน์อิสระ คือพจน์ที่ไม่มี x อยู่ทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ
…….3. ให้บวกด้วยกำลังสองของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ
…….4. ทางด้านซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับให้เขียนเป็นรูปสองพจน์ยกกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ x^2-6x-1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-6x…..= 1
……………………..x^2-6x+3^2 = 1+9
…………………………..(x-3)^2 = 10
………………………………x-3 = \pm \sqrt{10}
……………………………………x = 3 \pm \sqrt{10}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ x^2-5x+2 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-5x…..= -2
………………….x^2-5x+(\frac{5}{2})^2 = -2+\frac{25}{4}
………………………….(x-\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}
……………………………..x-\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}
…………………………………..x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+x+1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2+x…..= -1
………………….x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = -1 +\frac{1}{4}
…………………………(x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4}
…….เนื่องจาก (x+\frac{1}{2})^2 \geq 0 สำหรับทุกค่าของ x
…….แสดงว่าไม่มีค่า x ที่ทำให้สมการ (x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4} เป็นจริง
……………….นั่นคือ สมการ x^2+x+1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ 3x^2-7x-1 = 0
วิธีทำ…..นำ 3 หารตลอด แล้วย้ายข้าง จัดรูปสมการ จะได้
………………….x^2-\frac{7}{3}x…..= \frac{1}{3}
……………x^2-\frac{7}{3}x+(\frac{7}{6})^2 = \frac{1}{3}+\frac{49}{36}
……………………(x-\frac{7}{6})^2 = \frac{12+49}{36}=\frac{61}{36}
………………………..x-\frac{7}{6} = \pm \frac{\sqrt{61}}{6}
……………………………..x = \frac{7\pm \sqrt{61}}{6}

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า  \frac{1+\sqrt{13}}{2}   และ  \frac{1-\sqrt{13}}{2}   เป็นรากของสมการ  ax^2-x+c = 0  เมื่อ    a \neq 0   แล้ว a^2+c^2    มีค่าเท่าใด
วิธีทำใช้กระบวนการคิดย้อนกลับ จากx = \frac{1\pm \sqrt{13}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2}
…………..จะได้เป็น………(x- \frac{1}{2})^2 = \frac{13}{4}
…………………………..x^2-x+\frac{1}{4} = \frac{13}{4}
………………………….x^2-x-3 = 0
…………..เทียบ ส.ป.ส. จะได้a=1, c=-3
………ดังนั้นa^2+c^2 = 1^2+(-3)^2 = 10

ตัวอย่างที่ 6 ถ้าผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนเรียงกันเท่ากับ  462   แล้วผลบวกของจำนวนทั้งสองนี้มีค่าเท่าไร
วิธีทำ…….ให้จำนวนที่เรียงกันสองจำนวนเป็น  x และ x+1
……………….จะได้………x(x+1) = 462
………………………x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = 462+\frac{1}{4}
……………………………..(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{1848+1}{4} = \frac{1849}{4}
…………………………………x+\frac{1}{2} = \pm \frac{43}{2}
……………………………………….x = \frac{-1\pm 43}{2} = \frac{42}{2}, -\frac{44}{2}
……………………………………….x = 21, -22
……………………………………….x = 21
……………ดังนั้น ผลบวกของจำนวนทั้งสอง เป็น 21+22 = 43

หลังจากดูตัวอย่างแล้วเป็นยังไงบ้างครับ เกี่ยวกับการแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์พอจะเข้ากันกันบ้างไหมเอ่ย เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น งั้นไปลองดูคลิปกันเลยครับ