ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)

…….ลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n+ 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม (common difference)
……ถ้าให้ d เป็นผลต่างร่วม จะได้ว่า d = a_{n+1} - a_{n} ซึ่งจะได้พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต คือ

…………………………a_{n} = a_{1} + (n-1)d

…..ซึ่งเราสามารถใช้สูตรพจน์ทั่วไปหาลำดับที่ต้องการของลำดับเลขคณิตได้ เช่น
…….a_{20} = a_{1} + 19d  หรือ  a_{20} = a_{15} + 5d  หรือ  a_{20} = a_{8} + 12d

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดลำดับเลขคณิต  4, 9, 14, 19, . . . จงหาผลบวกของพจน์ที่  10  และพจน์ที่  15
วิธีทำ……จากลำดับเลขคณิต  4, 9, 14, 19, . . . จะได้ a_{1} = 4 และ d = 9-4 = 5
……..a_{10}+a_{15} = (a_{1}+9d) + (a_{1}+14d)
…………………= 2a_{1}+23d = 2(4)+23(5)
…………………= 8+115 = 123

ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ที่ 31 ของลำดับเลขคณิต -\frac{1}{20}, -\frac{1}{30}, -\frac{1}{60}, . . . [ONET 51]
วิธีทำจากลำดับ จะได้ d = -\frac{1}{30}- (-\frac{1}{20}) = \frac{-2+3}{60} = \frac{1}{60}
………. a_{31} = a_{1} + 30d
..แทนค่า..a_{31} = (-\frac{1}{20}) + 30(\frac{1}{60}) = -\frac{1}{20} + \frac{10}{20}
………………= \frac{9}{20}

ตัวย่างที่ 3 ถ้าพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 10 ของลำดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลำดับ แล้วพจน์ที่ 99 เท่ากับเท่าใด[ONET 56]
วิธีทำโจทย์กำหนดให้ a_{5} = 14, a_{10} = 29 หา a_{99}
….หา d ; ….a_{10} = a_{5} + 5d
แทนค่า….29 = 14 + 5d
……………….d = 3
และa_{99} = a_{10} + 89d = 29 + 89(3)
……………..= 29 + 267 = 296

ตัวอย่างที่ 4 ลำดับ -24, -15, -6, 3, 12, 21, . . . , 1776 มีกี่พจน์[ONET 57]
วิธีทำจะเห็นว่าแต่ละคู่เพิ่มขึ้นอย่างคงที่ ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต โดยมี d = 9 และ a_{1} = -24
….จะหาว่ามีกี่พจน์ ต้องหาว่า พจน์สุดท้ายคือพจน์ที่เท่าไหร่ โดยแทน a_{n} = พจน์สุดท้าย แล้วแก้หาค่า n
……จากa_{n} = a_{1} + (n-1)d
แทนค่า1776 = -24 + (n-1)(9)
………………..n = \frac{1776+24}{9} + 1 = 200 + 1
………………….= 201

ตัวอย่างที่ 5 ลำดับเลขคณิต -43, -34, -25, . . . มีพจน์ที่มีค่าน้อยกว่า300 อยู่กี่พจน์ [ONET 54]
วิธีทำ….ลำดับเลขคณิต d = (-34)-(-43) = 9
………….พจน์ทั่วไปคือ a_{n} = 9n - 52 จะหา n จาก a_{n} < 300
…….แทนค่า…….9n-52 < 300
…………………………n < \frac{352}{9}
…………………………n < 39.11
….แต่จำนวนพจน์เป็นจำนวนนับ ดังนั้น จำนวนพจน์ที่น้ยกว่า 300 มี 39 พจน์

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริง ถ้า 5-7x, 3x+28, 5x+27, . . . , 2x^3-3x+1 เป็นลำดับเลขคณิต แล้วลำดับนี้มีกี่พจน์ [ONET 57]
วิธีทำหา d  ; ….a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}
……………..(3x+28) - (5-7x) = (5x+27) - (3x+28)
………………..10x+23 = 2x-1
…………………x = -3
แทนค่า จะได้ลำดับเป็น26, 19, 12, . . . , -44
หา n จากสูตร a_{n} = a_{1} + (n-1)d
แทนค่า-44 = 26 + (n-1)(-7)
………………..n = \frac{-44-26}{-7} + 1 = 10 + 1
………………….= 11

…..เพื่อให้นักเรียนมีความเข้าใจเกี่ยวกับการหาพจน์ทั่วไป และพจน์ที่เราต้องการในลำดับเลขคณิต เราลองไปดูคลิปวิดีโอซึ่งสอนโดย อ.ชัยรัตน์ เจษฎารัตติกร (อ.เจี๋ย) ไปดูกันเลยครับ

Advertisements

Posted on ่20 มกราคม, 2015, in คณิตพื้นฐาน ม.5 and tagged , . Bookmark the permalink. ใส่ความเห็น.

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: