Category Archives: คณิตพื้นฐาน ม.5

ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)

…….ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n+ 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม (common difference)
……ถ้าให้ d เป็นผลต่างร่วม จะได้ว่า d = a_{n+1} - a_{n} ซึ่งจะได้พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต คือ

…………………………a_{n} = a_{1} + (n-1)d

…..ซึ่งเราสามารถใช้สูตรพจน์ทั่วไปหาลำดับที่ต้องการของลำดับเลขคณิตได้ เช่น
…….a_{20} = a_{1} + 19d  หรือ  a_{20} = a_{15} + 5d  หรือ  a_{20} = a_{8} + 12d

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดลำดับเลขคณิต  4, 9, 14, 19, . . . จงหาผลบวกของพจน์ที่  10  และพจน์ที่  15
วิธีทำ……จากลำดับเลขคณิต  4, 9, 14, 19, . . . จะได้ a_{1} = 4 และ d = 9-4 = 5
……..a_{10}+a_{15} = (a_{1}+9d) + (a_{1}+14d)
…………………= 2a_{1}+23d = 2(4)+23(5)
…………………= 8+115 = 123

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ที่ 31 ของลำดับเลขคณิต -\frac{1}{20}, -\frac{1}{30}, -\frac{1}{60}, . . . [ONET 51]
วิธีทำจากลำดับ จะได้ d = -\frac{1}{30}- (-\frac{1}{20}) = \frac{-2+3}{60} = \frac{1}{60}
………. a_{31} = a_{1} + 30d
..แทนค่า..a_{31} = (-\frac{1}{20}) + 30(\frac{1}{60}) = -\frac{1}{20} + \frac{10}{20}
………………= \frac{9}{20}

ตัวย่างที่ 3 ถ้าพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 10 ของลำดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลำดับ แล้วพจน์ที่ 99 เท่ากับเท่าใด[ONET 56]
วิธีทำโจทย์กำหนดให้ a_{5} = 14, a_{10} = 29 หา a_{99}
….หา d ; ….a_{10} = a_{5} + 5d
แทนค่า….29 = 14 + 5d
……………….d = 3
และa_{99} = a_{10} + 89d = 29 + 89(3)
……………..= 29 + 267 = 296

ตัวอย่างที่ 4 ลำดับ -24, -15, -6, 3, 12, 21, . . . , 1776 มีกี่พจน์[ONET 57]
วิธีทำจะเห็นว่าแต่ละคู่เพิ่มขึ้นอย่างคงที่ ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต โดยมี d = 9 และ a_{1} = -24
….จะหาว่ามีกี่พจน์ ต้องหาว่า พจน์สุดท้ายคือพจน์ที่เท่าไหร่ โดยแทน a_{n} = พจน์สุดท้าย แล้วแก้หาค่า n
……จากa_{n} = a_{1} + (n-1)d
แทนค่า1776 = -24 + (n-1)(9)
………………..n = \frac{1776+24}{9} + 1 = 200 + 1
………………….= 201

ตัวอย่างที่ 5 ลำดับเลขคณิต -43, -34, -25, . . . มีพจน์ที่มีค่าน้อยกว่า300 อยู่กี่พจน์ [ONET 54]
วิธีทำ….ลำดับเลขคณิต d = (-34)-(-43) = 9
………….พจน์ทั่วไปคือ a_{n} = 9n - 52 จะหา n จาก a_{n} < 300
…….แทนค่า…….9n-52 < 300
…………………………n < \frac{352}{9}
…………………………n < 39.11
….แต่จำนวนพจน์เป็นจำนวนนับ ดังนั้น จำนวนพจน์ที่น้ยกว่า 300 มี 39 พจน์

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริง ถ้า 5-7x, 3x+28, 5x+27, . . . , 2x^3-3x+1 เป็นลำดับเลขคณิต แล้วลำดับนี้มีกี่พจน์ [ONET 57]
วิธีทำหา d  ; ….a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}
……………..(3x+28) - (5-7x) = (5x+27) - (3x+28)
………………..10x+23 = 2x-1
…………………x = -3
แทนค่า จะได้ลำดับเป็น26, 19, 12, . . . , -44
หา n จากสูตร a_{n} = a_{1} + (n-1)d
แทนค่า-44 = 26 + (n-1)(-7)
………………..n = \frac{-44-26}{-7} + 1 = 10 + 1
………………….= 11

…..เพื่อให้นักเรียนมีความเข้าใจเกี่ยวกับการหาพจน์ทั่วไป และพจน์ที่เราต้องการในลำดับเลขคณิต เราลองไปดูคลิปวิดีโอซึ่งสอนโดย อ.ชัยรัตน์ เจษฎารัตติกร (อ.เจี๋ย) ไปดูกันเลยครับ

Advertisements

ลำดับและพจน์ทั่วไป (Sequence and general term)

…….ลำดับ (Sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ที่เรียงกัน n จำนวนแรก หรือโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ลำดับมี 2 ลักษณะ คือ ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์
…….ลำดับจำกัด (finite sequence) คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n จำนวนแรก
…….ลำดับอนันต์ (Infinite sequence) คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
…….นิยมเขียนฟังก์ชันในรูป a_{n} คือใช้ a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n} แทน f(1), f(2), f(3), ..., f(n)  เพื่อให้ทราบว่าเป็นลำดับ (มีโดเมนเป็นจำนวนนับเท่านั้น)  เรียก a_{1} ว่า “พจน์ (term) ที่ 1″ ของลำดับ, เรียก a_{2} ว่า “พจน์ (term) ที่ 2” ของลำดับ, ไปเรื่อย ๆ จนถึงพจน์ที่ n ใด ๆ เขียนแทนด้วย a_{n} จะเรียกว่า พจน์ทั่วไป (general term) ของลำดับ

ตัวอย่างของลำดับ
…..1) 5, 10, 15, 20, …………..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = 5n
…..2) 2, 4, 8, 16, ……………..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = 2^n
…..3) –1, –3, –5, –7, –9, ……..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = 1-2n
…..4) 1, -2, 3, -4, … …………..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = (-1)^{n-1}n

…….การเขียนพจน์ทั่วไปของลำดับ  เป็นการเขียนลำดับที่นิยมกำหนดให้อยู่ในรูปของตัวแปร  n  โดย  n  แทนลำดับที่ของพจน์นั้นเอง  เช่น  a_{n} = 5n  เมื่อแทน  n  ด้วย  1,  2,  3,  4,  5  จะได้ลำดับดังนี้  5,  10,  15,  20,  25

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับ a_{n} = \frac{2-(-1)^nn}{2n+3}[ONET-57]
วิธีทำ…..a_{1} = \frac{2-(-1)^1\cdot 1}{2(1)+3} = \frac{2-(-1)}{2+3} = \frac{3}{5}
…………a_{2} = \frac{2-(-1)^2\cdot 2}{2(2)+3} = \frac{2-(1)2}{4+3} = \frac{0}{7} = 0
…………a_{3} = \frac{2-(-1)^3\cdot 3}{2(3)+3} = \frac{2-(-1)3}{6+3} = \frac{5}{9}
…………a_{4} = \frac{2-(-1)^4\cdot 4}{2(4)+3} = \frac{2-(1)4}{8+3} = -\frac{2}{11}
…………a_{5} = \frac{2-(-1)^5\cdot 5}{2(5)+3} = \frac{2-(-1)5}{10+3} = \frac{7}{13}

ตัวอย่างที่ 2 ผลบวก 3 พจน์แรกของลำดับ a_{n} = \frac{(-1)^{n+1}n}{n+1} เท่ากับเท่าใด [ONET-56]
วิธีทำa_{1} = \frac{(-1)^{1+1}\cdot 1}{1+1} = \frac{(-1)^2\cdot 1}{2} = \frac{1}{2}
………..a_{2} = \frac{(-1)^{2+1}\cdot 2}{2+1} = \frac{(-1)^3\cdot 2}{3} = -\frac{2}{3}
………..a_{3} = \frac{(-1)^{3+1}\cdot 3}{3+1} = \frac{(-1)^4\cdot 3}{4} = \frac{3}{4}
….. ดังนั้นa_{1}+a_{2} + a_{3} = \frac{1}{2}+(-\frac{2}{3})+\frac{3}{4} = \frac{6-8+9}{12} = \frac{7}{12}

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า a_{1} = 2, a_{2} = 1 และ a_{n+2} = a_{n+1}+a_{n} เมื่อ n = 1, 2, 3, ... แล้ว a_{11} เท่ากับเท่าใด [ONET-56]
วิธีทำa_{n+2} = a_{n+1}+a_{n} หมายความว่า แต่ละพจน์จะเท่ากับสองพจน์ก่อนหน้าบวกกันนั่นเอง
………..a_{3} = a_{2}+a_{1} = 1+2 = 3
………..a_{4} = a_{3}+a_{2} = 3+1 = 4
………..a_{5} = a_{4}+a_{3} = 4+3 = 7
…………………\vdots
….จะได้เป็น 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123
……. ดังนั้น a_{11} = 123

ตัวย่างที่ 4 ใน 40 พจน์แรกของลำดับ a_{n} = 3+(-1)^n มีกี่พจน์ ที่มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 40 [ONET-53]
วิธีทำพจน์ที่ 40 หรือ a_{40} = 3+(-1)^{40} = 3+1 = 4
………. พจน์ที่จะมีค่าเท่ากับ พจน์ที่ 40 จะต้องเป็นพจน์ของลำดับเลขคู่ เพราะจะต้องทำให้ (-1)^n = 1 เหมือนพจน์ที่ 40  ดังนั้น คำตอบคือจำนวนคู่ตั้งแต่ 2 จนถึง 40 นั่นเอง
……..จะได้เป็น a_{2}, a_{4}, a_{6}, . . . , a_{40} มีทั้งหมด 20 พจน์

ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลบวก 4 พจน์แรกของลำดับ a_{n} =\frac{2^{n+1}+(-1)^n}{3} [โควตา มช.52]
วิธีทำa_{1} = \frac{2^{1+1}+(-1)^1}{3} = \frac{2^2+(-1)}{3} = \frac{3}{3} = 1
………..a_{2} = \frac{2^{2+1}+(-1)^2}{3} = \frac{2^3+(1)}{3} = \frac{9}{3} = 3
………..a_{3} = \frac{2^{3+1}+(-1)^3}{3} = \frac{2^4+(-1)}{3} = \frac{15}{3} = 5
………..a_{4} = \frac{2^{4+1}+(-1)^4}{3} = \frac{2^5+(1)}{3} = \frac{33}{3} = 11
…..ดังนั้นa_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} = 1+3+5+11 = 20

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดลำดับ \frac{4}{3}, \frac{5}{6}, \frac{6}{9}, \frac{7}{12}, . . . จงหาพจน์ทั่วไป [NT]
วิธีทำa_{1} = \frac{4}{3} = \frac{1+3}{3(1)}
………..a_{2} = \frac{5}{6} = \frac{2+3}{3(2)}
………..a_{3} = \frac{6}{9} = \frac{3+3}{3(3)}
………..a_{4} = \frac{7}{12} = \frac{4+3}{3(4)}
…………….\vdots
………..a_{n} = \frac{n+3}{3n}

……เป็นอย่างไรบ้างครับ พอจะเข้าใจความหมายของลำดับและพจน์ทั่วไปกันบ้างไหมเอ่ย เพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้นเรามาลองดูจากคลิปวิดีโอกันต่อเลยครับ

การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

…….การทดลองสุ่ม (Random Experiment) หมายถึง การทดลองหรือการทำงานที่ไม่สามารถบอกผลของการทำงานในครั้งนี้ได้ แต่สามารถบอกผลของการทำงานที่อาจจะเกิดขึ้นทั้งหมดได้ เช่น
……. การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง จะเกิดผลลัพธ์ได้ทั้งหมด 2 วิธี คือเหรียญอาจจะเกิดหัว (H) หรือก้อย (T) ซึ่งไม่สามารถบอกได้แน่นอนว่าจะเกิดหัวหรือก้อย

……. แซมเปิลสเปซ (Sample Space)  หมายถึง  เซตของผลการทดลองหรือการทำงานนั้น ๆ  ทั้งหมด  มีสมาชิกเป็นวิธีต่าง ๆ ที่อาจจะเกิดขึ้น  นำมาเขียนแจกแจงในรูปแบบต่าง ๆ อย่างครบถ้วน  แต่ละวิธีที่เกิดขึ้นจึงเป็นสมาชิกของเซต

ตัวอย่างที่ 1 จงหาแซมเปิลสเปซของการโยนเหรียญ 1 อัน สองครั้ง
วิธีทำ   S = S = \left \{ HH, HT, TH, TT \right \}

ตัวอย่างที่ 2 จงหาแซมเปิลสเปซของการตรวจสินค้า 3 ชิ้น เพื่อดูว่าดีหรือเสีย
วิธีทำ  ให้ A = ดี  B = เสีย จะได้
………. S = \left \{ AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB \right \}

ตัวอย่างที่ 3 จงหาแซมเปิลสเปซของการหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกล่องที่มีลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีฟ้า 2 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก
วิธีทำ  ให้  ข1 = ขาวลูกที่ 1,  ข2 = ขาวลูกที่ 2,  ฟ1 = ฟ้าลูกที่1,  ฟ2 = ฟ้าลูกที่ 2,  ล = ลูกบอลสีเหลือง
…….. S = { ข1ข2, ข1ฟ1, ข1ฟ2, ข1ล, ข2ฟ1, ข2ฟ2, ข2ล, ฟ1ฟ2, ฟ1ล, ฟ2ล }

 

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การทดลองสุ่ม (Random Experiment)

หลักเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (Principle of Counting)

…….ในชีวิตประจำวันเรามักจะพบปัญหาเกี่ยวกับการนับจำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้ หรือจำนวนวิธีในการจัดชุดของสิ่งของต่าง ๆ เช่น การจัดชุดเสื้อผ้า การจัดการแข่งขันกีฬา การจัดชุดอาหาร เป็นต้น การคำนวณเพื่อหาคำตอบสำหรับปัญหาประเภทต่าง ๆ ดังกล่าว จะทำได้ง่ายและสะดวกรวดเร็วขึ้น ถ้าเข้าใจกฏเกณฑ์บางข้อ ซึ่งเรียกว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ

…….กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้  n_{1} วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n_{2} วิธี จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานทั้งสองอย่างเท่ากับ.. n_{1}\cdot n_{2} ..วิธี

…….กฎข้อที่ 2 ถ้างานอย่างแรกมีวิธีทำได้ n_{1} วิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n_{2} วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สามได้ n_{3} วิธี ฯลฯ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่าง เท่ากับ ..n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}\cdot \cdots n_{k}..วิธี

ตัวอย่างที่ 1 มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตัว จะจัดเป็นชุดที่ไม่ซ้ำกันได้กี่แบบ …….ตอบ3\times 4 = 12 แบบ
……………มีเรือวิ่งข้ามฟาก 3 ลำ จะนั่งเรือไปและกลับไม่ให้ซ้ำลำกันได้กี่วิธี …….ตอบ 3\times 2 = 6 วิธี
……………ทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง จะมีผลออกมาได้กี่แบบ ……. ตอบ6\times 6 = 36 แบบ

ตัวอย่างที่ 2 ใช้ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 มาสร้างจำนวน 3 หลัก จะสร้างได้กี่จำนวน ถ้ากำหนดให้
…..1) แต่ละหลักไม่ซ้ำกัน …….ตอบ 5\times 5\times 4 = 100 จำนวน
…..2) เป็นจำนวนคี่และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน …….ตอบ 4\times 4\times 3 = 48จำนวน
…..3) มีค่ามากกว่า 350 และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน……. ตอบ \left ( 1\times 1\times 3 \right )+\left ( 2\times 5\times 4 \right ) = 43 จำนวน
…..4) หารด้วย 10 ลงตัว……. ตอบ 1\times 5\times 6 = 30 จำนวน

ตัวอย่างที่ 3 บริษัทรถยนต์แห่งหนึ่งตัวถังรถยนต์ออกมา 2 แบบ มีเครื่องยนต์ 2 ขนาด และสีต่าง ๆ กัน 3 สี ถ้าต้องการแสดงรถยนต์ให้ครบทุกแบบ ทุกขนาดและทุกสี จะต้องใช้รถยนต์อย่างน้อยที่สุดกี่คัน
….วิธีทำ  เลือกตัวถังแล้วเลือกเครื่องยนต์แล้วเลือกสีได้ 2\times 2\times 3 = 12 คัน

ตัวอย่างที่ 4 จัดคน 10 คน นั่งเก้าอี้ 3 ตัว ซึ่งวางเรียงเป็นแถวเดียวกันได้ทั้งหมดกี่วิธี
….วิธีทำ  จัดคนเข้านั่งได้  10\times 9\times 8 = 720 วิธี

ตัวอย่างที่ 5 ข้อสอบฉบับหนึ่งมี 10 ข้อเป็นแบบถูก – ผิด จะมีวิธีตอบข้อสอบที่ไม่ซ้ำกันเลยได้ทั้งหมดกี่วิธี
….วิธีทำ…..ทำแบบทดสอบได้  2\times 2\times 2 \times \cdots \times 2 = 2^{10} = 1024 วิธี

ตัวอย่างที่ 6 ในการเลือกตั้งคณะกรรมการชุดหนึ่งจะประกอบไปด้วย ประธาน รองประธาน เหรัญญิก และเลขานุการ โดยที่กรรมการแต่ละคนจะดำรงตำแหน่งได้เพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ถ้ามีผู้สมัครทั้งหมด 6 คน เป็นชาย 2 คน เป็นหญิง 4 คน ผลการเลือกตั้งกรรมการชุดนี้จะมีได้ทั้งหมดกี่แบบที่ต่างกัน โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ6\times 5\times 4\times 3 = 360 แบบ
……. 2. กำหนดให้ประธานเป็นชาย และเลขาต้องเป็นหญิง …….ตอบ2\times 4\times 4\times 3 = 96 แบบ
……. 3. กรรมการต้องเป็นหญิงล้วน …….ตอบ4\times 3\times 2\times 1 = 24 แบบ

ตัวอย่างที่ 7 หมายเลขโทรศัพท์เคลื่อนที่ที่ขึ้นต้นด้วย 086720 xxxx จะมีทั้งหมดกี่หมายเลข
….วิธีทำ…..เลือกหมายเลขขึ้นต้นได้ 1 วิธีจากนั้นเลือกอีก 4 หมายเลขที่เหลือได้ จะได้ 1\times 10\times 10\times 10\times 10 = 10,000 หมายเลข

ตัวอย่างที่ 8 จากอักษรในคำว่า “PHYSIC” นำมาสร้างคำใหม่ประกอบด้วย 3 อักษร ต่างกัน (ไม่สนใจความหมายของคำเหล่านั้น) โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ6\times 5\times 4 = 120 วิธี
……. 2. ต้องเป็นพยัญชนะทั้งหมด …….ตอบ5\times 4\times 3 = 60 วิธี

ตัวอย่างที่ 9 ห้องประชุมแห่งหนึ่งมี 3 ประตู จงหาวิธีในการเดินเข้า – ออกห้องประชุม โดยมีเงื่อนไขต่างกัน ดังนี้
……. 1. จำนวนวิธีในการเดินเข้า …….ตอบ3 วิธี
……. 2. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก …….ตอบ3\times 3 = 9 วิธี
……. 3. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก โดยไม่ซ้ำประตูกัน …….ตอบ3\times 2 = 6 วิธี
……. 4. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก โดยใช้ประตูเดิม …….ตอบ3\times 1 = 3 วิธี

ตัวอย่างที่ 10 จดหมายแตกต่างกัน 3 ฉบับ ต้องการทิ้งจดหมายในตู้ไปรษณีย์ 4 ตู้ จะทิ้งได้กี่วิธี โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ4\times 4\times 4 = 64 วิธี
……. 2. ห้ามทิ้งซ้ำตู้กัน …….ตอบ4\times 3\times 2 = 24 วิธี

ตัวอย่างที่ 11 ครูมีหนังสือ 4 เล่มแตกต่างกัน ถ้าต้องการแจกให้นักเรียน 5 คน จงหาจำนวนวิธีแจกหนังสือโดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไข …….ตอบ5\times 5\times 5\times 5 = 5^4 = 625 วิธี
……. 2. ไม่มีใครได้หนังสือเกิน 1 เล่ม …….ตอบ5\times 4\times 3\times 2 = 120 วิธี

เพื่อที่จะให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น ให้ศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้นะครับ

หลังจากนั้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 1.1 และ 1.2 ไปลองทำเป็นการบ้านดูนะครับ เพื่อให้เกิดทักษะ กระบวนการเรียนรู้ มากยิ่ง ๆ ขึ้นไป

แบบฝึกหัดที่ 1.2 กฏการนับเบื้องต้น (O-NET)

หรือดาวน์โหลดที่ >>>  แบบฝึกหัดที่ 1.1 กฏการนับเบื้องต้น แบบฝึกหัดที่ 1.2 กฏการนับเบื้องต้น