ลำดับและพจน์ทั่วไป (Sequence and general term)

…….ลำดับ (Sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ที่เรียงกัน n จำนวนแรก หรือโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ลำดับมี 2 ลักษณะ คือ ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์
…….ลำดับจำกัด (finite sequence) คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n จำนวนแรก
…….ลำดับอนันต์ (Infinite sequence) คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
…….นิยมเขียนฟังก์ชันในรูป a_{n} คือใช้ a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{n} แทน f(1), f(2), f(3), ..., f(n)  เพื่อให้ทราบว่าเป็นลำดับ (มีโดเมนเป็นจำนวนนับเท่านั้น)  เรียก a_{1} ว่า “พจน์ (term) ที่ 1″ ของลำดับ, เรียก a_{2} ว่า “พจน์ (term) ที่ 2” ของลำดับ, ไปเรื่อย ๆ จนถึงพจน์ที่ n ใด ๆ เขียนแทนด้วย a_{n} จะเรียกว่า พจน์ทั่วไป (general term) ของลำดับ

ตัวอย่างของลำดับ
…..1) 5, 10, 15, 20, …………..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = 5n
…..2) 2, 4, 8, 16, ……………..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = 2^n
…..3) –1, –3, –5, –7, –9, ……..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = 1-2n
…..4) 1, -2, 3, -4, … …………..มีพจน์ทั่วไปเป็น a_{n} = (-1)^{n-1}n

…….การเขียนพจน์ทั่วไปของลำดับ  เป็นการเขียนลำดับที่นิยมกำหนดให้อยู่ในรูปของตัวแปร  n  โดย  n  แทนลำดับที่ของพจน์นั้นเอง  เช่น  a_{n} = 5n  เมื่อแทน  n  ด้วย  1,  2,  3,  4,  5  จะได้ลำดับดังนี้  5,  10,  15,  20,  25

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน 5 พจน์แรกของลำดับ a_{n} = \frac{2-(-1)^nn}{2n+3}[ONET-57]
วิธีทำ…..a_{1} = \frac{2-(-1)^1\cdot 1}{2(1)+3} = \frac{2-(-1)}{2+3} = \frac{3}{5}
…………a_{2} = \frac{2-(-1)^2\cdot 2}{2(2)+3} = \frac{2-(1)2}{4+3} = \frac{0}{7} = 0
…………a_{3} = \frac{2-(-1)^3\cdot 3}{2(3)+3} = \frac{2-(-1)3}{6+3} = \frac{5}{9}
…………a_{4} = \frac{2-(-1)^4\cdot 4}{2(4)+3} = \frac{2-(1)4}{8+3} = -\frac{2}{11}
…………a_{5} = \frac{2-(-1)^5\cdot 5}{2(5)+3} = \frac{2-(-1)5}{10+3} = \frac{7}{13}

ตัวอย่างที่ 2 ผลบวก 3 พจน์แรกของลำดับ a_{n} = \frac{(-1)^{n+1}n}{n+1} เท่ากับเท่าใด [ONET-56]
วิธีทำa_{1} = \frac{(-1)^{1+1}\cdot 1}{1+1} = \frac{(-1)^2\cdot 1}{2} = \frac{1}{2}
………..a_{2} = \frac{(-1)^{2+1}\cdot 2}{2+1} = \frac{(-1)^3\cdot 2}{3} = -\frac{2}{3}
………..a_{3} = \frac{(-1)^{3+1}\cdot 3}{3+1} = \frac{(-1)^4\cdot 3}{4} = \frac{3}{4}
….. ดังนั้นa_{1}+a_{2} + a_{3} = \frac{1}{2}+(-\frac{2}{3})+\frac{3}{4} = \frac{6-8+9}{12} = \frac{7}{12}

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า a_{1} = 2, a_{2} = 1 และ a_{n+2} = a_{n+1}+a_{n} เมื่อ n = 1, 2, 3, ... แล้ว a_{11} เท่ากับเท่าใด [ONET-56]
วิธีทำa_{n+2} = a_{n+1}+a_{n} หมายความว่า แต่ละพจน์จะเท่ากับสองพจน์ก่อนหน้าบวกกันนั่นเอง
………..a_{3} = a_{2}+a_{1} = 1+2 = 3
………..a_{4} = a_{3}+a_{2} = 3+1 = 4
………..a_{5} = a_{4}+a_{3} = 4+3 = 7
…………………\vdots
….จะได้เป็น 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123
……. ดังนั้น a_{11} = 123

ตัวย่างที่ 4 ใน 40 พจน์แรกของลำดับ a_{n} = 3+(-1)^n มีกี่พจน์ ที่มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 40 [ONET-53]
วิธีทำพจน์ที่ 40 หรือ a_{40} = 3+(-1)^{40} = 3+1 = 4
………. พจน์ที่จะมีค่าเท่ากับ พจน์ที่ 40 จะต้องเป็นพจน์ของลำดับเลขคู่ เพราะจะต้องทำให้ (-1)^n = 1 เหมือนพจน์ที่ 40  ดังนั้น คำตอบคือจำนวนคู่ตั้งแต่ 2 จนถึง 40 นั่นเอง
……..จะได้เป็น a_{2}, a_{4}, a_{6}, . . . , a_{40} มีทั้งหมด 20 พจน์

ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลบวก 4 พจน์แรกของลำดับ a_{n} =\frac{2^{n+1}+(-1)^n}{3} [โควตา มช.52]
วิธีทำa_{1} = \frac{2^{1+1}+(-1)^1}{3} = \frac{2^2+(-1)}{3} = \frac{3}{3} = 1
………..a_{2} = \frac{2^{2+1}+(-1)^2}{3} = \frac{2^3+(1)}{3} = \frac{9}{3} = 3
………..a_{3} = \frac{2^{3+1}+(-1)^3}{3} = \frac{2^4+(-1)}{3} = \frac{15}{3} = 5
………..a_{4} = \frac{2^{4+1}+(-1)^4}{3} = \frac{2^5+(1)}{3} = \frac{33}{3} = 11
…..ดังนั้นa_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} = 1+3+5+11 = 20

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดลำดับ \frac{4}{3}, \frac{5}{6}, \frac{6}{9}, \frac{7}{12}, . . . จงหาพจน์ทั่วไป [NT]
วิธีทำa_{1} = \frac{4}{3} = \frac{1+3}{3(1)}
………..a_{2} = \frac{5}{6} = \frac{2+3}{3(2)}
………..a_{3} = \frac{6}{9} = \frac{3+3}{3(3)}
………..a_{4} = \frac{7}{12} = \frac{4+3}{3(4)}
…………….\vdots
………..a_{n} = \frac{n+3}{3n}

……เป็นอย่างไรบ้างครับ พอจะเข้าใจความหมายของลำดับและพจน์ทั่วไปกันบ้างไหมเอ่ย เพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้นเรามาลองดูจากคลิปวิดีโอกันต่อเลยครับ

Advertisements

Posted on ่19 มกราคม, 2015, in คณิตพื้นฐาน ม.5 and tagged , , , , . Bookmark the permalink. ใส่ความเห็น.

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: