หลักเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (Principle of Counting)

…….ในชีวิตประจำวันเรามักจะพบปัญหาเกี่ยวกับการนับจำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้ หรือจำนวนวิธีในการจัดชุดของสิ่งของต่าง ๆ เช่น การจัดชุดเสื้อผ้า การจัดการแข่งขันกีฬา การจัดชุดอาหาร เป็นต้น การคำนวณเพื่อหาคำตอบสำหรับปัญหาประเภทต่าง ๆ ดังกล่าว จะทำได้ง่ายและสะดวกรวดเร็วขึ้น ถ้าเข้าใจกฏเกณฑ์บางข้อ ซึ่งเรียกว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ

…….กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้  n_{1} วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n_{2} วิธี จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานทั้งสองอย่างเท่ากับ.. n_{1}\cdot n_{2} ..วิธี

…….กฎข้อที่ 2 ถ้างานอย่างแรกมีวิธีทำได้ n_{1} วิธี ในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สองได้ n_{2} วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและอย่างที่สอง มีวิธีที่จะทำงานอย่างที่สามได้ n_{3} วิธี ฯลฯ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทำงาน k อย่าง เท่ากับ ..n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}\cdot \cdots n_{k}..วิธี

ตัวอย่างที่ 1 มีเสื้อ 3 ตัว กางเกง 4 ตัว จะจัดเป็นชุดที่ไม่ซ้ำกันได้กี่แบบ …….ตอบ3\times 4 = 12 แบบ
……………มีเรือวิ่งข้ามฟาก 3 ลำ จะนั่งเรือไปและกลับไม่ให้ซ้ำลำกันได้กี่วิธี …….ตอบ 3\times 2 = 6 วิธี
……………ทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง จะมีผลออกมาได้กี่แบบ ……. ตอบ6\times 6 = 36 แบบ

ตัวอย่างที่ 2 ใช้ตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 มาสร้างจำนวน 3 หลัก จะสร้างได้กี่จำนวน ถ้ากำหนดให้
…..1) แต่ละหลักไม่ซ้ำกัน …….ตอบ 5\times 5\times 4 = 100 จำนวน
…..2) เป็นจำนวนคี่และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน …….ตอบ 4\times 4\times 3 = 48จำนวน
…..3) มีค่ามากกว่า 350 และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน……. ตอบ \left ( 1\times 1\times 3 \right )+\left ( 2\times 5\times 4 \right ) = 43 จำนวน
…..4) หารด้วย 10 ลงตัว……. ตอบ 1\times 5\times 6 = 30 จำนวน

ตัวอย่างที่ 3 บริษัทรถยนต์แห่งหนึ่งตัวถังรถยนต์ออกมา 2 แบบ มีเครื่องยนต์ 2 ขนาด และสีต่าง ๆ กัน 3 สี ถ้าต้องการแสดงรถยนต์ให้ครบทุกแบบ ทุกขนาดและทุกสี จะต้องใช้รถยนต์อย่างน้อยที่สุดกี่คัน
….วิธีทำ  เลือกตัวถังแล้วเลือกเครื่องยนต์แล้วเลือกสีได้ 2\times 2\times 3 = 12 คัน

ตัวอย่างที่ 4 จัดคน 10 คน นั่งเก้าอี้ 3 ตัว ซึ่งวางเรียงเป็นแถวเดียวกันได้ทั้งหมดกี่วิธี
….วิธีทำ  จัดคนเข้านั่งได้  10\times 9\times 8 = 720 วิธี

ตัวอย่างที่ 5 ข้อสอบฉบับหนึ่งมี 10 ข้อเป็นแบบถูก – ผิด จะมีวิธีตอบข้อสอบที่ไม่ซ้ำกันเลยได้ทั้งหมดกี่วิธี
….วิธีทำ…..ทำแบบทดสอบได้  2\times 2\times 2 \times \cdots \times 2 = 2^{10} = 1024 วิธี

