Category Archives: คณิตพื้นฐาน ม.4
จำนวนจริง (Real Numbers)
……. จำนวนซึ่งมนุษย์คิดขึ้นเป็นครั้งแรก เป็นจำนวนที่ใช้สำหรับนับสิ่งของ นับสัตว์เลี้ยง เมื่อนำจำนวนเหล่านี้มาเขียนเป็นเซต เรียกว่า เซตของจำนวนนับ โดยแทนชื่อเซตนี้ด้วย.... คือ
……………………..
…….สมบัติของจำนวนนับ เมื่อนำจำนวนนับมาบวกกัน ผลบวกที่ได้จะเป็นจำนวนนับเสมอ สมบัติข้อนี้เรียกว่า สมบัติปิดของการบวก และเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ด้วย “ถ้า ....และ..
.. แล้ว..
”
…….จากการมีเฉพาะจำนวนนับ เกิดปัญหาขึ้นเมื่อนำจำนวนนับบางคู่มาลบกัน หารกัน กระทำไม่ได้ จึงคิดจำนวนเต็มลบ จำนวนตรรกยะ และจำนวนศูนย์ขึ้น ทำให้ปัญหาที่เกิดขึ้นหายไป จำนวนเต็มลบ ได้แก่ .... จำนวนศูนย์คือ..
.. จำนวนเหล่านี้ช่วยแก้ปัญหา เช่น การหาคำตอบของสมการ ..
.. เมื่อ..
.. และจำนวนตรรกยะ เช่น ..
.. ช่วยแก้ปัญหาการหาคำตอบของสมการ ..
.. เมื่อ..
..
……. เมื่อนำเซตของจำนวนนับ .... กับเซตของจำนวนศูนย์และจำนวนเต็มลบ ..
.. มายูเนียนกัน จะได้เซตใหม่ เรียกว่า เซตของจำนวนเต็ม (Integer)
…………………….
…….จำนวนตรรกยะ (Rational number) หมายถึง จำนวนที่เขียนอยู่ในรูปเศษส่วน ....โดยที่
..และ..
.. ใช้สัญลักษณ์ …
… ซึ่งพบว่าจำนวนตรรกยะ ประกอบด้วย
…….1) จำนวนเต็ม เช่น ..,…
,…
…….2) จำนวนที่เป็นเศษส่วนโดยส่วนไม่เท่ากับศูนย์ เช่น..,…
,…
…. .3) จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ เช่น ..,…
…….4) จำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำ เช่น
………………. …………………………..
……………….…………………………..
……………….
……. เซตของจำนวนตรรกยะ มีคุณสมบัติปิดของการบวก การลบ การคูณ และการหาร เมื่อตัวหารไม่เป็นศูนย์
…….จำนวนอตรรกยะ (Irrational number) หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ แต่สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำได้ ใช้สัญลักษณ์…… เช่น
……………………….
……………………….
……………………….
……. จำนวนจริง (Real Number) คือ เซตที่เกิดจากเซตของจำนวนตรรกยะยูเนียนกับเซตของจำนวนอตรรกยะ ใช้สัญลักษณ์ ..
……..อินเตอร์เซกชันของเซตจำนวนตรรกยะกับเซตของจำนวนอตรรกยะ....เป็นเซตว่าง..
