Category Archives: คณิตเพิ่มเติม ม.2

การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (Joint Variation)

การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (joint variation) เป็นความสัมพันธ์สิ่งหนึ่งกับอีกหลายสิ่ง บางครั้งเรียก การแปรผันร่วม

บทนิยาม ให้.. x, y_1, y_2, ..., y_n.. แทนปริมาณใด ๆ .. x..แปรผันโดยตรงกับ.. y_1, y_2, ..., y_n..คือ  x\propto(y_1)(y_2) ..., (y_n)..ความสัมพันธ์ที่เกิดนี้เรียกว่า .. x..แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ.. y_1, y_2, ..., y_n..อสังเ

ข้อสังเกต  การแปรผันเกี่ยวเนื่อง ไม่จำเป็นต้องเป็นการแปรผันตรงเท่านั้น อาจเป็นการแปรผกผันก็ได้ เช่น
……. x..แปรผันตรงกับ..y..และ..z..คือ..x\propto yz
……. x..แปรผันตรงกับ..y..และแปรผกผันกับ..z..คือ..x\propto\frac{y}{z}
…..หรือ..x..แปรผันตรงกับ..a..และ..b..แต่แปรผกผันกับ..c..คือ..x\propto\frac{ab}{c}

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x แปรผันตาม y และแปรผกผันกับ z กำหนด x=180 เมื่อ y=200 และ z=4 จงหาค่า x เมื่อ y=200 และ z=15
วิธีทำ…..กำหนดให้x \propto \frac{y}{z}x =\frac{ky}{z}
………. แทนค่า x=180, y=200 และ z=4
……….จะได้ 180 = \frac{k(200)}{4}k = \frac{180(4)}{200} = \frac{18}{5}
……….สมการแสดงการแปรผัน คือ x = \frac{18}{5}\left ( \frac{y}{z} \right )
……. แทนค่า… y=200 และ z=15จะได้x = \frac{18}{5}\left ( \frac{200}{15} \right ) = 48

ตัวอย่างที่ 2 ส่วนหนึ่งของ y แปรผันแบบผกผันกับ x^{2} และอีกส่วนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับ x^{3} โดยที่ y = 3 เมื่อ x = 1 และ y = 1 เมื่อ x = -1 ถ้า x = 3 แล้ว y มีค่าเท่าใด (สมาคม 42)
วิธีทำ…..กำหนดให้ y = a + bโดยที่a \propto \frac{1}{x^2}และb \propto x^3
……. ดังนั้น…..y = \frac{k_1}{x^2}+k_2x^3………………….(1)
……. แทนค่า y = 3 เมื่อ x = 1 …ใน (1)
…………………3 = k_1 + k_2 ………….…………………………….(2)
……. แทนค่า y = 1 เมื่อ x = -1 ใน (1)
…………………1 = k_1 - k_2 …………..……………………………(3)
…….(2) + (3) ….. 2k_1 = 4…..….k_1 = 2
…….แทนค่าk_1 = 2ลงใน (3)  จะได้k_2 = 1
…… แทนค่า k_1 = 2, k_2 = 1..ลงใน (1)จะได้
………………….y = \frac{2}{x^2} + x^3 …………………………(4)
……แทนค่า x = 3  ลงใน (4)y = \frac{2}{(3^2)} + (3^3) = \frac{2}{9} + 27 = 27\frac{2}{9}

ตัวอย่างที่ 3 ค่าใช้จ่ายในการจัดทำวารสารเล่มหนึ่งประกอบด้วยค่าใช้จ่ายส่วนหนึ่งคงที่ และอีกส่วนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับจำนวนเล่มที่พิมพ์ ถ้าพิมพ์ 150 เล่ม จะเสียค่าใช้จ่าย 2,850 บาท  และถ้าพิมพ์ 200 เล่ม จะเสียค่าใช้จ่ายทั้งหมด 3,000 บาท ถ้าต้องการพิมพ์ 300 เล่ม จะต้องขายเล่มละเท่าไร จึงจะได้กำไรเล่มละ 5 บาท (สมาคม 41)
วิธีทำให้ P เป็นค่าใช้จ่ายในการทำวารสาร,…..ฺB เป็นค่าใช้จ่ายส่วนคงที่
…………… C เป็นค่าใช้จ่ายส่วนที่แปรผันตามจำนวนเล่มที่พิมพ์,….. n เป็นจำนวนเล่มที่พิมพ์
…….กำหนดให้ P = B + Cโดยที่C \propto n
……….ดังนั้น…..P = B + kn…….………………………(1)
…..แทนค่า n = 150 เล่ม , P = 2,850 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 2,850 = B + 150k …..…………………..(2)
…..แทนค่า n = 200 เล่ม , P = 3,000 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 3,000 = B + 200k …..…………………..(3)
…….(3) – (2) ….. 150 = 50k…..….k = 3
…..แทนค่า k = 3 ใน (2) จะได้   2,850 = B + 150(3)B = 2,400
….. จะได้ …..P = 2,400 + 3n  …………………………(4)
…..ถ้า n = 300 เล่ม จะได้ P = 2,400 + 3(300) = 3,300 บาท
………ทุนเล่มละ ……3,300 \div 300 = 11บาท
……..  ดังนั้น ต้องขายเล่มละ11+5 = 16บาท

ตัวอย่างที่ 4 ต้นทุนในการผลิตสินค้าแยกได้เป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งคงตัว อีกส่วนหนึ่งแปรผันตามจำนวนสินค้าที่ผลิต ถ้าผลิต 100 ชิ้น จะต้องเสียค่าใช้จ่ยทั้งหมด 18,000 บาท และถ้าผลิต 150 ชิ้น จะเสียค่าใช้จ่ายทั้งหมด 19,500 บาท ถ้าต้องการผลิต 300 ชิ้น จะต้องขายชิ้นละเท่าใด จึงจะได้กำไรร้อยละ 50 ของต้นทุน (สมาคม 57)
วิธีทำ…..ให้ P เป็นต้นทุนในการผลิตสินค้า,…..ฺA เป็นค่าใช้จ่ายส่วนคงที่
…………… B เป็นค่าใช้จ่ายส่วนที่แปรผันตามจำนวนสินค้าที่ผลิต,….. n เป็นจำนวนสินค้าที่ผลิตได้
…….กำหนดให้ P = A + Bโดยที่B \propto n
……….ดังนั้น…..P = A + kn…….………………………(1)
…..แทนค่า n = 100 ชิ้น , P = 18,000 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 18,000 = A + 100k …..…………………..(2)
…..แทนค่า n = 150 ชิ้น , P = 19,500 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 19,500 = A + 150k …..…………………..(3)
…….(3) – (2) ….. 1,500 = 50k…..….k = 30
…..แทนค่า k = 30 ใน (2) จะได้   18,000 = A + 100(30)A = 15,000
….. จะได้ …..P = 15,000 + 30n  …………………………(4)
…..ถ้า n = 300 ชิ้น จะได้ P = 15,000 + 30(300) = 24,000 บาท
………ทุนชิ้นละ ……24,000 \div 300 = 80บาท
……..  ต้องการกำไรชิ้นละ  50%  จะได้ \frac{50}{100}\times 80 = 40 บาท
…….. ดังนั้น ต้องการสินค้าชิ้นละ 80 + 40 = 120 จึงจะได้กำไร 50%

ตัวอย่างที่ 5 กัญญาเปิดร้านขายก๋วยเตี๋ยว โดยขายชามละ 30 บาท ในการขายแต่ละวันมีค่าใช้จ่ายสองส่วน ส่วนแรกคือค่าเช่าสถานที่ซึ่งไม่ขึ้นกับปริมาณก๋วยเตี๋ยวที่ขาย  ส่วนที่สองเป็นต้นทุนวัตถุดิบซึ่งจะแปรผันตรงตามจำนวนก๋วยเตี๋ยวที่ขาย ถ้ากัญญาขายก๋วยเตี๋ยวได้ 50 ชาม จะมีค่าใช้จ่ายทั้งหมด 2,100 บาท และถ้ากัญญาขายก๋วยเตี๋ยวได้ 175 ชาม จะได้กำไร 900 บาท แล้วกัญญาจ่ายค่าเช่าสถานที่ต่อวันเป็นเงินเท่าไร (สมาคม 55)
วิธีทำ…..ให้  Y เป็นค่าใช้จ่าย,..ฺA เป็นค่าเช่า,  B เป็นค่าวัตถุดิบ,….. n เป็นจำนวนชาม
…….กำหนดให้ Y = A + Bโดยที่B \propto n
……….ดังนั้น…..Y = A + kn…….………………………(1)
…..แทนค่า n = 50 ชาม , Y = 2,100 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 2,100 = A + 50k …..…………………..(2)
…..แทนค่า n = 175 ชาม , Y = (30\times 175)-900=4,350 บาท ใน (1) จะได้
…………….. 4,350 = A + 175k …..…………………..(3)
…….(3) – (2) ….. 2,250 = 125k…..….k = 18
…..แทนค่า k = 18 ใน (2) จะได้   2,100 = A + 50(18)A = 1,200 บาท

ตัวอย่างที่ 6 ให้ y เท่ากับผลบวกของสองจำนวนโดยจำนวนแรกแปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x และ v^2 และจำนวนที่สองแปรผันแบบผกผันกับรากที่สองของ v ถ้า y = 8 เมื่อ x = v = 1 และ y = 12 เมื่อ x = 1.5 และ v = 4 แล้วค่าของ y เมื่อ x = 4 และ v = 0.25 มีค่าเท่าใด (สมาคม 54)
วิธีทำ…..กำหนดให้ y = A + Bโดยที่A \propto xv^2และ B \propto \frac{1}{\sqrt{x}}
………….y = k_1xv^2+\frac{k_2}{\sqrt{x}}
………….8 = k_1 + k_2…..…………..(1)
………….12 = 24k_1 + \frac{k_2}{2}…..…………(2)
…….แก้ระบบสมการได้k_1 = \frac{16}{47}\rightarrow k_2 = \frac{360}{47}
……..จะได้สมการแปรผัน คือ y = \frac{16}{47}xv^2 + \frac{360}{47}\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )
………แทนค่าx = 4, v = 0.25 = \frac{1}{4}จะได้y = \frac{724}{47} = 15\frac{19}{47} = 15.40

…….จากตัวอย่างที่นำเสนอข้างต้น อ่านแล้วเป็นอย่างไรบ้างครับ พอจะเห็นแนวทางวิธีการคำนวณเกี่ยวกับการแปรผันเกี่ยวเนื่องกันไหมเอ่ย ถ้ามีความคิดเห็นประการใดหรือสงสัย จะสอบถามเพิ่มเติม ลอง “ใส่ความเห็น” ในช่องด้านล่างดูครับ และอ่านในหนังสือเรียนเพิ่มเติมอีกนะครับ เพื่อให้มีความแม่นยำและเป็นการฝึกมือที่หลากหลายยิ่ง ๆ ขึ้นไป

การแปรผกผัน (Inverse Variation)

…….การแปรผกผัน (Inverse variation) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างของสองสิ่งหรือปริมาณสองปริมาณ เมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอีกสิ่งหนึ่งลดลงอย่างเป็นสัดส่วนกัน หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลดลงอีกสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอย่างเป็นสัดส่วนกัน เช่น การทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าคนมากงานจะเสร็จเร็ว แต่คนน้อยงานจะเสร็จช้า เรียกว่า การแปรกลับกัน หรือ การแปรผกผัน หรือ สัดส่วนผกผัน

บทนิยาม กำหนดให้  x และ y  แทนปริมาณใด ๆ y แปรผกผันกับ x ใช้สัญลักษณ์ y\propto \frac{1}{x}.. เขียนในรูปสมการเป็น y=\frac{k}{x} ..เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ k\not=0

ข้อสังเกต  การแปรผันแบบผกผันไม่มีสมบัติการสมมาตร นั่นคือ ถ้า y\propto \frac{1}{x} แล้วไม่จำเป็นที่ x\propto \frac{1}{y}

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x แปรผกผันกับ y และ x=-3 เมื่อ y=2  ค่าของ x เท่ากับเท่าใดเมื่อ y=-1
วิธีทำ   จากโจทย์ x\propto \frac{1}{y} จะได้ x=\frac{k}{y}
…………แทนค่า x=-3 เมื่อ y=2 ใน  x=\frac{k}{y}
………….จะได้ -3=\frac{k}{2}  →  k=-6
…………..แทนค่า y=-1 ใน  x=\frac{-6}{y}
……………จะได้   x=\frac{-6}{-1} = 6 ……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า x+1 แปรผกผันกับ y-2 และ x=4 เมื่อ y=8  ค่าของ y เท่ากับเท่าใดเมื่อ x=2
วิธีทำ จากโจทย์ x+1\propto \frac{1}{y-2} จะได้ x+1 =\frac{k}{y-2}
………แทนค่า  x=4 เมื่อ y=8  ในสมการ x+1 =\frac{k}{y-2}
………จะได้  4+1 =\frac{k}{8-2}  →  k = 30
………จะได้สมการ x+1 =\frac{30}{y-2}
……….หาค่า y เมื่อ x=2 จาก 2+1 =\frac{30}{y-2}
…………………..y-2 =\frac{30}{3}  →  y = 12
……. \therefore y มีค่าเท่ากับ 12  .. เมื่อ x=2 ………ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 การประกอบรถยนต์ 1 คัน ใช้คนทำอยู่ 5 คน ถ้าเพิ่มคนงานขึ้นอีก 1 คน งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 ชั่วโมง ถ้าเวลาที่ทำงานนี้แปรผกผันกับจำนวนคนงาน ถ้าต้องการให้งานเสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง ต้องเพิ่มคนงานอีกกี่คน
วิธีทำ  กำหนดให้  H = จำนวนชั่วโมงที่ทำงานเสร็จN = จำนวนคนงาน
……….จากโจทย์  H\propto \frac{1}{N}  จะได้  H =\frac{k}{N}
………ถ้า  N=5 จะได้  H =\frac{k}{5}
………ถ้า  N=6 งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 ชั่วโมง
…..\therefore ..จะได้ว่า H-8 =\frac{k}{6}
………แก้สมการโดยการแทนค่า.. H =\frac{k}{5} ได้เป็น \frac{k}{5}-8=\frac{k}{6}
………………….. \frac{k}{5}-\frac{k}{6}=8
………………….. \frac{k}{30}=8 k = 240
……..แทนค่า k ใน H =\frac{k}{5}  ได้  H =\frac{240}{5} = 48
…….นั่นคือ ถ้าใช้คน 5 คน จะแล้วเสร็จใน 48  ชั่วโมง
……………..ถ้างานนี้เสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง คือเสร็จใน 48 – 28 = 20 ชั่วโมง
…….จาก  H =\frac{24o}{N}
…….แทนค่า 20 =\frac{240}{N} N =\frac{240}{20} = 12
…….ถ้าต้องการให้เสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง ต้องใช้คน 12 คน
……. \therefore จะเพิ่มคนอีก 12-5 = 7 ..คน…………….ตอบ

