Category Archives: คณิตพื้นฐาน ม.4

จำนวนจริง (Real Numbers)

……. จำนวนซึ่งมนุษย์คิดขึ้นเป็นครั้งแรก เป็นจำนวนที่ใช้สำหรับนับสิ่งของ นับสัตว์เลี้ยง เมื่อนำจำนวนเหล่านี้มาเขียนเป็นเซต เรียกว่า เซตของจำนวนนับ โดยแทนชื่อเซตนี้ด้วย..N.. คือ
…………………….. N = \left \{ 1, 2, 3, ... \right \}
…….สมบัติของจำนวนนับ เมื่อนำจำนวนนับมาบวกกัน ผลบวกที่ได้จะเป็นจำนวนนับเสมอ สมบัติข้อนี้เรียกว่า สมบัติปิดของการบวก และเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ด้วย “ถ้า ..a\in N..และ..b\in N.. แล้ว..a+b\in N
…….จากการมีเฉพาะจำนวนนับ เกิดปัญหาขึ้นเมื่อนำจำนวนนับบางคู่มาลบกัน หารกัน กระทำไม่ได้ จึงคิดจำนวนเต็มลบ จำนวนตรรกยะ และจำนวนศูนย์ขึ้น ทำให้ปัญหาที่เกิดขึ้นหายไป จำนวนเต็มลบ ได้แก่ ..\left \{ -1, -2, -3, ... \right \}.. จำนวนศูนย์คือ..\left \{ 0 \right \} .. จำนวนเหล่านี้ช่วยแก้ปัญหา เช่น การหาคำตอบของสมการ ..x+a = b.. เมื่อ..a, b \in N.. และจำนวนตรรกยะ เช่น ..\left \{ \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7},...\right \}.. ช่วยแก้ปัญหาการหาคำตอบของสมการ ..ax = b.. เมื่อ..a, b \in N..
……. เมื่อนำเซตของจำนวนนับ ..\left \{ 1, 2, 3, ... \right \}.. กับเซตของจำนวนศูนย์และจำนวนเต็มลบ ..\left \{ 0, -1, -2, -3, ... \right \}.. มายูเนียนกัน จะได้เซตใหม่ เรียกว่า เซตของจำนวนเต็ม (Integer) \left ( I \right )
…………………….I = \left \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \right \}

…….จำนวนตรรกยะ (Rational number) หมายถึง จำนวนที่เขียนอยู่ในรูปเศษส่วน ..\frac{a}{b}..โดยที่ a, b \in I..และ..b\neq 0.. ใช้สัญลักษณ์ Q ซึ่งพบว่าจำนวนตรรกยะ ประกอบด้วย
…….1) จำนวนเต็ม เช่น ..5 = \frac{5}{1},-3 = -\frac{3}{1},0 = \frac{0}{1}
…….2) จำนวนที่เป็นเศษส่วนโดยส่วนไม่เท่ากับศูนย์  เช่น..\frac{1}{2},-\frac{2}{3},\frac{22}{7}
….  .3) จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ เช่น ..1.5 = \frac{15}{10},1.414 = \frac{1414}{1000}
…….4) จำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำ เช่น
………………. 0.\dot{2}\dot{5} = \frac{25}{99}…………………………..1.2\dot{3} = \frac{123-12}{90}=\frac{111}{90}
……………….0.\dot{1}2\dot{6} = \frac{126}{999}…………………………..5.\dot{9} = \frac{59-5}{9} = \frac{54}{9} = 6
……………….0.12\dot{4}\dot{1} = \frac{1241-12}{9900} = \frac{1229}{9900}
……. เซตของจำนวนตรรกยะ มีคุณสมบัติปิดของการบวก การลบ การคูณ และการหาร เมื่อตัวหารไม่เป็นศูนย์

…….จำนวนอตรรกยะ (Irrational number) หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ แต่สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำได้ ใช้สัญลักษณ์{Q}' เช่น
………………\sqrt{2}\approx 1.4142135...……….\sqrt{3}\approx 1.7320508...
………………\sqrt{5}\approx 2.2360679...……….\pi \approx 3.14159265...
………………e \approx 2.7182818...……….\sqrt[3]{2}\approx 1.25992104...

……. จำนวนจริง (Real Number) คือ เซตที่เกิดจากเซตของจำนวนตรรกยะยูเนียนกับเซตของจำนวนอตรรกยะ ใช้สัญลักษณ์ ..R
……..อินเตอร์เซกชันของเซตจำนวนตรรกยะกับเซตของจำนวนอตรรกยะ..\left (Q\cap {Q}' \right )..เป็นเซตว่าง..\left (\varnothing \right )..กล่าวคือ ไม่มีจำนวนจริงใดที่เป็นทั้งจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะพร้อม ๆ  กัน

……. ให้นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง จำนวนจริงและสมบัติของจำนวนจริง ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> สมบัติของจำนวนจริง

Advertisements

การดำเนินการของเซต (Operation of set)

…….เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) คือ เซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งต่าง ๆ ที่จะกล่าวถึง โดยมีข้อตกลงว่าจะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดซึ่งนอกเหนือจากสิ่งที่เซตนี้กำหนดไว้ เขีนแทนด้วย U
…….ถ้ากล่าวถึงเซตของจำนวนโดยไม่กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริง

……การดำเนินการของเซต (Operation of set) เป็นการสร้างเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่กำหนดให้ ได้แก่
1. ยูเนียน (Union)
…….A  U B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือเซต B หรือทั้งสองเซต
2.อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
…….A ∩ B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A และเซต B ที่ซ้ำกัน
3. ผลต่าง (Difference) 
……. A – B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A โดยที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
4. คอมพลีเมนต์ (Complement) 
……. A’ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A

สับเซต (Subset)

…….สับเซต (subset) หรือ “เซตย่อย”  คือ เซตที่เล็กกว่าหรือเท่ากันกับเซตที่กำหนด โดยต้องใช้สมาชิกร่วมกับเซตที่กำหนดเท่านั้น

…….สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค ” A เป็นสับเซตของ B” คือ A\subset B และจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A นั้นเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย หรือเมื่อ A เป็นเซตว่างก็ได้

…….เช่น เรากล่าวว่า \left \{ 1, 2 \right \}\subset \left \{ 0, 1, 2 \right \}เนื่องจากทั้ง 1 และ 2 เป็นสมาชิกของ \left \{ 0, 1, 2 \right \}

……. รูปแบบ :..เซต (เล็ก) ..\subset..เซต (ใหญ่)

 

…….และสัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค ” A ไม่เป็นสับเซตของ B” คือ A\nsubseteq Bจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ พบสมาชิกบางตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B

……. เช่น เรากล่าวว่า \left \{ 1, 3 \right \}\nsubseteq \left \{ 0, 1, 2 \right \}เนื่องจาก 3 ไม่ได้เป็นสมาชิกของ \left \{ 0, 1, 2 \right \}

…….การเป็นสับเซต อาจมองเป็น “อยู่ใน” คล้ายกับ การเป็นสมาชิกต่างกันเพียงการเป็นสับเซตนั้นเราพิจารณาทีละหลายตัวพร้อมกันได้ และต้องใส่ปีกกาคร่อมเสมอ

…….สมมติ A = \left \{ 1, 2, 3, 4 \right \} จะได้ว่า เซตเหล่านี้เป็นสับเซตของ A

…….\phi

…….\left \{ 1 \right \}, \left \{ 2 \right \}, \left \{ 3 \right \}, \left \{ 4 \right \}

…….\left \{ 1, 2\right \}, \left \{ 1, 3 \right \}, \left \{ 1, 4 \right \}, \left \{ 2, 3 \right \}, \left \{ 2, 4 \right \}, \left \{ 3, 4 \right \}

…….\left \{ 1, 2, 3\right \}, \left \{ 1, 2, 4 \right \}, \left \{ 1, 3, 4 \right \}, \left \{ 2, 3, 4 \right \}

…….\left \{ 1, 2, 3, 4\right \}

…….ดังนั้น สับเซตของ  A มีทั้งหมด 2^4 = 16 แบบ (แบบที่เล็กที่สุด คือ เซตว่าง และแบบที่ใหญ่ที่สุด คือ ตัวมันเอง) หรือกล่าวว่า มีเซต B ที่ทำให้ B\subset A อยู่ 16 แบบนั่นเอง

ข้อควรทราบ

1. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุกเซต……. \phi \subset A

2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง……. A \subset A

3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น 2^n แบบ

…….เราอาจมองการหาสับเซตว่าเป็นการ “เลือกตัดสมาชิกบางตัวใน A ทิ้งไป” การมองแบบนี้จะทำให้เข้าใจง่ายยิ่งขึ้น ว่าทำไมเซตว่างจึงต้องถือว่าเป็นสับเซตของ A ด้วย

……. เพาเวอร์เซต (Power set) คือ เซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้

เพาเวอร์เซตของ A จะใช้สัญลักษณ์ว่า P(A)

….. → เช่น A = {1, 2}  ดังนั้น  P(A) =  { ø, {1}, {2}, {1, 2} }

ตัวอย่างที่ 1 ถ้าให้ A = \left \{ \phi , 1 , \left \{ 2, 3 \right \} \right \} ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด

…..1 \in A…….ถูก

…..\phi \in A…….ถูก

…..\left \{ \phi \right \} \in A…….ผิด

…..2 \in A…….ผิด

…..\left \{ 2, 3 \right \} \in A…….ถูก

…..1\subset A…….ผิด (เพราะ 1 ไม่ใช่เซต)

…..\phi \subset A…….ถูกเสมอ ! (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต)

…..\left \{ \phi \right \}\subset A…….ถูก (เพราะ \phi อยู่ใน A)

…..\left \{ 2, 3 \right \}\subset A…….ผิด (เพราะ 2 กับ 3 ไม่ได้อยู่ใน A)

…..\left \{ \left \{ 2, 3 \right \} \right \}\subset A…….ถูก (เพราะ \left \{ 2, 3 \right \}อยู่ใน A)

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้  A = \left \{ 1, 2 \right \} จงหา P(A)

วิธีทำ……. P(A) = \left \{ \phi , 1, 2, \left \{ 1, 2 \right \} \right \}

เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้นลองดู คลิปวิดีโอต่อไปนี้ครับ

หรือดาวน์โหลดที่ –> …สับเซต (Subset) 

ลักษณะของเซต

…..เซตว่าง (Empty Set) หมายถึง เซตที่ไม่มีสมาชิก  หรือพูดได้ว่า มีสมาชิก 0 ตัว  สัญลักษณ์ : { } หรือ ø
…….→เช่น  เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 0 เป็นเซตว่าง เพราะว่า ไม่มีจำนวนนับใดน้อยกว่า 0

…..เซตจำกัด (finite set) หมายถึง เซตที่บอกจำนวนสมาชิกได้เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย์
…….จำนวนสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย n (A)
…….→ เช่น  A = { 2, 3, 5, 7 } ดังนั้น  n (A) = 4

….. เซตอนันต์ (Infinite set) หมายถึง เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัดหรือ เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
…….→ เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก,   เซตของจำนวนนับ,   A = { 1, 2, 3, … },   B = { x | x > 10 }

 เซต A เท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
……….เขียนแทนด้วย A = B
♥ ถ้าเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน (n(A) = n(B)) เรียกว่า เซตที่เทียบเท่ากัน
……….เขียนแทนด้วย A↔ B

หรือดาวน์โหลดที่ –> …ลักษณะของเซต

วิธีเขียนเซต

…….เซต (set) เป็นคำอนิยาม แต่โดยทั่วไป เมื่อกล่าวถึงคำ ว่าเซตจะหมายถึงกลุ่มของสิ่งต่าง และจะใช้ในกรณีที่ทราบแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มที่กล่าวถึง
…….สิ่งที่อยู่ในเซต เรียกว่า “สมาชิก”   โดยเขียนสมาชิกอยู่ในวงเล็บปีกกา { }
วิธีเขียนเซต มี 2 แบบ ดังนี้
1.แบบแจกแจงสมาชิก –> 
จะเขียนสมาชิกในเครื่องหมายปีกกา และคั่นระหว่างสมาชิกด้วยเครื่องหมาย comma ( , )
……….เช่น ให้ A เป็นเซตจำนวนนับที่น้อยกว่า 5
……….จะได้ A = { 1, 2, 3, 4 }

2. แบบบอกเงื่อนไข –> จะเขียนตัวแปร (x) แทนสมาชิก แล้วอธิบายตัวแปรนั้นว่ามีลักษณะเป็นอย่างไร
………เช่น ให้ A เป็นเซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5
………จะได้ A = { x | x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5}
………หรือ A = {  x ε N | x < 5}

หรือดาวน์โหลดที่ –> 1.1_Set

กราฟของความสัมพันธ์ (Graph of Relation)

…….กราฟของความสัมพันธ์ r ก็คือ เชตของจุดบนแกนมุมฉาก (x, y) ซึ่งต่ละจุดแทนสมาชิกใน r (โดยให้สมาชิกตัวหน้าเป็นแกนนอน และสมาชิกตัวหลังเป็นแกนตั้ง) เช่น
r1 = {(1, 2), (-1, 2), (2, 3), (-2, 0), (0, -2)}
r2 = {(x,y) εI×I |  y = x^2 } = {…(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), …}
r3 = {(x,y)ε R×R |  y = x^2 } จะได้กราฟดังภาพ

…….การเขียนกราฟของความสัมพันธ์ จะช่วยให้เห็นโดเมนและเรนจ์ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น…ให้นักเรียนศึกษากราฟเส้นตรง กราฟพาราโบลา กราฟค่าสัมบูรณ์  อีกทั้งกราฟที่เป็น “พื้นที่(แรเงา)” ของอสมการ เพิ่มเติม แล้วทำการดาวน์โหลดใบงานเพื่อทำการบ้านส่งต่อไปนะครับ

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ (Domain and Range)

……โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ เป็นรากฐานสำคัญที่จะนำเข้าสู่เรื่องของการสร้างกราฟของความสัมพันธ์อีกทั้งการวิเคราะห์ฟังก์ชัน
……นิยาม   ถ้ากำหนดให้  r  เป็นความสัมพันธ์
…..โดเมนของ  r  คือ  เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน  r  เขียนแทนด้วย  Dr
…..เรนจ์   ของ  r  คือ  เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน  r  เขียนแทนด้วย  Rr

…………… Dr  =  { x | (x, y) ε r }
…………… Rr  =  { y | (x, y) ε r }

เช่น  r =  {(–1, 1),  (–2, 2),  (–3, 3)}  จะได้
…..Dr = { -1, -2, -3 }      Rr = { 1, 2, 3 }

ให้นักเรียน ม.4 ยกตัวอย่างความสัมพันธ์พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ โดยตอบลงใน ให้ความเห็น (ใส่ความเห็น)

ความสัมพันธ์ (Relations)

…….ความสัมพันธ์ (relations)  เกิดจากของสองสิ่งมาเกี่ยวข้องกันภายใต้กฎเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่ง  และของทั้งสองสิ่งนั้นจะเขียนในรูปคู่อันดับได้เสมอ

…..นิยาม r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r A×B

……..ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A  เรียก  r  เป็นความสัมพันธ์ในเซต  A

ถ้า A×B มีสมาชิก  n  ตัว เราสามารถสร้างความสัมพันธ์จาก A ไป B ได้  2^n  วิธี 

คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน (Ordered Pairs and Cartesian Product)

…….คู่อันดับ (Ordered Pairs) เป็นลักษณะของการจับคู่กันของสิ่งที่มีความเกี่ยวข้องกันภายใต้เงื่อนไขอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น คู่อันดับแสดงการจับคู่ของสินค้ากับราคาสินค้า นักเรียนกับห้องเรียน

…….นิยาม  คู่อันดับ (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

…….ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian Product)
…….ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a ε A และ b ε B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A×B

……………….. A× B = {(a, b) | a ε A และ b ε B }