การหารกรณฑ์ที่สอง

……..การหารจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง ถ้าตัวหาร (ส่วน) มี 1 พจน์ ให้ใช้สมบัตินี้ครับ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}  นั่นคือนำส่วนหารตลอด  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ \frac{3\sqrt{24}-\sqrt{54}+7\sqrt{150}}{\sqrt{3}}
…..วิธีทำ…..นำ \sqrt{3} หารตลอดจะได้เป็น
…………………..\frac{3\sqrt{24}-\sqrt{54}+7\sqrt{150}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}}+\frac{7\sqrt{150}}{\sqrt{3}}
………………………………………..= 3\sqrt{\frac{24}{3}}-\sqrt{\frac{54}{3}}+7\sqrt{\frac{150}{3}}
………………………………………..= 3\sqrt{8}-\sqrt{18}+7\sqrt{50}
………………………………………..= 3\sqrt{4\times 2}-\sqrt{9\times 2}+7\sqrt{25\times 2}
………………………………………..= 6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+35\sqrt{2} = 38\sqrt{2}

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ  \left ( \sqrt{450}-\sqrt{98}+\sqrt{288} \right )\div \sqrt{200}
…..วิธีทำ…..ทำในวงเล็บให้อยู่ในรูปอย่างง่ายก่อน ได้เป็น
………………..=\left ( \sqrt{2\times 225}-\sqrt{2\times 49}+\sqrt{2\times 144} \right )\div \sqrt{2\times 100}
………………..= \left ( 15\sqrt{2}-7\sqrt{2}+12\sqrt{2} \right ) \div 10\sqrt{2}
………………..= 20\sqrt{2} \div 10\sqrt{2} = 2

……การหารจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง ถ้าตัวหาร (ส่วน) มี 2 พจน์ เช่นตัวหารเป็น \sqrt{a}-\sqrt{b} ให้ใช้ สังยุค (Conjugate) ของ \sqrt{a}-\sqrt{b} คือ \sqrt{a}+\sqrt{b} มาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้ตัวส่วนกลายเป็นจำนวนตรรกยะ
…………. \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b}\right )\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}\right ) = (\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2 = a - b…….(ผลต่างกำลังสอง)

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า ..x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}..จงหาค่าของ..8x-x^2
…….วิธีทำ…..x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}
……………… x = \frac{5-\sqrt{5}-\sqrt{5}+3}{5-3} = \frac{8-2\sqrt{5}}{2} = 4-\sqrt{5}
…………….. x^2= \left ( 4-\sqrt{5} \right )^2 = 16-8\sqrt{5}+5 = 21 - 8\sqrt{5}
…….ดังนั้น 8x-x^2 = \left ( 32 - 8\sqrt{5} \right )-\left ( 21 - 8\sqrt{5} \right ) = 11

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}.. และ..y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} ..จงหาค่าของ..  x^2-5xy+y^2
…….วิธีทำ…..x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{3-\sqrt{6}-\sqrt{6}+2}{3-2} = 5-2\sqrt{6}
………………y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{6}+2}{3-2} = 5+2\sqrt{6}
……………..เนื่องจากxและ...yเป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน ทำให้ x\cdot y = 1
……….และ x^2-5xy+y^2 = \left ( x^2+2xy+y^2 \right )-7xy = \left ( x+y \right )^2-7xy
………. ดังนั้น .. x^2-5xy+y^2 = (x+y)^2-7xy = (10)^2-7(1) = 93

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}
………วิธีทำใช้ Conjugate ของส่วนคูณตลอด แล้วทำการตัดทอน จะได้
…………….=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}\times \frac{\sqrt{15}-\sqrt{16}}{\sqrt{15}-\sqrt{16}}
…………… = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+ \cdots + \frac{\sqrt{15}-\sqrt{16}}{15-16}
…………… = \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{4}+\cdots +\sqrt{15}-\sqrt{16}}{-1}
…………… = \frac{1-\sqrt{16}}{-1} = \frac{1-4}{-1} = 3

…….จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง การหารกรณฑ์ที่สอง ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การหารกรณฑ์ที่สอง

Advertisements

Posted on ่24 มิถุนายน, 2013, in คณิตเพิ่มเติม ม.3 and tagged , . Bookmark the permalink. ใส่ความเห็น.

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

%d bloggers like this: