ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

……. ในวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ระดับชั้น ม.3 ภาคเรียนที่ 1 นักเรียนเคยเรียนเรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวมาแล้ว ซึ่งการแก้มี 2 วิธี ได้แก่ การแทนค่าตัวแปร และกำจัดตัวแปร ในเรื่องนี้จะกล่าวถึงการแก้ระบบสมการที่มีตัวแปรสองตัว และเลขชี้กำลังของตัวแปรไม่เกินสอง ซึ่งวันนี้จะเป็นหัวข้อแรก นั่นคือ การแก้ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง ซึ่งจะมีหลักการแก้ ดังนี้คือ
……. 1) จากสมการเชิงเส้น หาค่าของตัวแปร y ในรูปของตัวแปร x (หรือหาค่าของตัวแปร x ในรูปของตัวแปร y)
……. 2) แทนค่าของ y (หรือ x) ที่หาได้ในข้อ 1) ในสมการดีกรีสอง จะได้สมการกำลังสองที่มีตัวแปร x (หรือ y) เพียงอย่างเดียว แก้สมการกำลังสองนี้หาค่าของ x (หรือ y)
……. 3) แทนค่าของ x (หรือ y) ที่ได้ในข้อ 2 ในสมการที่แสดงค่าของ y ในรูปของ x (หรือแสดงค่าของ x ในรูปของ y) จะได้ค่าของ y (หรือ x)

เราลองไปฝึกการแก้ “ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง” กันเลยครับ ตามตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ  x+y=16 และ  xy = 63
วิธีทำ……………………………..x+y=16……….………..(1)
…………………………………….xy = 63……….………(2)
……..จาก (1) จะได้………..y= 16-x…………………(3)
……..แทนค่า y จาก (3) ลงใน (2)
………จะได้………………….x(16-x) = 63
………………………………..16x-x^2 = 63
………………………….x^2-16x+63 = 0
……………………..(x-9)(x-7) = 0
……………………………..x = 7, 9
…..แทนค่า  x จาก (3) จะได้  ….y = 9, 7 ..ตามลำดับ
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ  (7, 9) และ (9, 7)

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้ระบบสมการ  x-y^2=0 และ  x+2y = 1
วิธีทำ……………………………..x-y^2=0……….………..(1)
…………………………………….x+2y = 1……….………(2)
……..จาก (2) จะได้………..x= 1-2y…………………(3)
……..แทนค่า x จาก (3) ลงใน (1)
………จะได้………………….(1-2y)-y^2 = 0
………………………………..y^2+2y-1= 0
……………………………….y = \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4(1)(-1)}}{2(1)}
……………………………….y = \frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2} = -1\pm\sqrt{2}
…….แทน y = -1+\sqrt{2} ลงใน (3)
…………….จะได้x = 1-2(-1+\sqrt{2}) = 3-2\sqrt{2}
…….แทน y = -1-\sqrt{2} ลงใน (3)
…………….จะได้x = 1-2(-1-\sqrt{2}) = 3+2\sqrt{2}
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ (3-2\sqrt{2}, -1+\sqrt{2}) และ (3+2\sqrt{2}, -1-\sqrt{2})

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้ระบบสมการ  x^2+xy+y^2=3 และ  x+y = 1
วิธีทำ……………………………..x^2+xy+y^2=3……….………..(1)
…………………………………….x+y = 1……….………(2)
……..จาก (2) จะได้………..y= 1-x…………………(3)
……..แทนค่า y จาก (3) ลงใน (1)
………จะได้…………x^2+x(1-x)+(1-x)^2 = 3
………………………….x^2+x-x^2+1-2x+x^2 = 3
………………………….x^2-x-2 = 0
……………………..(x-2)(x+1) = 0
……………………………..x = 2, -1
…..แทนค่า  x จาก (3) จะได้  ….y = -1, 2 ..ตามลำดับ
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการ คือ  (2, -1) และ (-1, 2)

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า x และ y เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับระบบสมการ  2x-3y=6 และ  x^2+y+2 = 0 แล้วคำตอบของระบบสมการนีัเป็นเท่าใด (สมาคม 54)
วิธีทำ……………………………..2x-3y=6……….………..(1)
…………………………………….x^2+y+2 = 0……….………(2)
……..จาก (1) จะได้………..x = \frac{3y+6}{2}…………………(3)
……..แทนค่า x จาก (3) ลงใน (2)
………จะได้……………(\frac{3y+6}{2})^2+y+2 = 0
……………………\frac{9y^2+36y+36}{4}+y+2 = 0
…………………………9y^2+36y+36+4y+8 = 0
………………………….9y^2+40y+44 = 0
……………………..(9y+22)(y+2) = 0
……………………………..y = -\frac{22}{9}, -2 แต่ -\frac{22}{9}  ใช้ไม่ได้
…..แทนค่า  y = -2 จาก (3) จะได้  ….x = 0
……. ดังนั้น คำตอบของระบบสมการที่เป็นจำนวนเต็ม คือ  (0, -2)

ตัวอย่างที่ 5 จงหาจุดตัดของกราฟของสมการ  x^2-6x+y^2=7 และ  4x-7y = 28
วิธีทำ…..จุดตัดของกราฟของสมการทั้งสอง หาได้จากการแก้ระบบสมการ
…………………………………..x^2-6x+y^2=7……….………..(1)
…………………………………….4x-7y = 28……….………(2)
……..จาก (2) จะได้………..y = \frac{4x-28}{7}…………………(3)
……..แทนค่า y จาก (3) ลงใน (1)
………จะได้….x^2-6x+(\frac{4x-28}{7})^2 = 7
…………………..x^2-6x+\frac{16x^2-224x+784}{49} = 7
……………………49x^2-294x+16x^2-224x+784 = 343
……………………..65x^2-518x+441 = 0
……………………..(65x-63)(x-7) = 0
……………………………..x = \frac{63}{65}, 7
…..แทนค่า  x จาก (3) จะได้  ….y = -\frac{224}{65}, 0 ..ตามลำดับ
……. ดังนั้น จุดตั้ดของกราฟทั้งสอง คือ  (\frac{63}{65}, -\frac{224}{65}) และ (7, 0)

เป็นอย่างไรกันบ้างครับพอจะเข้าใจเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสองกันไหม ถ้ายังไม่เข้าใจลองดูคลิปวิดีโอต่อไปนี้ครับ

เพื่อเป็นการทดสอบความเข้าใจ ให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 1.1 ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง ไปฝึกทำเลยกันนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 1.1 ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

 

Advertisements

Posted on ่12 ตุลาคม, 2014, in คณิตเพิ่มเติม ม.3 and tagged , , . Bookmark the permalink. 1 ความเห็น.

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: