Category Archives: คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน

มโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์

…….มโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อน  เป็นคำที่มาจากภาษาอังกฤษว่า “Misconceptions” หมายถึง ความเชื่อและความเข้าใจที่ได้มาจากแนวความคิดหรือความรู้ที่ไม่ถูกต้อง ความรู้ที่ไม่สมบูรณ์ คลุมเครือ ความคิดสำคัญหรือความคิดรวบยอดที่แตกต่างไปจากความเป็นจริง และเป็นความคิดที่ต่างไปจากแนวคิดที่ได้รับการยอมรับกันในสังคม อาจได้มาจากประสบการณ์ที่ไม่ถูกต้อง ไม่ชัดเจน ของแต่ละบุคคล
…….ในการสอนคณิตศาสตร์ครูผู้สอนมักประสบปัญหาเรื่อง นักเรียนมีมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนหรือมีสิ่งที่เป็นอุปสรรคต่อการเรียน ซึ่งถ้ามโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนนั้นไม่ได้รับการแก้ไขก็จะส่งผลต่อความล้มเหลวในการเรียนเนื้อหานั้นๆ และเนื้อหาที่ต่อเนื่องต่อไปด้วย ดังนั้นจึงเป็นสิ่งจำเป็นที่ผู้สอนจะต้องหาวิธีการอันใดที่จะทำให้มโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนต่างๆ ของนักเรียนลดน้อยลง ซึ่งจะเป็นการช่วยในการปรับปรุงการเรียนการสอนให้มีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น ความพยายามในการวินิจฉัยมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์ได้มีอย่างต่อเนื่อง ตั้งแต่การใช้วิธีที่ไม่เป็นทางการ เช่น การสังเกต การสอบถามนักเรียนเป็นรายบุคคล และต่อมาได้มีการนำเครื่องมือที่เป็นมาตรฐานมาใช้ในการวินิจฉัยมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางการเรียน อันได้แก่ แบบวัดสติปัญญา แบบสังเกต แบบการวิเคราะห์พฤติกรรมอื่นๆ แบบวัดความถนัด และแบบสอบวินิจฉัยการเรียน ลินควิสท์ (Lindquist, 1956 : 4) ได้กล่าวว่าในบรรดาเครื่องมือเหล่านี้ แบบสอบวินิจฉัยการเรียนสามารถแก้ปัญหาได้ตรงจุดที่สุด เพราะแบบสอบนี้สามารถบ่งชี้มโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนของนักเรียนโดยตรง อีกทั้งยังประหยัดเวลาและแรงงานของครูผู้สอนและช่วยเหลือนักเรียนให้รู้ข้อบกพร่องของตนเอง
…….มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์จึงเป็นสิ่งสำคัญที่ผู้เรียนจำเป็นต้องมี ครูคณิตศาสตร์จึงพยายามพัฒนามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ให้นักเรียนบรรลุวัตถุประสงค์การเรียนรู้ที่กำหนดไว้ทุกคน แต่ในความเป็นจริง พบว่าแม้นักเรียนจะได้รับการสอนจากครูคนเดียวกันและในเวลาเดียวกัน ก็ยังคงมีนักเรียนส่วนหนึ่งที่ไม่สามารถบรรลุวัตถุประสงค์การเรียนรู้ตามที่กำหนดได้ อาจเนื่องมาจากความแตกต่างของนักเรียนทั้งทางด้านสติปัญญา ความถนัด ความสนใจ รวมทั้งความบกพร่องในการจัดการเรียนการสอนของครู ซึ่งได้นำไปสู่ปัญหาสำคัญได้แก่ การที่นักเรียนมีมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อน
……..วันนี้ผมไฟล์เอกสารที่ได้รับเมื่อครั้งที่ไปเข้ารับการอบรม ครูผู้นำการเปลี่ยนแปลงคณิตศาสตร์ หลักสูตร PCK รุ่นที่ 1 ของ สสวท. ณ โรงแรมแอมบาสเดอร์ กรุงเทพฯ โดยมีวิทยากรแกนนำ อ.วัลลภา บุญวิเศษ โรงเรียนเบ็ญจะมะมหาราช จังหวัดอุบลราชธานี และอ.มยุรี สาลีวงศ์ โรงเรียนสตรีสิริเกศ จังหวัดศรีสะเกษ ได้มาให้ความรู้เกี่ยวกับมโนทัศน์ที่คลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์  ซึ่งเห็นว่าน่าจะเป็นประโยชน์กับเพื่อนครูคณิตศาสตร์และผู้ที่สนใจทั่วไป

เอกสารชนิด ppt ดาวน์โหลดที่ Misconception in Mathematics

Advertisements

นิทานเรื่อง “คนตัดต้นไม้”

…….มีคนตัดไม้คนหนึ่ง นำฟืนไปขายให้แก่ร้านขายฟืนเป็นประจำ ซึ่งร้านขายฟืนก็ปฏิบัติต่อคนตัดไม้ดีมาก ดังนั้นคนตัดไม้จึงคิดอยากตอบแทน โดยการจะตัดไม้ให้ได้เป็นจำนวนมากๆ ในวันแรกคนตัดไม้ตัดไม้ได้ 20 ต้น แล้วนำมาให้ร้านขายฟืนซึ่งร้านขายฟืนก็ชมเชยและปฏิบัติต่อคนตัดไม้อย่างดี แต่พอในวันที่ 2 คนตัดไม้ก็ตั้งใจจะตัดให้ได้มากขึ้น. แต่ปรากฏว่ากลับตัดได้เพียง 18 ต้น ในวันรุ่งขึ้นก็กะว่าจะตัดให้ได้มากยิ่งขึ้น. . .แต่ก็กลับเหลือ 16 ต้น . . ยิ่งนับวันผ่านไปเรื่อยๆก็ตัดได้น้อยลงเรื่อยๆ จนในที่สุดคนตัดไม้ก็รู้สึกละอายใจ จึงไปกล่าวคำขอโทษกับทางร้านขายฟืน. . . . แต่เจ้าของร้านขายฟืนก็กลับถามคนตัดไม้ว่า  “คุณลับขวานครั้งสุดท้ายเมื่อไหร่ ”  คนตัดไม้ตอบว่า ผมไม่มีเวลาหยุดลับขวานเลย เพราะขนาดไม่หยุดยังตัดไม้ได้น้อยขนาดนี้ ซึ่งเจ้าของร้านก็บอกแก่คนตัดไม้ว่า คุณลองคิดดูสิว่า. . หากคุณหยุดลับขวานให้คม โดยเสียเวลาเพียงเล็กน้อย . . . .คุณอาจตัดไม้ได้มากกว่านี้ก็ได้

นิทานเรื่องนี้สอนอะไรเรา

…….1.การทำงานนอกจากจะรักงาน หรือ มีฉันทะ ,มีความเพียร(วิริยะ) ความตั้งใจเอาใจจดจ่ออยู่กับงาน(จิตตะ) ยังไม่พอ ต้องใช้ สติปัญญาทบทวน ใคร่ครวญหาสาเหตุข้อบกพร่องของงานเพื่อทำให้ดียิ่งขึ้น
…….2.การทำงานโดยไม่หยุดพัก ทำให้เราพลาดโอกาสในการมองเห็นความสุขของเนื้องาน การมุ่งแต่เป้าหมายไม่สนใจระหว่างทางก็ทำให้เราไม่ซาบซึ้งกับความสุขที่ได้ทำงาน ต้องใช้วิธีของเณรน้อยเจ้าปัญญา อิกคิวซัง บอกตนเองว่า “จะรีบไปไหน จะรีบไปไหน…พักเดี๋ยวหนึ่งสิครับ” รับรองได้เห็นอะไรดี ๆ อีกมากครับ
…….3.การเสียเวลาลับคมขวานก็เหมือนกับการศึกษาหาความรู้ โดยเข้าห้องรับการฝึกอบรม จริงอยู่ว่ามันเสียเวลา แต่สิ่งที่ได้จากการศึกษาอบรมอาจจะช่วยทำให้เราทำงานได้ดีขึ้น

…….“เปรียบได้กับการทำงาน ถ้าคุณก้มหน้าก้มตาทำโดยไม่หยุดพัก หยุดคิด และปรับปรุงให้ดีขึ้นอยู่เสมอ ก็เปรียบได้กับคนตัดไม้ . . . คุณก็จะล้าลงไปเรื่อย ” 

…….ชีวิตของพวกเราก็เช่นกัน บางครั้งเรามุแต่จะทำให้ได้ตามผลที่ตั้งใจไว้ จนเผลอไผลไม่มีเวลาจะลับขวานภายในของเราให้คมอยู่เสมอ ในโลกทุกวันนี้ดูเหมือนทุกคนจะยุ่งมากขึ้นแต่กลับมีความสุขน้อยลงกว่าเคย ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น? เป็นไปได้หรือเปล่าที่ว่า พวกเราลืมที่จะมีชีวิตอยู่อย่างชาญฉลาดที่จะลับชีวิตของเราให้คม ไม่ผิดที่เราจะทำงานหนัก แต่เราไม่ควรวุ่นวายจนละเลยสิ่งที่สำคัญในชีวิต เช่น ชีวิตส่วนตัว การเอาใจใส่ผู้อื่น การให้เวลากับการอ่านหนังสือ และอื่นๆ เราทุกคนต้องการเวลาที่จะผ่อนคลาย ที่จะคิด ที่จะสร้างสมาธิ และที่จะได้เรียนรู้และเติบโต ถ้าเราไม่ยอมใช้เวลาที่จะลับคมให้แก่ชีวิตของเรา เราจะกลายเป็นผู้ที่โง่เขลาและสูญเสียซึ่งประสิทธิผลและศักยภาพของเรา เป็นความรับผิดชอบของเราที่จะต้องรักษาและพัฒนาศักยภาพของตน เพราะมันจะเป็นส่วนหนึ่งที่จะรับประกันความสำเร็จ และความเป็นที่ต้องการในอาชีพของตัวเรา
…….ท่านจำได้หรือไม่ว่า ได้อ่านหนังสือดี ๆ เข้าคอร์สอบรมอะไรบ้าง หรือได้อ่านบทความประเภทคมลึก มีแง่คิดทั้งด้านวิชาการและปรัชญา หรือกระทั่งการผ่อนคลาย คลายเครียด ด้วยการดูหนัง ละคร (แล้วย้อนดูตัว) เข้าสปา ไปเที่ยวพักผ่อน ทุกอย่างนี้ ล้วนเป็นการลับขวานภายในตัวเราเอง เพื่อเรียกคืนพลังของการมีชีวิตอยู่ดี

คณิตศาสตร์ (mathematics) คืออะไร ?

…….คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับ โครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้างการเปลี่ยนแปลง, และปริภูมิกล่าวคร่าวๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ “รูปร่างและจำนวน” เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์

 …….คำว่า “คณิตศาสตร์” (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (การนับ หรือ คำนวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ. คำนี้ตรงกับคำภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคำภาษากรีก μάθημα (máthema) แปลว่า “วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน” และคำว่า μαθηματικός (mathematikós) แปลว่า “รักที่จะเรียนรู้”. ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า math ส่วนประเทศอื่นๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths

…….ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ ผ่านทางการวิจัยและการประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมืออันหนึ่งของวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การคิดค้นทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีเป้าหมายอยู่ที่การนำไปใช้ทางวิทยาศาสตร์ (ดู คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์)

…….โครงสร้างต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพิจารณานั้น มักจะมีต้นกำเนิดจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์. ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยังเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และทฤษฎีการสื่อสาร อีกด้วย

…….เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้กิจกรรมทุกอย่างกระทำผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่า เป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยำและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และไวยากรณ์บางอย่าง สำหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม. ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์

…….คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆ จากโลกภายนอก. นักคณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน

…….นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทำงานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้น โดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนำไปประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี. เอช. ฮาร์ดี ที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ A Mathematician’s Apology) ; แรงผลักดันในการทำงานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนักปรัชญาได้ประสบ และเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้. อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas and Opinions ของเขา

…….องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขาคณิตศาสตร์ ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ สถิติศาสตร์ และแคลคูลัส เป็นหลักสูตรแกนในการศึกษาขั้นพื้นฐาน แม้ว่าจะได้มีการพัฒนาและขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่าเป็นสาขาวิชาเดี่ยว ที่มีลักษณะแตกต่างจากสาขาอื่นๆ

เพลงคณิตศาสตร์

…….วันนี้ผมมีเพลงคณิตศาสตร์…ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ทั้งในห้องเรียนและค่ายคณิตศาสตร์มาให้เพื่อนครูคณิตศาสตร์และบุคคลทั่วไปที่สนใจได้นำไปฝึกร้องและใช้ในการเรียนการสอน ซึ่งเพลงทั้งหมดที่นำเสนอเป็นลิขสิทธิ์ของมหาวิทยาลัยที่ราชภัฏพระนคร  โดยท่านอาจารยสมวงษ์ แปลงประสพโชคและคณะเป็นคนแต่ง หากท่านใดต้องการไฟล์เพลงที่ไป CD หรือ Mp3 มหาวิทยาลัยที่ราชภัฏพระนครมีจำหน่ายนะครับ   ส่วนเนื้อเพลงจะค่อย ๆ ทะยอยนำเสนอต่อไปนะครับ

1.  มาร้องเพลงกัน

ป่าม ป้าม ป่าม ปาม   ป่าม ปาม ปาม  ป่าม   ป้าม ปาม ปาม ๆ ๆ ๆ
มา ๆ ๆ ๆ ๆ มาเถิดเรามา มาร้องเพลงกัน  (เฮ !)  ลืมความทุกเร็วพลัน   สนุกสุขสันต์กันให้เต็มทรวง
เรียนคณิตวันนี้ไม่ควรมีความทุกข์ทั้งปวง  วิชาคณิตชื่นทรวงไม่หลอกไม่ลวงพาเราชื่นใจ  (ซ้ำอีกรอบ)

2.  ไปตลาด

มีเงินอยู่  10  บาท ฉันไปตลาดไปซื้อของมา   ซื้อไป 3 บาทแล้วหนา ๆ  คงเหลือเงินตรามีค่า 7 บาท
มีเงินอยู่  17  บาท ฉันไปตลาดไปซื้อของมา   ซื้อไป 9 บาทแล้วหนา ๆ  คงเหลือเงินตรามีค่า 8 บาท
มีเงินอยู่  6  บาท ฉันไปตลาดไปขายของมา   ขายได้ 3 บาทแล้วหนา ๆ  คงได้เงินตรามีค่า 9 บาท
มีเงินอยู่  9  บาท ฉันไปตลาดไปขายของมา   ขายได้ 6 บาทแล้วหนา ๆ  คงได้เงินตรามีค่า 15 บาท

3.  บวกผลลัพธ์ไม่เกิน 5

มีกา 2 ตัว กาบินมา 1 ตัว รวมมีกากี่ตัว รวมมีกา 3 ตัว
มีกา 3 ตัว กาบินมา 2 ตัว รวมมีกากี่ตัว รวมมีกา 5 ตัว
มีกา 2 ตัว กาบินมากี่ตัว รวมมีกา 5 ตัว กาบินมา 3 ตัว
มีกา 3 ตัว กาบินมากี่ตัว รวมมีกา 5 ตัว กาบินมา 2 ตัว
เดิมมีกากี่ตัว  กาบินมา 1 ตัว รวมมีกา 5 ตัว  เดิมมีกา 4 ตัว
เดิมมีกากี่ตัว  กาบินมา 4 ตัว รวมมีกา 5 ตัว  เดิมมีกา 1 ตัว Read the rest of this entry

ทำไมลบคูณลบจึงเป็นบวก

…….นักเรียนเคยแปลกใจหรือไม่ว่า ทำไม (-2)(-3) = +6 หากนึกย้อนกลับไปสมัยที่ยังคงอยู่ในห้องเรียนหรือโรงเรียน ครูผู้สอนมักจะเปรียบเทียบให้ฟังว่า เรื่องนี้ก็อุปมาได้กับการพูดปฏิเสธซ้อนกันในประโยคเดียวกันนั่นเอง เช่น ข้าพเจ้าไม่ไม่ไป ซึ่งก็แปลว่า ข้าพเจ้าไป นั่นเอง แม้อุปมาเช่นนี้จะช่วยเตือนความจำได้ดี แต่ ก็ไม่ได้เป็นการพิสูจน์แต่อย่างใด เราสามารถทำความเข้าใจเรื่องนี้อย่างจริง ๆ ได้โดยใช้สมบัติการแจกแจง
………. เช่น  2(a + b) = 2a + 2b
นั่นคือ เราได้แจกแจง 2 เข้าไปให้แก่ a และ b ภายในวงเล็บ ถ้ายอมรับว่ากฏนี้เป็นจริง ก็จะพิสูจน์เรื่องนี้ได้ดังต่อไปนี้
.(-2)(-3)  =  (-2)(-3) + (0)(3)
…………… =  (-2)(-3) + (-2 + 2)(3)
…………… =  (-2)(-3) + (-2)(3) + (2)(3)
…………… =  (-2)(-3 + 3) + (2)(3)
…………… =  (-2)(0) + (2)(3)
…………… =  + (2)(3)
…………… =  +6
ไม่ว่า จะใช้จำนวนใด ๆ สามารถใช้แทนเลข 2 และ 3 ก็จะได้ผลลัพธ์เดียวกัน