คลังเก็บบล็อก

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์

…….ในครวที่แล้วได้กล่าวถึง  การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ ซึ่งหาได้จากพหุนามที่เราแยกตัวประกอบได้ แต่ในการหาคำตอบของสมการ ax^2+bx+c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว  และ a \neq 0 นั้น ในบางครั้งไม่สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม  ax^2+bx+c  ได้โดยง่ายดังเช่นที่ผ่านมา ในกรณีเช่นนี้เราอาจใช้ความรู้ในเรื่องกำลังสองสมบูรณ์ มาช่วยในการแก้สมการนี้
…….หลักการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
…….1. ทำสัมประสิทธิ์ของ ..x^2 ..ให้เป็น.. 1..ก่อน
…….2. จัดให้พจน์อิสระ คือพจน์ที่ไม่มี x อยู่ทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ
…….3. ให้บวกด้วยกำลังสองของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ
…….4. ทางด้านซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับให้เขียนเป็นรูปสองพจน์ยกกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ x^2-6x-1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-6x…..= 1
……………………..x^2-6x+3^2 = 1+9
…………………………..(x-3)^2 = 10
………………………………x-3 = \pm \sqrt{10}
……………………………………x = 3 \pm \sqrt{10}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ x^2-5x+2 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-5x…..= -2
………………….x^2-5x+(\frac{5}{2})^2 = -2+\frac{25}{4}
………………………….(x-\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}
……………………………..x-\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}
…………………………………..x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+x+1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2+x…..= -1
………………….x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = -1 +\frac{1}{4}
…………………………(x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4}
…….เนื่องจาก (x+\frac{1}{2})^2 \geq 0 สำหรับทุกค่าของ x
…….แสดงว่าไม่มีค่า x ที่ทำให้สมการ (x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4} เป็นจริง
……………….นั่นคือ สมการ x^2+x+1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ 3x^2-7x-1 = 0
วิธีทำ…..นำ 3 หารตลอด แล้วย้ายข้าง จัดรูปสมการ จะได้
………………….x^2-\frac{7}{3}x…..= \frac{1}{3}
……………x^2-\frac{7}{3}x+(\frac{7}{6})^2 = \frac{1}{3}+\frac{49}{36}
……………………(x-\frac{7}{6})^2 = \frac{12+49}{36}=\frac{61}{36}
………………………..x-\frac{7}{6} = \pm \frac{\sqrt{61}}{6}
……………………………..x = \frac{7\pm \sqrt{61}}{6}

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า  \frac{1+\sqrt{13}}{2}   และ  \frac{1-\sqrt{13}}{2}   เป็นรากของสมการ  ax^2-x+c = 0  เมื่อ    a \neq 0   แล้ว a^2+c^2    มีค่าเท่าใด
วิธีทำใช้กระบวนการคิดย้อนกลับ จากx = \frac{1\pm \sqrt{13}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2}
…………..จะได้เป็น………(x- \frac{1}{2})^2 = \frac{13}{4}
…………………………..x^2-x+\frac{1}{4} = \frac{13}{4}
………………………….x^2-x-3 = 0
…………..เทียบ ส.ป.ส. จะได้a=1, c=-3
………ดังนั้นa^2+c^2 = 1^2+(-3)^2 = 10

ตัวอย่างที่ 6 ถ้าผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนเรียงกันเท่ากับ  462   แล้วผลบวกของจำนวนทั้งสองนี้มีค่าเท่าไร
วิธีทำ…….ให้จำนวนที่เรียงกันสองจำนวนเป็น  x และ x+1
……………….จะได้………x(x+1) = 462
………………………x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = 462+\frac{1}{4}
……………………………..(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{1848+1}{4} = \frac{1849}{4}
…………………………………x+\frac{1}{2} = \pm \frac{43}{2}
……………………………………….x = \frac{-1\pm 43}{2} = \frac{42}{2}, -\frac{44}{2}
……………………………………….x = 21, -22
……………………………………….x = 21
……………ดังนั้น ผลบวกของจำนวนทั้งสอง เป็น 21+22 = 43

หลังจากดูตัวอย่างแล้วเป็นยังไงบ้างครับ เกี่ยวกับการแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์พอจะเข้ากันกันบ้างไหมเอ่ย เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น งั้นไปลองดูคลิปกันเลยครับ

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

…….พหุนามดีกรีสองเมื่อทำการแยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งที่ซ้ำกัน  เช่น x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)  = (x + 2)2  เรียกพหุนามที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า กำลังสองสมบูรณ์ (Perfect Square) 

…….พหุนามที่อยู่ในรูป กำลังสองสมบูรณ์ ถ้าให้ น = พจน์หน้า,  ล = พจน์หลัง จะเขียนในรูป
………………………….2 + 2นล + ล2
………………………….2 – 2นล + ล2
…….ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้
………………………….(หน้า)2 + 2หน้าหลัง + (หลัง)2  =  (หน้า + หลัง)2
………………………….(หน้า)2 – 2หน้าหลัง + (หลัง)2  =  (หน้า – หลัง)2

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ  a2 – 8a + 16
วิธีทำ……….a2 – 8a + 16  =   a2 – (2)(a)(4) + 42
…………………””””…….=  (a – 4)2

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ  121x2 + 154x + 49
วิธีทำ……….121x2 + 154x + 49  =   (11x)2 + (2)(11x)(7) + 72
………………………………….=  (11x + 7)2

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม (x + 2)2 – 18(x2 + 2x) + 81x2
วิธีทำ……….  (x + 2)2 – 18(x2 + 2x) + 81x2  =  (x + 2)2 – 18x(x + 2) + 81x2
……………………………………………=  (x + 2)2 – 2(x + 2)(9x) + (9x)2
………………………………………….. =  [ (x + 2) – 9x ]2
………………………………………….. =  (2 – 8x)2

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม (x+1)^2+14(x+1)+49
วิธีทำ…….(x+1)^2+14(x+1)+49 = (x+1)^2+2(x+1)(7)+7^2
………………………………………= [(x+1)+7]^2
…………..ดังนั้น(x+1)^2+14(x+1)+49 = (x+8)^2

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 4x^2-4(x^2-3x)+(x-3)^2
วิธีทำ…….4x^2-4(x^2-3x)+(x-3)^2 = (2x)^2-4x(x-3)+(x-3)^2
………………………………..= (2x)^2-2(2x)(x-3)+(x-3)^2
………………………………..= [2x-(x-3)]^2
………………………………..= (2x-x+3)^2
…………..ดังนั้น4x^2-4(x^2-3x)+(x-3)^2 = (x+3)^2

…….สำหรับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 จะซับซ้อนมากยิ่งขึ้น ซึ่งข้อดีของวิธีนี้คือ ใช้แยกจำนวนที่มีตัวเลขเยอะ ๆ ที่เราคิดในใจไม่ได้ หรือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนได้ในรูปจำนวนเต็ม แต่จำนวนที่ได้จะเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ ก็ได้ ลองไปศึกษากันเลยครับ แต่อยากฝากแนวคิดง่าย ๆ คือ ให้เราเขียนพหุนามมาสองพจน์ แล้วเอา 2 หารพจน์กลาง จากนั้นให้ยกกำลังสอง ได้เท่าไหร่ให้ลบทิ้ง แล้วยกพจน์สุดท้ายมา จากนั้นทำการบวกลบกันแล้วใช้สูตร ผลต่างกำลังสองเข้าช่วยครับ …ลองไปดูกันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบ x^2-26x+165
วิธีทำ…….= x^2-26x+13^2-169+165
…………..= (x-13)^2+(-169+165)
…………..= (x-13)^2-4
…………..= (x-13)^2-2^2
…………..= (x-13+2)(x-13-2)
…………..= (x-11)(x-15)

ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบ x^2-7x-228
วิธีทำ……= x^2-7x+(\frac{7}{2})^2-\frac{49}{4}-228
………….= (x-\frac{7}{2})^2-\frac{961}{4}
………….= (x-\frac{7}{2})^2-(\frac{31}{2})^2
………….= (x-\frac{7}{2}+\frac{31}{2})(x-\frac{7}{2}-\frac{31}{2})
………….= (x+\frac{24}{2})(x-\frac{38}{2})
………….= (x+12)(x-19)

ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบ x^2-6x+2
วิธีทำ…..= x^2-6x+3^2-9+2
…………= (x-3)^2-7
…………= (x-3)^2-(\sqrt{7})^2
…………= (x-3+\sqrt{7})(x-3-\sqrt{7})

ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบ x^2-5x+1
วิธีทำ…..= x^2-5x+(\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}+1
…………= (x-\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}
…………= (x-\frac{5}{2})^2-(\frac{\sqrt{21}}{2})^2
…………= (x-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2})(x-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{21}}{2})
…………= (x-\frac{5-\sqrt{21}}{2})(x-\frac{5+\sqrt{21}}{2})

ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบ 3x^2+19x-14
วิธีทำ…..= 3\left \{ x^2+\frac{19}{3}x-\frac{14}{3} \right \}
…………= 3\left \{ x^2+\frac{19}{3}x+(\frac{19}{6})^2-\frac{361}{36}-\frac{14}{3} \right \}
…………= 3\left \{ (x-\frac{19}{6})^2-\frac{361}{36}-\frac{168}{36} \right \}
…………= 3\left \{ (x-\frac{19}{6})^2-\frac{529}{36} \right \}
…………= 3\left \{ (x-\frac{19}{6})^2-(\frac{23}{6})^2 \right \}
…………= 3\left \{ (x+\frac{19}{6}+\frac{23}{6})(x+\frac{19}{6}-\frac{23}{6}) \right \}
…………= 3\left \{ (x+\frac{42}{6})(x-\frac{4}{6}) \right \}
…………= (x+7)(3x-2)

ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบ -2x^2+x+7
วิธีทำ…..= -2\left \{ x^2-\frac{1}{2}x-\frac{7}{2} \right \}
…………= -2\left \{ x^2-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}-\frac{7}{2} \right \}
…………= -2\left \{ (x-\frac{1}{4})^2-\frac{57}{16} \right \}
…………= -2\left \{ (x-\frac{1}{4})^2-(\frac{\sqrt{57}}{4})^2 \right \}
…………= -2(x-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{57}}{4})(x-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{57}}{4})
…………= -2(x-\frac{1-\sqrt{57}}{4})(x-\frac{1+\sqrt{57}}{4})

เพื่อให้มีความเข้าใจมากยิ่งขึ้น ลองดูจากคลิปวิดีโอเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบ พหุนามโดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งสอนโดย พี่โต๋-วชิรา โอภาสวัฒนา

ให้นักเรียนลองแยกตัวประกอบของพหุนาม โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จากแบบฝึกด้านล่างนี้ลองดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>ระดับ ม.2 การแยกตัวประกอบโดยวิธีกำลังสองสมบูรณ์ |ระดับ ม.3 กำลังสองสมบูรณ์ |

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 66 other followers