..กล่าวคือ ไม่มีจำนวนจริงใดที่เป็นทั้งจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะพร้อม ๆ กัน
……. ให้นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง จำนวนจริงและสมบัติของจำนวนจริง ไปฝึกลองทำดูนะครับ
หรือดาวน์โหลดที่ >>> สมบัติของจำนวนจริง
การดำเนินการของเซต (Operation of set)
…….เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) คือ เซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งต่าง ๆ ที่จะกล่าวถึง โดยมีข้อตกลงว่าจะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดซึ่งนอกเหนือจากสิ่งที่เซตนี้กำหนดไว้ เขีนแทนด้วย U
…….ถ้ากล่าวถึงเซตของจำนวนโดยไม่กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง
……การดำเนินการของเซต (Operation of set) เป็นการสร้างเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่กำหนดให้ ได้แก่
1. ยูเนียน (Union)
…….A U B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือเซต B หรือทั้งสองเซต
2.อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
…….A ∩ B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A และเซต B ที่ซ้ำกัน
3. ผลต่าง (Difference)
……. A – B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A โดยที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
4. คอมพลีเมนต์ (Complement)
……. A’ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
สับเซต (Subset)
…….สับเซต (subset) หรือ “เซตย่อย” คือ เซตที่เล็กกว่าหรือเท่ากันกับเซตที่กำหนด โดยต้องใช้สมาชิกร่วมกับเซตที่กำหนดเท่านั้น
…….สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค ” A เป็นสับเซตของ B” คือ …และจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A นั้นเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย หรือเมื่อ A เป็นเซตว่างก็ได้
…….เช่น เรากล่าวว่า …เนื่องจากทั้ง 1 และ 2 เป็นสมาชิกของ
……. รูปแบบ :..เซต (เล็ก) ....เซต (ใหญ่)
…….และสัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค ” A ไม่เป็นสับเซตของ B” คือ …จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ พบสมาชิกบางตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
……. เช่น เรากล่าวว่า …เนื่องจาก 3 ไม่ได้เป็นสมาชิกของ
…….การเป็นสับเซต อาจมองเป็น “อยู่ใน” คล้ายกับ การเป็นสมาชิก…ต่างกันเพียงการเป็นสับเซตนั้นเราพิจารณาทีละหลายตัวพร้อมกันได้ และต้องใส่ปีกกาคร่อมเสมอ
…….สมมติ จะได้ว่า เซตเหล่านี้เป็นสับเซตของ
…….
…….
…….
…….
…….
…….ดังนั้น สับเซตของ มีทั้งหมด
แบบ (แบบที่เล็กที่สุด คือ เซตว่าง และแบบที่ใหญ่ที่สุด คือ ตัวมันเอง) หรือกล่าวว่า มีเซต
ที่ทำให้
อยู่
แบบนั่นเอง
ข้อควรทราบ
1. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุกเซต…….
2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง…….
3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น แบบ
…….เราอาจมองการหาสับเซตว่าเป็นการ “เลือกตัดสมาชิกบางตัวใน A ทิ้งไป” การมองแบบนี้จะทำให้เข้าใจง่ายยิ่งขึ้น ว่าทำไมเซตว่างจึงต้องถือว่าเป็นสับเซตของ A ด้วย
……. เพาเวอร์เซต (Power set) คือ เซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้
เพาเวอร์เซตของ A จะใช้สัญลักษณ์ว่า P(A)
….. → เช่น A = {1, 2} ดังนั้น P(A) = { ø, {1}, {2}, {1, 2} }
ตัวอย่างที่ 1 ถ้าให้ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
…..…….ถูก
…..…….ถูก
…..…….ผิด
…..…….ผิด
…..…….ถูก
…..…….ผิด (เพราะ 1 ไม่ใช่เซต)
…..…….ถูกเสมอ ! (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต)
…..…….ถูก (เพราะ
อยู่ใน
)
…..…….ผิด (เพราะ 2 กับ 3 ไม่ได้อยู่ใน
)
…..…….ถูก (เพราะ
อยู่ใน
)
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ จงหา
วิธีทำ…….
เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้นลองดู คลิปวิดีโอต่อไปนี้ครับ
หรือดาวน์โหลดที่ –> …สับเซต (Subset)
ลักษณะของเซต
…..เซตว่าง (Empty Set) หมายถึง เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือพูดได้ว่า มีสมาชิก 0 ตัว สัญลักษณ์ : { } หรือ ø
…….→เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 0 เป็นเซตว่าง เพราะว่า ไม่มีจำนวนนับใดน้อยกว่า 0
…..เซตจำกัด (finite set) หมายถึง เซตที่บอกจำนวนสมาชิกได้เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย์
…….จำนวนสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย n (A)
…….→ เช่น A = { 2, 3, 5, 7 } ดังนั้น n (A) = 4
….. เซตอนันต์ (Infinite set) หมายถึง เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัดหรือ เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
…….→ เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก, เซตของจำนวนนับ, A = { 1, 2, 3, … }, B = { x | x > 10 }
♥ เซต A เท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
……….เขียนแทนด้วย A = B
♥ ถ้าเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน (n(A) = n(B)) เรียกว่า เซตที่เทียบเท่ากัน
……….เขียนแทนด้วย A↔ B
หรือดาวน์โหลดที่ –> …ลักษณะของเซต
วิธีเขียนเซต
…….เซต (set) เป็นคำอนิยาม แต่โดยทั่วไป เมื่อกล่าวถึงคำ ว่าเซตจะหมายถึงกลุ่มของสิ่งต่าง และจะใช้ในกรณีที่ทราบแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มที่กล่าวถึง
…….สิ่งที่อยู่ในเซต เรียกว่า “สมาชิก” โดยเขียนสมาชิกอยู่ในวงเล็บปีกกา { }
วิธีเขียนเซต มี 2 แบบ ดังนี้
1.แบบแจกแจงสมาชิก –> จะเขียนสมาชิกในเครื่องหมายปีกกา และคั่นระหว่างสมาชิกด้วยเครื่องหมาย comma ( , )
……….เช่น ให้ A เป็นเซตจำนวนนับที่น้อยกว่า 5
……….จะได้ A = { 1, 2, 3, 4 }
2. แบบบอกเงื่อนไข –> จะเขียนตัวแปร (x) แทนสมาชิก แล้วอธิบายตัวแปรนั้นว่ามีลักษณะเป็นอย่างไร
………เช่น ให้ A เป็นเซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5
………จะได้ A = { x | x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5}
………หรือ A = { x ε N | x < 5}
หรือดาวน์โหลดที่ –> 1.1_Set
กราฟของความสัมพันธ์ (Graph of Relation)
…….กราฟของความสัมพันธ์ r ก็คือ เชตของจุดบนแกนมุมฉาก (x, y) ซึ่งต่ละจุดแทนสมาชิกใน r (โดยให้สมาชิกตัวหน้าเป็นแกนนอน และสมาชิกตัวหลังเป็นแกนตั้ง) เช่น
r1 = {(1, 2), (-1, 2), (2, 3), (-2, 0), (0, -2)}
r2 = {(x,y) εI×I | y = x^2 } = {…(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), …}
r3 = {(x,y)ε R×R | y = x^2 } จะได้กราฟดังภาพ
…….การเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะช่วยให้เห็นโดเมนและเรนจ์ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น…ให้นักเรียนศึกษากราฟเส้นตรง กราฟพาราโบลา กราฟค่าสัมบูรณ์ อีกทั้งกราฟที่เป็น “พื้นที่(แรเงา)” ของอสมการ เพิ่มเติม แล้วทำการดาวน์โหลดใบงานเพื่อทำการบ้านส่งต่อไปนะครับ
โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ (Domain and Range)
……โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ เป็นรากฐานสำคัญที่จะนำเข้าสู่เรื่องของการสร้างกราฟของความสัมพันธ์อีกทั้งการวิเคราะห์ฟังก์ชัน
……นิยาม ถ้ากำหนดให้ r เป็นความสัมพันธ์
…..โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr
…..เรนจ์ ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr
…………… Dr = { x | (x, y) ε r }
…………… Rr = { y | (x, y) ε r }
เช่น r = {(–1, 1), (–2, 2), (–3, 3)} จะได้
…..Dr = { -1, -2, -3 } Rr = { 1, 2, 3 }
ให้นักเรียน ม.4 ยกตัวอย่างความสัมพันธ์พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ โดยตอบลงใน ให้ความเห็น (ใส่ความเห็น)
ความสัมพันธ์ (Relations)
…….ความสัมพันธ์ (relations) เกิดจากของสองสิ่งมาเกี่ยวข้องกันภายใต้กฎเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่ง และของทั้งสองสิ่งนั้นจะเขียนในรูปคู่อันดับได้เสมอ
…..นิยาม r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r
A×B
……..ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A เรียก r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A
ถ้า A×B มีสมาชิก n ตัว เราสามารถสร้างความสัมพันธ์จาก A ไป B ได้ 2^n วิธี
คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน (Ordered Pairs and Cartesian Product)
…….คู่อันดับ (Ordered Pairs) เป็นลักษณะของการจับคู่กันของสิ่งที่มีความเกี่ยวข้องกันภายใต้เงื่อนไขอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น คู่อันดับแสดงการจับคู่ของสินค้ากับราคาสินค้า นักเรียนกับห้องเรียน
…….นิยาม คู่อันดับ (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
…….ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian Product)
…….ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a ε A และ b ε B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A×B
……………….. A× B = {(a, b) | a ε A และ b ε B }