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า y แปรผกผันกับ x+\sqrt{x} และ y=1 เมื่อ x=2  ค่าของ x เป็นเท่าไร เมื่อ y=\frac{1}{2-\sqrt{2}}
วิธีทำ …..y \propto \frac{1}{x+\sqrt{x}}y = \frac{k}{x+\sqrt{x}}
…………..จะได้k = (x+\sqrt{x})y
…………..แทนค่าy=1, x = 2
…………\therefore k = (2+\sqrt{2})1 = 2+\sqrt{2}
………ดังนั้น สมการนี้คือ y = \frac{2+\sqrt{2}}{x+\sqrt{x}}
……. แทนค่า y = \frac{1}{2-\sqrt{2}}จะได้\frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{x+\sqrt{x}}
…….คูณไขว้ จะได้ {x+\sqrt{x}} = (2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 4-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2
……………..{x+\sqrt{x}} = 2
….. แสดงว่า x = 1จึงจะทำให้สมการเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 5 บริษัทตกแต่งภายในให้คนงาน 20 คน ตกแต่งภายในอาคารหลังหนึ่ง คนงานทั้งหมดช่วยกันตกแต่งภายในอาคารไปได้ครึ่งหนึ่งใช้เวลา 18 วัน ถ้ากำหนดให้เวลาทำงาน แล้วเสร็จแปรผกผันกับจำนวนคนงาน จงหาว่าบริษัทรับตกแต่งภายในจะต้องเพิ่มคนงานอีกกี่คนจึงจะทำให้งานที่เหลือเสร็จใน 12 วัน
วิธีทำให้tแทน ระยะเวลาที่ทำงาน,Nแทน จำนวนคนงาน
……. กำหนดให้ t \propto \frac{1}{N}จะได้t = \frac{k}{N}
……. เมื่อ t = 18 และ N = 20หาค่าk
…… แทนค่า18 = \frac{k}{20}k = 18\times 20 = 360
….. จะได้สมการแปรผกผัน คือ t = \frac{360}{N}
….. ถ้าบริษัทต้องการเพิ่มคนงานทำงานที่เหลือให้เสร็จในเวลา 12 วัน นั่นคือ t = 12หาค่าN
….. แทนค่า 12 = \frac{360}{N}  ⇒N = \frac{360}{12} = 30
….. ดังนั้น บริษัทรับตกแต่งภายในต้องเพิ่มคนงานอีก 30 - 20 = 10 คน

ตัวอย่างที่ 6 ความถี่ของคลื่นวิทยุแปรผกผันกับความยาวคลื่น ถ้าความถี่เป็น 450 กิโลเฮิรตซ์ ความยาวคลื่นเป็น 980 เมตร ต้องการลดความยาวคลื่นลง 80 เมตร จะใช้ความถี่กี่กิโลเฮิรตซ์

ตัวอย่างที่ 7 เมื่อสมปองอยู่ห่างจากเครื่องกระจายเสียงเครื่องหนึ่งเป็นระยะ 10 เมตร สมปองวัดความเข้มเสียงได้ 0.016 วัตต์ต่อตารางเมตร ถ้าความเข้มเสียงแปรผกผันกับกำลังสองของระยะที่คนฟังอยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดเสียง จงหาว่า
1) ถ้าสมปองอยู่ห่างจากเครื่องกระจายเสียง 15 เมตร จะวัดความเข้มเสียงได้เป็นเท่าใด
2) ถ้าสมปองวัดความเข้มเสียงได้เป็น 0.4 วัตต์ต่อตารางเมตร เขาอยู่ห่างเครื่องกระจายเสียงเท่าใด

Example 8. The resistance R of a copper wire of a constant length varies inversly as the square of its diameter d. If the resistance of a wire 2.5 mm in diameter is 20 ohms, find the resistance of a wire with diameter 2 mm.

Example 9. When a space satellite orbits the earth, the force F attracting it towards the earth is inversly proportional to the square of its distance R from the earth. Express F in terms of R and the constant of variation k. Hence calculate
….. a) the value of k if F = 50 when R = 32
….. b) the value of R if F = 512

การแปรผันตรง (Direct Variation)

…..การแปรผัน (variation) คือ ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณหรือมากกว่านั้น เมื่อปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงไป อีกปริมาณหนึ่งจะเปลี่ยนตามไปด้วย อย่างได้สัดส่วนกัน สามารถแบ่งการแปรผันออกเป็น 3 ชนิด คือ
….. 1. การแปรผันตรง (direct variation)
….. 2. การแปรผกผัน (inverse variation)
….. 3. การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (joint variation)

…..การแก้ปัญหาโจทย์การแปรผัน
…..1. พิจารณาว่ามีสิ่งที่เกี่ยวข้องกันอยู่กี่สิ่ง กำหนดตัวแปร เท่ากับจำนวนสิ่งที่เกี่ยวข้องกันตามโจทย์ และเขียนหน่วย
…..2. สร้างสมการแปรผัน แล้วเปลี่ยนเป็นสมการที่มีค่าคงตัว (นิยมใช้ค่า k)
…..3. แทนค่าตัวแปร เพื่อแก้สมการหาค่า k
…..4. เขียนสมการโดยแทนค่า k แล้วหาค่าที่โจทย์ถาม

การแปรผันตรง

…..การแปรผันตรง (direct variation) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างของสองสิ่งหรือปริมาณสองปริมาณ เมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มอีกสิ่งหนึ่งก็เพิ่มขึ้นตามไปด้วยอย่างเป็นสัดส่วนกัน หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลดอีกสิ่งหนึ่งก็ลดลงตามไปด้วยอย่างเป็นสัดส่วนกัน เรียกว่า การแปรผันตามกัน หรือ การแปรผันตรง หรือ เป็นสัดส่วนโดยตรง

บทนิยาม กำหนดให้ x  และ y  แทนปริมาณใด ๆ y  แปรผันตรงกับ x  ใช้สัญลักษณ์ y\propto x เขียนในรูปสมการเป็น y=kx เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ k\not=0 เรียก k  ว่า ค่าคงตัวแห่งการแปรผัน (variation constant)

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า y แปรผันโดยตรงกับ x กำหนด y=4 เมื่อ x=3  จงหาค่า y เมื่อ x=21
วิธีทำ   จาก y\propto x จะได้ y=kx (เมื่อ k เป็นค่าคงตัว)
…………แทนค่า y=4 เมื่อ x=3 ใน  y=kx  จะได้
…………….4=k(3)  →  k=\frac{4}{3}
…………….จะได้  y=\frac{4}{3}x
……………แทนค่า x=21 จะได้   y=\frac{4}{3}\times 21 = 28 ……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า x แปรผันตามกำลังสองของ y และ x=72 เมื่อ y=3  จงหาค่าคงตัวของการแปรผัน และค่าของ y เมื่อ x=288
วิธีทำ  x แปรผันตามกำลังสองของ y คือ x\propto y^2
…….จะได้ x=ky^2  (เมื่อ k เป็นค่าคงตัว)
…….แทนค่า  x=72 เมื่อ y=3   ใน x=ky^2
……..จะได้  72 = k(9)  → k=8
…….ดังนั้น จะได้สมการเป็น x=8y^2
…….ถ้า x=288 ค่า y คือ    288=8y^2
……………..  y^2 = \frac{288}{8} = 36
……………… y=\pm 6……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ a+b \propto 2a-5b ถ้า b = 32 เมื่่อ a = 20 แล้ว  a มีค่าเป็นเท่าใด เมื่อ b = 40
วิธีทำจาก a+b \propto 2a-5b  จะได้  a+b = k(2a-5b)
…………แทนค่า  a = 20 และ b = 32
………… จะได้ …..20+32 = k [2(20)-5(30)]
…………………….. k = \frac{52}{-120} = -\frac{13}{30}
…………ดังนั้น จะได้สมการเป็น a+b = -\frac{13}{30}(2a-5b)
………..ถ้า b = 40 จะได้ a+40= -\frac{13}{30}(2a-200)
…………………….1200 + 30a = -26a + 2600
………………………………56a = 1400
…………………………….a = \frac{1400}{56} = 25………ตอบ

ตัวอย่างที่ 4  ถ้าอัตราการหมุนของกังหันลมแปรผันตามกำลังสองของอัตราเร็วของกระแสลม ในขณะที่อัตราเร็วของกระแสลมเท่ากับ 20 กิโลเมตรต่อชั่วโมง สังเกตได้ว่ากังหันหมุน 5 รอบต่อนาที ถ้าในขณะหนึ่งสังเกตเห็นกังหันหมุน 600 รอบต่อชั่วโมง ความเร็วลมในขณะนั้นเป็นเท่าใด
วิธีทำให้ M แทนอัตราการหมุนของกังหันลม (รอบ/นาที)และvอัตราเร็วของกระแสลม (กม./ชม.)
…………….จะได้M \propto v^2  …. → M = kv^2
…………….แทนค่า M = 5 เมื่่อ v = 20
…………….จะได้……5 = k(20)^2
……………………….. k = \frac{5}{400} = \frac{1}{80}
………….เขียนสมการได้เป็น ……M = \frac{1}{80}v^2
…………แทนค่า .M = 600 รอบต่อชั่วโมง คิดเป็น M = \frac{600}{60} = 10 รอบต่อนาที ลงในสมการ
……………จะได้เป็น…..10 = \frac{1}{80}v^2…..v^2 = 800
…………………. v = \sqrt{800} = \sqrt{400\times 2} = 20\sqrt{2}  กิโลเมตรต่อชั่วโมง ………ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 ความยาวของก้านลูกตุ้มนาฬิกา แปรผันตามกำลังสองของเวลาแกว่งครบรอบ ถ้าก้านลูกตุ้มนาฬิกายาว 99.2 เซนติเมตร จะแกว่งครบรอบใน 2 วินาที ก้านของลูกตุ้มต้องยาวกี่เซนติเมตร จึงจะแกว่งได้นาทีละ 24 รอบ
วิธีทำ กำหนดให้  L เป็นความยาวของก้านลูกตุ้มนาฬิกา หน่วยเป็น เซนติเมตร
……………..   t เป็นเวลาแกว่งครบรอบของลูกตุ้ม หน่วยเป็น วินาที
…….. จากโจทย์  L แปรผันตามกำลังสองของ t คือ L\propto t^2
…….จะได้ L=kt^2  (เมื่อ k เป็นค่าคงตัว)
…….แทนค่า  L=99.2 เมื่อ t=2   ใน L=kt^2
……..จะได้  99.2 = k(2)^2  → k=\frac{99.2}{4} = 24.8
…….ดังนั้น จะได้สมการเป็น L=24.8t^2
……. ลูกตุ้มนาฬิกาแกว่งได้นาทีละ 24 รอบ หมายถึง 24 รอบ ในเวลา 60 วินาที
…….ถ้า 1 รอบ ในเวลา \frac{60}{24} = \frac{5}{2} นาที
…….ถ้า t = \frac{5}{2} ..จะได้..L = 24.8(\frac{5}{2})^2
………………….L=\frac{25}{4}\times 24.8 = 155
……. \therefore ก้านของลูกตุ้มนาฬิกายาว..155.. เซนติเมตร ……….ตอบ

เป็นอย่างไรบ้างครับมีความรู้ ความใจเกี่ยวกับกับการแปรผันตรงมากขึ้นไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองคลิกเข้าไปดูคลิปวิดีโออีกครั้งครับ

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

…….การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการ เริ่มจาก อ่านและวิเคราะห์โจทย์ → กำหนดตัวแปร → วิเคราะห์เงื่อนไขในโจทย์และเขียนสมการ → แก้สมการ → ตรวจสอบคำตอบของสมการตามเงื่อนไขในโจทย์ → แสดงคำตอบ
…….โจทย์ปัญหาบางข้อ ถ้ากำหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์กล่าวหรือถาม แล้วแทนตามเงื่อนไขของโจทย์จะได้รูปสมการเมื่อทำสมการให้อยู่ในรูปง่าย ๆ จะได้เป็นสมการกำลังสอง จากนั้นแก้สมการตามหลักที่ได้กล่าวมาแล้ว ให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1  ในช่วงเทศกาลขึ้นปีใหม่ นักเรียนชั้น ม.2 ห้องหนึ่งต่างส่งบัตรอวยพรให้แก่กันและกันครบทุกคนในห้องเรียน ปรากฏว่าต้องใช้บัตรอวยพรทั้งหมด 1,260 แผ่น นักเรียนในห้องนี้มีทั้งหมดกี่คน
วิธีทำ ให้จำนวนนักเรียนในห้องนี้มีทั้งหมด x ..คน นักเรียนแต่ละคนใช้บัตรอวยพร  x-1 แผ่น
จำนวนบัตรอวยพร =x(x-1) = 1,260  แผ่น
……….x^2-x-1,260 = 0
………..(x-36)(x+35) = 0
………………………x =36, -35
………. \therefore …….นักเรียนมีทั้งหมด 36 ..คน……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ครูในกลุ่มสาระคณิตศาสตร์ของโรงเรียนแห่งหนึ่งตกลงบริจาคเงินคนละเท่า ๆ กัน เพื่อจัดตั้งเป็นกองทุนการศึกษาให้ได้เงินจำนวน 5,160 บาท ปัจจุบันมีครูเพิ่มเข้ามาในกลุ่มสาระนี้อีก 2 คน ทำให้ทุกคนบริจาคเงินลดลงจากอัตราเดิมคนละ 215 บาท ปัจจุบันมีครูในกลุ่มสาระนี้กี่คน
วิธีทำ  ให้ปัจจุบันมีครู x ..คน  ดังนั้นเดิมมีครู x-2 ..คน
…….เดิมครูบริจาคเงินคนละ \frac{5,160}{x-2}  บาท
…….ปัจจุบันบริจาคเงินคนละ  \frac{5,160}{x}  บาท
…….ดังนั้น   \frac{5,160}{x-2} - \frac{5,160}{x} =215  บาท
………………5,160x-5,160(x-2) = 215x^2-430x
………………x^2-2x-48 = 0
……………….(x-8)(x+6) = 0
………………………x =8, -6
………. \therefore  …….ปัจจุบันมีครู 8 ..คน……….ตอบ

ให้นักเรียนลองศึกษาการแก้โจทย์สมการกำลังสอง จากนั้นลองทำแบบฝึกด้านล่างนี้ดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> Problems leading to quadratic eq.

สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

…..สมการกำลังสอง (quadratic equations) คือ สมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 บางครั้งเรียกสมการกำลังสองว่า สมการดีกรี 2   รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง คือ
…………………….ax^2 + bx + c = 0
….. เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a \not= 0

…..การแก้สมการกำลังสอง หมายถึง การคำนวณเพื่อหาค่าของตัวแปร ซึ่งจะได้ค่าตัวแปร 2 ค่า โดยค่าทั้งสองอาจเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้ ค่าของตัวแปรที่ได้บางครั้งเรียกว่า รากของสมการ หรือ คำตอบของสมการ
…..วิธีแก้สมการกำลังสอง ก่อนที่จะทำการคำนวณหาค่าตัวแปรของสมการกำลังสอง ให้จัดขวามือของเครื่องหมายเท่ากับให้เป็น 0 แล้วการคำนวณจะมีได้ 3 วิธี คือ โดยวิธีแยกตัวประกอบ โดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ และโดยวิธีใช้สูตร

…..การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ
…..ทำได้โดยการแยกตัวประกอบ (factors) แล้วใช้หลักว่า เมื่อผลคูณของตัวประกอบเป็น 0 (ขวามือขอเครื่องหมายเท่ากับ) แสดงว่า ตัวประกอบบางตัวเป็น 0 หรือทุกตัวประกอบเป็น 0

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของสมการ x^2-4x+3 = 0
วิธีทำ………..x^2-4x+3 = 0
……………(x-3)(x-1) = 0
……………………………..x = 1, 3……….#

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 8x^2-2x=3
วิธีทำ  จัดขวามือของเครื่องหมายเท่ากับให้เป็น 0
…………………….8x^2 - 2x - 3 = 0
………………..(4x-3)(2x+1) = 0
…………………………………….x =\frac{3}{4},  -\frac{1}{2}……….#

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ  12x^2+9 = 56x
วิธีทำ…….12x^2-56x+9 = 0
…………(6x-1)(2x-9) = 0
………………………..x = \frac{1}{6}, \frac{9}{2}……….#

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ y^2=\frac{1}{6}y+2
วิธีทำ  จัดสมการใหม่ได้เป็น  y^2-\frac{y}{6}-2 = 0
………. นำ 6 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้
…………………….6y^2 - y - 12 = 0
…………………….(3y+4)(2y-3) = 0
…………………………………….y =-\frac{4}{3},  \frac{3}{2}……….#

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ x^2+\frac{1}{12}x-\frac{1}{2} = 0
วิธีทำ  …….. นำ 12 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้
……………..12(x^2+\frac{1}{12}x-\frac{1}{2}) = 12\times 0
…………………….12x^2+x-6 = 0
……………..(3x-2)(4x+3) = 0
……………………………… x = \frac{2}{3}, -\frac{3}{4}……….#

ตัวอย่างที่ 6 จงแก้สมการ -6x^2+12x-6 = 0
วิธีทำ………-6(x^2-2x+1 )= 0
…………..นำ -6 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้
………………..x^2-2x+1 = 0
…………….(x-1)(x-1) = 0
………………………………x = 1………#

ตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมการ 1.5y^2 = 7.7y-1
วิธีทำ…….1.5y^2 - 7.7y+1 = 0
…………..นำ 10 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้
…………..15y^2 - 77y+10 = 0
………….(15y-2)(y-5) = 0
……………………………y = \frac{2}{15}, 5………#

เป็นอย่างไรบ้างครับ เกี่ยวกับการการแก้สมการกำลังสอง พอจะเข้าใจหรือทำได้ด้วยตัวเองไหมครับ ลองดูจากคลิปวิดีโอด้านล่างเพื่อให้มีความเข้าใจมากยิ่ง ๆ ขึ้นไป คลิกเลยครับ

พอจะเข้าใจกันมากขึ้นกว่าเดิมไหมครับ เกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสอง  เพื่อเป็นการทดสอบตัวเองให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสอง โดยวิธีแยกตัวประกอบ จากแบบฝึกด้านล่างนี้ลองดูนะครับ ทั้งระดับ ม.2 (แบบง่าย) และ ม.3 (แบบง่ายถึงปานกลาง)

แบบฝึกหัดที่ 3.1 ทบทวนสมการกำลังสอง ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3

หรือดาวน์โหลดที่ >>>Quadratic equation with one variable ระดับ ม.2 | ส่วน ม.3 ทบทวนสมการกำลังสอง |

การแยกตัวประกอบของพหุนามเป็นผลต่างของกำลังสอง

พิจารณาผลคูณต่อไปนี้
………. (x+y)(x-y)= x^2-xy + yx -y^2
………………………….. .=x^2-y^2

นิพจน์  x2 – y2  มีเพียง 2 พจน์ ซึ่งแต่ละพจน์อยู่ในรูปกำลังสอง เราเรียกนิพจน์ที่มัลักษณะเช่นนี้ว่า ผลต่างของกำลังสอง (The Difference of  Two Squares)  ซึ่งตัวอย่างของนิพจ์ที่สามารถเขียนอยู่ในรูปผลต่างของกำลังสอง เช่น
……….  x2 – 9 ,    y2 – 16 ,    4x2 – 25 ,    x2 – 4y2,    121 – 36x2

ดังนั้น ถ้าให้  A  แทน พจน์หน้า  และ  B  แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง ได้เป็น
………. A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)
เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำในการนำไปใช้ ให้จำย่อ ๆ ดังนี้

………. (หน้า)2 – (หลัง)2   =   (หน้า + หลัง)(หน้า – หลัง)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบ x2 – 9
วิธีทำ            x2 – 9   =   x2 – 32
……………………=  (x + 3)(x – 3)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบ 49x2 – 25
วิธีทำ            49x2 – 25   =   (7x)2 – 32
……………………..=  (7x + 5)(7x – 5)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบ (3x-2)2 – (x+5)2
วิธีทำ             (3x-2)2 – (x+5)2   =   [(3x – 2)+(x+5)][(3x-2) – (x+5)]
……………………………=  (4x + 3)(2x – 7)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบ 169x2 – (x2 – 16x + 64)
วิธีทำ            169x2 – (x2 – 16x + 64)   =   (13x)2 – (x – 8)2
……………………………=  [13x + (x – 8)][13x – (x – 8)]
…………………………..=  (14x – 8)(12x + 8)
…………………………. = 8(7x – 4)(3x + 2)

ตัวอย่างที่ 5  จงคำนวณหาค่าของ 20012 – 19992
วิธีทำ            20012 – 19992   =   (2001 + 1999)(2001 – 1999)
……………………………=  (4000)(2)
………………………….. =  8000

ให้นักเรียนลองแยกตัวประกอบของพหุนาม โดยวิธีทำให้เป็นผลต่างของกำลังสอง จากแบบฝึกด้านล่างนี้ลองดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>>  Difference of  Two Square

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

…….พหุนามดีกรีสองเมื่อทำการแยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่ซ้ำกัน  เช่น x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)  = (x + 2)2  เรียกพหุนามที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า กำลังสองสมบูรณ์ (Perfect Square) 

…….พหุนามที่อยู่ในรูป กำลังสองสมบูรณ์ ถ้าให้ น = พจน์หน้า,  ล = พจน์หลัง จะเขียนในรูป
………………………….2 + 2นล + ล2
………………………….2 – 2นล + ล2
…….ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้
………………………….(หน้า)2 + 2หน้าหลัง + (หลัง)2  =  (หน้า + หลัง)2
………………………….(หน้า)2 – 2หน้าหลัง + (หลัง)2  =  (หน้า – หลัง)2

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ  a2 – 8a + 16
วิธีทำ……….a2 – 8a + 16  =   a2 – (2)(a)(4) + 42
…………………””””…….=  (a – 4)2

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ  121x2 + 154x + 49
วิธีทำ……….121x2 + 154x + 49  =   (11x)2 + (2)(11x)(7) + 72
………………………………….=  (11x + 7)2

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม (x + 2)2 – 18(x2 + 2x) + 81x2
วิธีทำ……….  (x + 2)2 – 18(x2 + 2x) + 81x2  =  (x + 2)2 – 18x(x + 2) + 81x2
……………………………………………=  (x + 2)2 – 2(x + 2)(9x) + (9x)2
………………………………………….. =  [ (x + 2) – 9x ]2
………………………………………….. =  (2 – 8x)2

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม (x+1)^2+14(x+1)+49
วิธีทำ…….(x+1)^2+14(x+1)+49 = (x+1)^2+2(x+1)(7)+7^2
………………………………………= [(x+1)+7]^2
…………..ดังนั้น(x+1)^2+14(x+1)+49 = (x+8)^2

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 4x^2-4(x^2-3x)+(x-3)^2
วิธีทำ…….4x^2-4(x^2-3x)+(x-3)^2 = (2x)^2-4x(x-3)+(x-3)^2
………………………………..= (2x)^2-2(2x)(x-3)+(x-3)^2
………………………………..= [2x-(x-3)]^2
………………………………..= (2x-x+3)^2
…………..ดังนั้น4x^2-4(x^2-3x)+(x-3)^2 = (x+3)^2

…….สำหรับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 จะซับซ้อนมากยิ่งขึ้น ซึ่งข้อดีของวิธีนี้คือ ใช้แยกจำนวนที่มีตัวเลขเยอะ ๆ ที่เราคิดในใจไม่ได้ หรือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนได้ในรูปจำนวนเต็ม แต่จำนวนที่ได้จะเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ ก็ได้ ลองไปศึกษากันเลยครับ แต่อยากฝากแนวคิดง่าย ๆ คือ ให้เราเขียนพหุนามมาสองพจน์ แล้วเอา 2 หารพจน์กลาง จากนั้นให้ยกกำลังสอง ได้เท่าไหร่ให้ลบทิ้ง แล้วยกพจน์สุดท้ายมา จากนั้นทำการบวกลบกันแล้วใช้สูตร ผลต่างกำลังสองเข้าช่วยครับ …ลองไปดูกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบ x^2-26x+165
วิธีทำ…….= x^2-26x+13^2-169+165
…………..= (x-13)^2+(-169+165)
…………..= (x-13)^2-4
…………..= (x-13)^2-2^2
…………..= (x-13+2)(x-13-2)
…………..= (x-11)(x-15)

ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบ x^2-7x-228
วิธีทำ……= x^2-7x+(\frac{7}{2})^2-\frac{49}{4}-228
………….= (x-\frac{7}{2})^2-\frac{961}{4}
………….= (x-\frac{7}{2})^2-(\frac{31}{2})^2
………….= (x-\frac{7}{2}+\frac{31}{2})(x-\frac{7}{2}-\frac{31}{2})
………….= (x+\frac{24}{2})(x-\frac{38}{2})
………….= (x+12)(x-19)

ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบ x^2-6x+2
วิธีทำ…..= x^2-6x+3^2-9+2
…………= (x-3)^2-7
…………= (x-3)^2-(\sqrt{7})^2
…………= (x-3+\sqrt{7})(x-3-\sqrt{7})

ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบ x^2-5x+1
วิธีทำ…..= x^2-5x+(\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}+1
…………= (x-\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}
…………= (x-\frac{5}{2})^2-(\frac{\sqrt{21}}{2})^2
…………= (x-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2})(x-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2})
…………= (x-\frac{5-\sqrt{21}}{2})(x-\frac{5+\sqrt{21}}{2})

ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบ 3x^2+19x-14
วิธีทำ…..= 3\left \{ x^2+\frac{19}{3}x-\frac{14}{3} \right \}
…………= 3\left \{ x^2+\frac{19}{3}x+(\frac{19}{6})^2-\frac{361}{36}-\frac{14}{3} \right \}
…………= 3\left \{ (x-\frac{19}{6})^2-\frac{361}{36}-\frac{168}{36} \right \}
…………= 3\left \{ (x-\frac{19}{6})^2-\frac{529}{36} \right \}
…………= 3\left \{ (x-\frac{19}{6})^2-(\frac{23}{6})^2 \right \}
…………= 3\left \{ (x+\frac{19}{6}+\frac{23}{6})(x+\frac{19}{6}-\frac{23}{6}) \right \}
…………= 3\left \{ (x+\frac{42}{6})(x-\frac{4}{6}) \right \}
…………= (x+7)(3x-2)

ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบ -2x^2+x+7
วิธีทำ…..= -2\left \{ x^2-\frac{1}{2}x-\frac{7}{2} \right \}
…………= -2\left \{ x^2-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}-\frac{7}{2} \right \}
…………= -2\left \{ (x-\frac{1}{4})^2-\frac{57}{16} \right \}
…………= -2\left \{ (x-\frac{1}{4})^2-(\frac{\sqrt{57}}{4})^2 \right \}
…………= -2(x-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{57}}{4})(x-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{57}}{4})
…………= -2(x-\frac{1-\sqrt{57}}{4})(x-\frac{1+\sqrt{57}}{4})

เพื่อให้มีความเข้าใจมากยิ่งขึ้น ลองดูจากคลิปวิดีโอเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบ พหุนามโดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งสอนโดย พี่โต๋-วชิรา โอภาสวัฒนา

ให้นักเรียนลองแยกตัวประกอบของพหุนาม โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จากแบบฝึกด้านล่างนี้ลองดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>ระดับ ม.2 การแยกตัวประกอบโดยวิธีกำลังสองสมบูรณ์ |ระดับ ม.3 กำลังสองสมบูรณ์ |

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เมื่อ a # 1

……..พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว ที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร เพื่อความสะดวกในการหาข้อสรุปของวิธีแยกตัวประกอบของหพุนาม  ax2 + bx + c  จะเรียก ax2 ว่า พจน์หน้า  เรียก bx ว่า พจน์กลาง และเรียก c ว่า พจน์หลัง  ซึ่งการแยกสามารถทำได้ดังนี้

ตัวอย่างเช่น จงแยกตัวประกอบของ  5x2 – 11x + 2
ขั้นที่ 1 แยกพจน์หน้าเป็นสองพจน์ ได้  5x  กับ  x
……………………………..(5x ……..)(x……..)
ขั้นที่ 2 แยกพจน์ท้ายออกเป็นสองจำนวนคูณกัน ได้  (-2)×(-1)  นำไปใส่ในขั้นตอนที่ 1 สามารถใส่ได้ 2 แบบ คือ
……………………………..(5x – 2)(x – 1)  กับ  (5x – 1)(x – 2)
ขั้นที่ 3 หาพจน์กลางจากขั้นตอนที่ 2 โดยนำ (ใกล้ ×ใกล้) + (ไกล ×ไกล)  ถ้าได้ผลลัพธ์เป็น -11x  แสดงว่าการแยกตัวประกอบนั้นถูกต้อง
……………. ดังนั้น  5x2 – 11x + 2  =  (5x – 1)(x – 2)         ตอบ

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 6x^2-7x-5
วิธีทำ…….6x^2-7x-5 = (3x-5)(2x+1)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 12x^2-31x+9
วิธีทำ…….12x^2-31x+9 = (3x-1)(4x-9)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 12x^2-56x+9
วิธีทำ…….12x^2-56x+9 = (6x-1)(2x-9)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ 8x^2-26x+15
วิธีทำ…….8x^2-26x+15 = (2x-5)(4x-3)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 4x^2+13x+10
วิธีทำ…….4x^2+13x+10 = (4x+5)(x+2)

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 6x^2-10x-4
วิธีทำ…….6x^2-10x-4 = 2(3x^2-5x-2)
……………………………..= 2(3x+1)(x-2)

ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ -3x^2+10x+8
วิธีทำ…….-3x^2+10x+8 = (-1)(3x^2-10x-8)
……………………..= -(3x+2)(x-4)
…………..หรือ…….= (3x+2)(-x+4)

ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ -12x^2+7x+10
วิธีทำ…….-12x^2+7x+10 = (-1)(12x^2-7x-10)
……………………..= -(3x+2)(4x-5)
…………..หรือ…….= (3x+2)(5-4x)

เสริมอีกเพื่อฝึกความแม่นยำ…จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

  • 2x2 + 9x – 5   =   (2x – 1)(x + 5)
  • 15x2 – 41x + 28   =   (5x – 7)(3x – 4)
  • 18x2 + 27x + 10   =   (6x + 5)(3x + 2)
  • 5x2 – 8x – 21   =   (5x + 7)(x – 3)
  • 10x2 – 31x + 15   =   (2x – 5)(5x – 3)
  • – 5x2 + 22x – 8   =   – (5x2 – 22x + 8)   =   – (5x – 2)(x – 4)

เพื่อเกิดความเข้าใจยิ่งขึ้น ให้นักเรียนดูจากคลิปวิดีโอ 2 คลิป ต่อไปนี้นะครับ

คลิปจาก YouTube –> คลิปที่ 1 | คลิปที่ 2 |

เป็นอย่างไรบ้างครับ เข้าใจกันบ้างไหมเอ่ย เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น ให้นักเรียนทำการดาวน์โหลดใบงานไปฝึกทำลองดูนะครับ ได้ผลอย่างไร ให้ความเห็น ได้เลยครับ

หรือคลิกดาวน์โหลดที่ >>> Factorise of  Ax2 + Bx + C

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เมื่อ a = 1

……..พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว (quadratic polynomial with one variable) คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว ที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

……..ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป x2 + bx + c ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบได้โดยการหา จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว c และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ b (อะไรเอ่ย คูณกันได้ c บวกกันได้ b)

……..ถ้าให้  m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn = c  และ  m + n = b  จะได้ว่า

…………………………x2 + bx + c   =   (x + m)(x + n)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x^2-2x-15

วิธีทำ……เพราะว่า…..(-5)\times 3 = -15
…………..และ………..(-5)+ 3 = -2
…………..ดังนั้น………x^2-2x-15 = (x-5)(x+3)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ x^2+7x-18
วิธีทำ……เพราะว่า…..(-2)\times 9 = -18
…………..และ………..(-2)+ 9 = 7
…………..ดังนั้น………x^2+7x-18 = (x-2)(x+9)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ x^2-9x+20
วิธีทำ……เพราะว่า…..(-4)\times (-5) = 20
…………..และ………..(-4)+ (-5) = -9
…………..ดังนั้น………x^2-9x+20 = (x-4)(x-5)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ x^2-4
วิธีทำ……เพราะว่า…..(-2)\times 2 = -4
…………..และ………..(-2)+ 2 = 0
…………..ดังนั้น………x^2-4 = (x-2)(x+2)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ x^2-15x-54
วิธีทำ……เพราะว่า…..(-18)\times 3 = -54
…………..และ………..(-18)+ 3 = -15
…………..ดังนั้น………x^2-15x-54 = (x-18)(x+3)

……. สำหรับพหุนามดีกรีสอง เช่น x^2+4x+1 เราไม่สามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คุณกันเป็น 1 และบวกกันเป็น 4 ได้  ดังนั้น จึงไม่สามารถเขียนพหุนาม x^2+4x+1 ให้อยู่ในรูปการคูณของพหุนามดีกรีหนึ่งที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มได้
…….โดยทั่วไปแล้วในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax^2+bx+c เมื่อ b, c เป็นจำนวนเต็ม ถ้าหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b ไม่ได้ เราจะแยกตัวประกอบได้โดยใช้วิธีอื่น (โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ) ซึ่งจะกล่าวต่อไปในภายหลัง

ลองทำดูอีกครั้งครับ…จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

  • x2 – 10x + 24   =   (x – 6)(x – 4)
  • x2 + 9x – 10   =   (x + 10)(x – 1)
  • x2 – x – 72   =   (x – 9)(x + 8)
  • x2 + 8x + 16   =   (x + 4)(x + 4)
  • x2 – 14x + 49   =   (x – 7)(x – 7)
  • x2 – 25   =   (x + 5)(x – 5)

…….ให้นักเรียนแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้ (ใช้เทคนิคอะไรเอ่ย คูณกันได้ c บวกกันได้ b) โดยดูจากคลิปวิดีโอและลองดาวน์โหลดใบงานไปฝึกทำลองดูนะครับ ได้ผลอย่างไร ให้ความเห็น ได้เลยครับ

หรือคลิกดาวน์โหลดที่ >>> Factorise of x2 + Bx + C

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง

…….การแยกตัวปรกอบของพหุนาม เป็นการเขียนพหุนามที่กำหนดให้ ในรูปการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป หรือเขียนพหุนามที่กำหนดให้ในรูปที่ง่ายกว่า (simplify) ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี เช่น ใช้สมบัติการแจกแจง การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ทำให้เป็นผลต่างของกำลังสอง แต่ในที่นี้จะใช้สมบัติการแจกแจง

สมบัติการแจกแจง  a (b + c)   =   ab + ac
แต่ถ้าเขียนใหม่เป็น  ab + ac   =   a (b + c)   เรียกว่า การแยกตัวประกอบโดยวิธีดึงตัวร่วม
โดยเรียก a ว่า ตัวประกอบร่วม (common factor)  ซึ่ง ถ้า a เป็นตัวเลข หาได้จาก ห.ร.ม. แต่ถ้าเป็นตัวแปร หาได้จากตัวแปรที่มีเลขชี้กำลังน้อยที่สุด

ยกตัวอย่างเช่น

  • 5xy + 6x2  = x (5y + 6x)
  • 12y2 z + 20yz = 4yz (3y + 5)
  • 21x3 y2– 28x2 y3 = 7x2 y2 (3x – 4y)

เรามาลองแยกตัวประกอบของพหุนามโดยวิธีหาตัวประกอบร่วม (Factorization by Finding Common Factors)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 2a+4b
วิธีทำ…….2a+4b = 2(a+2b)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 3x+12y-18z
วิธีทำ…….3x+12y-18z = 3(x+4y-6z)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 2x^2+16x
วิธีทำ…….2x^2+16x = 2x(x+8)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ a^2y+ayz
วิธีทำ…….a^2y+ayz = ay(a+z)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 8xy-16y^2+24zy
วิธีทำ…….8xy-16y^2+24zy = 8y(x-2y+3z)

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 27a^2b-18ac
วิธีทำ…….27a^2b-18ac = 9a(3ab-2c)

ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ 50ax^2-100a^2x
วิธีทำ…….50ax^2-100a^2x = 50ax(x-2a)

ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ 12x^2y^2-9x^2y
วิธีทำ…….12x^2y^2-9x^2y = 3x^2y(4y-3)

…….แต่ถ้าพหุนามมีหลายพจน์ ในการแยกตัวประกอบนอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่และสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (Factorization by Grouping) อีกด้วย ดังตัวอย่างต่อไปนี้

…….ab – 2ac + bc – 2c2   =   (ab – 2ac) + (bc – 2c2)
…………………………..=   a(b – 2c) + c(b – 2c)
…………………………..=   (b – 2c)(a + c)

ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบ 4a+4b+ca+cb
วิธีทำ…….4a+4b+ca+cb = 4(a+b)+c(a+b)
………………………………….= (a+b)(x+y)

ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบ 5ap-5aq+bp-bq
วิธีทำ…….5ap-5aq+bp-bq = 5a(p-q)+b(p-q)
………………………………….= (p-q)(5a+b)

ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบ 7x+xy-yz-7z
วิธีทำ…….7x+xy-yz-7z = x(7+y)-z(y+7)
………………………………….= (y+7)(x-z)

ตัวอย่างที่ 12 จงแยกตัวประกอบ px-qy+qx-py
วิธีทำ…….px+qx-qy-py = x(p+q)-y(q+p)
………………………………….= (p+q)(x-y)

ตัวอย่างที่ 13 จงแยกตัวประกอบ mn-mp+6p-6n
วิธีทำ…….mn-mp+6p-6n = m(n-p)+6(p-n)
………………………………….= m(n-p)-6(n-p)
………………………………….= (n-p)(m-6)

ตัวอย่างที่ 14 จงแยกตัวประกอบ 2xy-2xz-3wz+3wy
วิธีทำ…….2xy-2xz-3wz+3wy = 2x(y-z)-3w(z-y)
………………………………….= 2x(y-z)-3w\times (-1)(y-z)
………………………………….= 2x(y-z)+3w(y-z)
………………………………….= (y-z)(2x+3w)

…….เพื่อให้มีความเข้าใจมากยิ่งขึ้น ลองดูจากคลิปวิดีโอต่อไปนี้ครับ

…….จากนั้นนักเรียนแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ โดยการดาวน์โหลดใบงานไปฝึกทำลองดูนะครับ ได้ผลอย่างไร ให้ความเห็น ได้เลยครับ

หรือคลิกดาวน์โหลดที่ >>> Factorise by Common factor