ตัวอย่างที่ 6 ในการเลือกตั้งคณะกรรมการชุดหนึ่งจะประกอบไปด้วย ประธาน รองประธาน เหรัญญิก และเลขานุการ โดยที่กรรมการแต่ละคนจะดำรงตำแหน่งได้เพียงตำแหน่งเดียวเท่านั้น ถ้ามีผู้สมัครทั้งหมด 6 คน เป็นชาย 2 คน เป็นหญิง 4 คน ผลการเลือกตั้งกรรมการชุดนี้จะมีได้ทั้งหมดกี่แบบที่ต่างกัน โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ6\times 5\times 4\times 3 = 360 แบบ
……. 2. กำหนดให้ประธานเป็นชาย และเลขาต้องเป็นหญิง …….ตอบ2\times 4\times 4\times 3 = 96 แบบ
……. 3. กรรมการต้องเป็นหญิงล้วน …….ตอบ4\times 3\times 2\times 1 = 24 แบบ

ตัวอย่างที่ 7 หมายเลขโทรศัพท์เคลื่อนที่ที่ขึ้นต้นด้วย 086720 xxxx จะมีทั้งหมดกี่หมายเลข
….วิธีทำ…..เลือกหมายเลขขึ้นต้นได้ 1 วิธีจากนั้นเลือกอีก 4 หมายเลขที่เหลือได้ จะได้ 1\times 10\times 10\times 10\times 10 = 10,000 หมายเลข

ตัวอย่างที่ 8 จากอักษรในคำว่า “PHYSIC” นำมาสร้างคำใหม่ประกอบด้วย 3 อักษร ต่างกัน (ไม่สนใจความหมายของคำเหล่านั้น) โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ6\times 5\times 4 = 120 วิธี
……. 2. ต้องเป็นพยัญชนะทั้งหมด …….ตอบ5\times 4\times 3 = 60 วิธี

ตัวอย่างที่ 9 ห้องประชุมแห่งหนึ่งมี 3 ประตู จงหาวิธีในการเดินเข้า – ออกห้องประชุม โดยมีเงื่อนไขต่างกัน ดังนี้
……. 1. จำนวนวิธีในการเดินเข้า …….ตอบ3 วิธี
……. 2. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก …….ตอบ3\times 3 = 9 วิธี
……. 3. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก โดยไม่ซ้ำประตูกัน …….ตอบ3\times 2 = 6 วิธี
……. 4. จำนวนวิธีในการเดินเข้า – ออก โดยใช้ประตูเดิม …….ตอบ3\times 1 = 3 วิธี

ตัวอย่างที่ 10 จดหมายแตกต่างกัน 3 ฉบับ ต้องการทิ้งจดหมายในตู้ไปรษณีย์ 4 ตู้ จะทิ้งได้กี่วิธี โดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม …….ตอบ4\times 4\times 4 = 64 วิธี
……. 2. ห้ามทิ้งซ้ำตู้กัน …….ตอบ4\times 3\times 2 = 24 วิธี

ตัวอย่างที่ 11 ครูมีหนังสือ 4 เล่มแตกต่างกัน ถ้าต้องการแจกให้นักเรียน 5 คน จงหาจำนวนวิธีแจกหนังสือโดยที่
……. 1. ไม่มีเงื่อนไข …….ตอบ5\times 5\times 5\times 5 = 5^4 = 625 วิธี
……. 2. ไม่มีใครได้หนังสือเกิน 1 เล่ม …….ตอบ5\times 4\times 3\times 2 = 120 วิธี

เพื่อที่จะให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น ให้ศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้นะครับ

หลังจากนั้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 1.1 และ 1.2 ไปลองทำเป็นการบ้านดูนะครับ เพื่อให้เกิดทักษะ กระบวนการเรียนรู้ มากยิ่ง ๆ ขึ้นไป

แบบฝึกหัดที่ 1.2 กฏการนับเบื้องต้น (O-NET)

หรือดาวน์โหลดที่ >>>  แบบฝึกหัดที่ 1.1 กฏการนับเบื้องต้น แบบฝึกหัดที่ 1.2 กฏการนับเบื้องต้น

 

 

Advertisements

Posted on ่22 พฤษภาคม, 2014, in คณิตพื้นฐาน ม.5 and tagged , , , . Bookmark the permalink. ใส่ความเห็น.

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: