การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม

…….การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม ทำได้ในลักษณะเดียวกันกับการหาคำตอบของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวและสมการกำลังสองตัวแปรเดียว แต่มีข้อควรระวัง คือ ในการนำพหุนามมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการเพื่อให้ตัวส่วนของแต่ละเศษส่วนของพหุนามเป็น 1 พหุนามเหล่านั้นต้องไม่เป็นศูนย์ หรือสรุปเป็นขั้นตอนง่าย ๆ ได้ดังนี้ครับ
…….1) นำ ค.ร.น. ของส่วนคูณตลอด เพื่อทำส่วนให้เป็น 1
…….2) ย้ายข้างให้ข้างหนึ่งเป็น 0
…….3) แยกตัวประกอบหาค่าตัวแปร โดยที่ค่าตัวแปรต้องไม่ทำให้ส่วนเป็น 0
เราไปลองดูจากตัวอย่างกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ \frac{x-8}{x-10}+\frac{x-4}{x-6} = \frac{x-5}{x-7}+\frac{x-7}{x-9}
วิธีทำจัดรูปสมการใหม่ โดยการลดทอน จะได้
…….\frac{(x-10)+2}{x-10}+\frac{(x-6)+2}{x-6} = \frac{(x-7)+2}{x-7}+\frac{(x-9)+2}{x-9}
……..1+\frac{2}{x-10}+1+\frac{2}{x-6} = 1+\frac{2}{x-7}+1+\frac{2}{x-9}
……………\frac{2}{x-10}+\frac{2}{x-6} = \frac{2}{x-7}+\frac{2}{x-9}
หารด้วย 2 ; \frac{1}{x-10}+\frac{1}{x-6} = \frac{1}{x-7}+\frac{1}{x-9}
…………..\frac{(x-6)+(x-10)}{(x-6)(x-10)} = \frac{(x-9)+(x-7)}{(x-7)(x-9)}
…………….\frac{2x-16}{(x-6)(x-10)} = \frac{2x-16}{(x-7)(x-9)}
……จากสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ มีตัวเศษเท่ากัน แต่ตัวส่วน (ตัวหาร) ไม่เท่ากัน และมีผลลัพธ์เท่ากัน แสดงว่าตัวเศษต้องเป็น 0 เท่านั้น จึงจะทำให้ทั้งสองข้างเท่ากัน  ดังนั้น
……………2x-16 = 0
…………………….x = 8

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้  \frac{2}{(x-y)(x-z)}+\frac{2}{(z-x)(z-y)}-\frac{2}{(y-z)(y-x)} = \frac{c}{(x-y)(y-z)} เมื่อ.. c ..เป็นค่าคงตัว  แล้ว.. c.. มีค่าเท่ากับเท่าใด (สมาคม 51)
วิธีทำ จัดรูปสมการใหม่ ได้เป็น -\frac{2}{(x-y)(z-x)}-\frac{2}{(z-x)(y-z)}+\frac{2}{(y-z)(x-y)} = \frac{c}{(x-y)(y-z)}
…………นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ (x-y)(y-z)(z-x) คูณตลอด จะได้เป็น
…………….-2(y-z)-2(x-y)+2(z-x) = c(z-x)
…………….-2y+2z-2x+2y+2z-2x = c(z-x)
………………4z-4x = c(z-x)
……………..4(z-x) = c(z-x)
………………………c = 4

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ (x^2+\frac{1}{x^2})^2+3(x^2+\frac{1}{x^2})-10 = 0(สมาคม 52)
วิธีทำ กำหนดให้ A = x^2+\frac{1}{x^2}
…….จะได้ …..A^2+3A-10 = 0
…………….(A+5)(A-2) = 0
…………………A = 2, -5  (ค่าลบใช้ไม่ได้)
…..แทนค่ากลับ…..x^2+\frac{1}{x^2} = 2
นำ x^2 คูณตลอด x^4+1 = 2x^2
………………x^4-2x^2+1 = 0
…………..(x^2-1)(x^2-1) = 0
……………………x^2 = 1
……………………..x = 1, -1

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ \frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{7}{3} (สมาคม 55)
วิธีทำ จากสมการ ..\frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{7}{3}
…..จะได้…..\frac{x(x+1)+(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{7}{3}
…………………….\frac{2x^2-x+1}{x^2-1} = \frac{7}{3}
………………….6x^2-3x+3 = 7x^2-7
…………………x^2+3x-10 = 0
………………..(x-2)(x+5) = 0
…………………………x = 2, -5

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า  \frac{5x-21}{x-4}+\frac{8x-10}{2x-3} = \frac{6x-23}{2x-7}+\frac{6x-5}{x-1} แล้ว x^2-x  มีค่าเท่าใด
วิธีทำ จากสมการ \frac{5x-21}{x-4}+\frac{8x-10}{2x-3} = \frac{6x-23}{2x-7}+\frac{6x-5}{x-1}
…………\frac{5(x-4)-1}{x-4}+\frac{4(2x-3)+2}{2x-3} = \frac{3(2x-7)-2}{2x-7}+\frac{6(x-1)+1}{x-1}
…………5-\frac{1}{x-4}+4+\frac{2}{2x-3} = 3-\frac{2}{2x-7}+6+\frac{1}{x-1}
………………..\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-1}-\frac{2}{2x-7}
………………\frac{(2x-8)-(2x-3)}{(2x-3)(x-4)} = \frac{(2x-7)-2(x-1)}{(x-1)(2x-7)}
…………………\frac{-5}{(2x-3)(x-4)} = \frac{-5}{(x-1)(2x-7)}
……………(x-1)(2x-7) = (2x-3)(x-4)
……………2x^2-9x+7 = 2x^2-11x+12
…………………………..2x = 5
…………………………….x = \frac{5}{2}
……ดังนั้น…..x^2-x = (\frac{5}{2})^2-\frac{5}{2} = \frac{25}{4}-\frac{5}{2} = \frac{15}{4}

…….สมการเศษส่วนของพหุนามบางรูปก็จัดให้อยู่ในกลุ่มของสมการกำลังสอง การแก้ทำได้โดยการบวกทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ จะได้ x มีเลขชี้กำลังเป็น 2 สมการลักษณะนี้ถ้านำเฉพาะตัวส่วนมาจับคู่บวกกันเพื่อให้ผลบวกเท่ากัน นำผลบวกที่เท่ากันนี้ให้เท่ากับ 0 จะได้ค่า x เป็นคำตอบ ไปดูตัวอย่างกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่า x จากสมการ \frac{x-5}{x-6}-\frac{x-6}{x-7} = \frac{x-1}{x-2} - \frac{x-2}{x-3}
วิธีทำ จัดรูปใหม่\frac{x-5}{x-6}+\frac{x-2}{x-3} = \frac{x-1}{x-2} + \frac{x-6}{x-7}
………. (x-6)+(x-3)  เท่ากันกับ (x-7)+(x-2)  โดยมีผลลัพธ์เท่ากับ 2x-9
………..ดังนั้น….2x-9 = 0
………………………..x = \frac{9}{2}

ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่า x จากสมการ \frac{x+5}{x+4}-\frac{x-6}{x-7} = \frac{x-4}{x-5} - \frac{x-15}{x-16}
วิธีทำ จัดรูปใหม่\frac{x+5}{x+4}+\frac{x-15}{x-16} = \frac{x-4}{x-5} + \frac{x-6}{x-7}
………. (x+4+(x-16)  เท่ากันกับ (x-7)+(x-5)  โดยมีผลลัพธ์เท่ากับ 2x-12
………..ดังนั้น….2x-12 = 0
………………………..x = 6

ตัวอย่างที่ 8 รากของสมการ \frac{x-7}{x-9}-\frac{x-9}{x-11} = \frac{x-13}{x-15} - \frac{x-15}{x-17} มีค่าเท่าใด
วิธีทำ จัดรูปใหม่\frac{x-7}{x-9}+\frac{x-15}{x-17} = \frac{x-13}{x-15} + \frac{x-9}{x-11}
………. (x-9)+(x-17)  เท่ากันกับ (x-15)+(x-11)  โดยมีผลลัพธ์เท่ากับ 2x-26
………..ดังนั้น….2x-26 = 0
…………………………..x = 13

…….จากตัวอย่างข้างต้น เราจะพบว่าการแก้สมการเศษส่วนของพหุนามนั้นไม่ยากเลยใช่ไหมครับ เพื่อความเข้าใจยิ่งขึ้นให้นักเรียนลองฝึกฝนและซ้อมโจทย์แบบฝึกหัดเยอะ ๆ นะครับ

Advertisements

Posted on ่18 มกราคม, 2015, in คณิตเพิ่มเติม ม.3 and tagged , . Bookmark the permalink. 1 ความเห็น.

  1. ศุภกร โซ่วิเชียร

    ขอบคุณค่ะ

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: