คลังเก็บบล็อก

การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (Joint Variation)

การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (joint variation) เป็นความสัมพันธ์สิ่งหนึ่งกับอีกหลายสิ่ง บางครั้งเรียก การแปรผันร่วม

บทนิยาม ให้.. x, y_1, y_2, ..., y_n.. แทนปริมาณใด ๆ .. x..แปรผันโดยตรงกับ.. y_1, y_2, ..., y_n..คือ  x\propto(y_1)(y_2) ..., (y_n)..ความสัมพันธ์ที่เกิดนี้เรียกว่า .. x..แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ.. y_1, y_2, ..., y_n..อสังเ

ข้อสังเกต  การแปรผันเกี่ยวเนื่อง ไม่จำเป็นต้องเป็นการแปรผันตรงเท่านั้น อาจเป็นการแปรผกผันก็ได้ เช่น
……. x..แปรผันตรงกับ..y..และ..z..คือ..x\propto yz
……. x..แปรผันตรงกับ..y..และแปรผกผันกับ..z..คือ..x\propto\frac{y}{z}
…..หรือ..x..แปรผันตรงกับ..a..และ..b..แต่แปรผกผันกับ..c..คือ..x\propto\frac{ab}{c}

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x แปรผันตาม y และแปรผกผันกับ z กำหนด x=180 เมื่อ y=200 และ z=4 จงหาค่า x เมื่อ y=200 และ z=15

ตัวอย่างที่ 2 กำลังไฟฟ้าแปรผันตามความต้องการไฟฟ้าและกำลังสองของกระแสไฟฟ้า ถ้ากำลังไฟฟ้า 60 วัตต์ เมื่อความต้านทาน 15โอห์ม และกระแสไฟฟ้า 2 แอมแปร์ จงหาว่าเมื่อกระแสไฟฟ้าเป็น 3 แอมแปร์ ความต้านทานเป็น 20 โอห์ม กำลังไฟฟ้าจะเป็นเท่าไร

ตัวอย่างที่ 3 ในการทัศนาจรครั้งหนึ่ง ค่าใช้จ่ายแบ่งเป็น 2 ส่วน ส่วนหนึ่งคงที่ อีกส่วนหนึ่งแปรตามจำนวนนักท่องเที่ยว ถ้ามีนักท่องเที่ยวจำนวน 100 คน จะต้องใช้จ่าย 5,900 บาท แต่ถ้ามีนักท่องเที่ยว 250 คน จะเสียค่าใช้จ่าย 12,950 บาท ถ้ามีนักท่องเที่ยว 200 คน จะเสียค่าใช้จ่ายเท่าใด

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า y เท่ากับผลบวกของสองจำนวน จำนวนหนึ่งแปรผันโดยตรงกับ x อีกจำนวนหนึ่งแปรผกผันกับ x ถ้า y เท่ากับ 7 เมื่อ x = 1 และ y = 5 เมื่อ x = 2 จงหาค่า y เมื่อ x = 4

การแปรผกผัน (Inverse Variation)

…….การแปรผกผัน (Inverse variation) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างของสองสิ่งหรือปริมาณสองปริมาณ เมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอีกสิ่งหนึ่งลดลงอย่างเป็นสัดส่วนกัน หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลดลงอีกสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอย่างเป็นสัดส่วนกัน เช่น การทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าคนมากงานจะเสร็จเร็ว แต่คนน้อยงานจะเสร็จช้า เรียกว่า การแปรกลับกัน หรือ การแปรผกผัน หรือ สัดส่วนผกผัน

บทนิยาม กำหนดให้  x และ y  แทนปริมาณใด ๆ y แปรผกผันกับ x ใช้สัญลักษณ์ y\propto \frac{1}{x}.. เขียนในรูปสมการเป็น y=\frac{k}{x} ..เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ k\not=0

ข้อสังเกต  การแปรผันแบบผกผันไม่มีสมบัติการสมมาตร นั่นคือ ถ้า y\propto \frac{1}{x} แล้วไม่จำเป็นที่ x\propto \frac{1}{y}

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x แปรผกผันกับ y และ x=-3 เมื่อ y=2  ค่าของ x เท่ากับเท่าใดเมื่อ y=-1
วิธีทำ   จากโจทย์ x\propto \frac{1}{y} จะได้ x=\frac{k}{y}
…………แทนค่า x=-3 เมื่อ y=2 ใน  x=\frac{k}{y}
………….จะได้ -3=\frac{k}{2}  →  k=-6
…………..แทนค่า y=-1 ใน  x=\frac{-6}{y}
……………จะได้   x=\frac{-6}{-1} = 6 ……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า x+1 แปรผกผันกับ y-2 และ x=4 เมื่อ y=8  ค่าของ y เท่ากับเท่าใดเมื่อ x=2
วิธีทำ จากโจทย์ x+1\propto \frac{1}{y-2} จะได้ x+1 =\frac{k}{y-2}
………แทนค่า  x=4 เมื่อ y=8  ในสมการ x+1 =\frac{k}{y-2}
………จะได้  4+1 =\frac{k}{8-2}  →  k = 30
………จะได้สมการ x+1 =\frac{30}{y-2}
……….หาค่า y เมื่อ x=2 จาก 2+1 =\frac{30}{y-2}
…………………..y-2 =\frac{30}{3}  →  y = 12
……. \therefore y มีค่าเท่ากับ 12  .. เมื่อ x=2 ………ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 การประกอบรถยนต์ 1 คัน ใช้คนทำอยู่ 5 คน ถ้าเพิ่มคนงานขึ้นอีก 1 คน งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 ชั่วโมง ถ้าเวลาที่ทำงานนี้แปรผกผันกับจำนวนคนงาน ถ้าต้องการให้งานเสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง ต้องเพิ่มคนงานอีกกี่คน
วิธีทำ  กำหนดให้  H = จำนวนชั่วโมงที่ทำงานเสร็จN = จำนวนคนงาน
……….จากโจทย์  H\propto \frac{1}{N}  จะได้  H =\frac{k}{N}
………ถ้า  N=5 จะได้  H =\frac{k}{5}
………ถ้า  N=6 งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 ชั่วโมง
…..\therefore ..จะได้ว่า H-8 =\frac{k}{6}
………แก้สมการโดยการแทนค่า.. H =\frac{k}{5} ได้เป็น \frac{k}{5}-8=\frac{k}{6}
………………….. \frac{k}{5}-\frac{k}{6}=8
………………….. \frac{k}{30}=8 …→…k = 240
……..แทนค่า k ใน H =\frac{k}{5}  ได้  H =\frac{240}{5} = 48
…….นั่นคือ ถ้าใช้คน 5 คน จะแล้วเสร็จใน 48  ชั่วโมง
……………..ถ้างานนี้เสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง คือเสร็จใน 48 – 28 = 20 ชั่วโมง
…….จาก  H =\frac{24o}{N}
…….แทนค่า 20 =\frac{240}{N} N =\frac{240}{20} = 12
…….ถ้าต้องการให้เสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง ต้องใช้คน 12 คน
……. \therefore จะเพิ่มคนอีก 12-5 = 7 ..คน…………….ตอบ

ลองทำดู ถ้า y แปรผกผันกับ x+\sqrt{x} และ y=1 เมื่อ x=2  ค่าของ x เป็นเท่าไร เมื่อ y=\frac{1}{2-\sqrt{2}}
[Ans x=1]

การแปรผันตรง (Direct Variation)

…..การแปรผัน (variation) คือ ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณหรือมากกว่านั้น เมื่อปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงไป อีกปริมาณหนึ่งจะเปลี่ยนตามไปด้วย อย่างได้สัดส่วนกัน สามารถแบ่งการแปรผันออกเป็น 3 ชนิด คือ
….. 1. การแปรผันตรง (direct variation)
….. 2. การแปรผกผัน (inverse variation)
….. 3. การแปรผันเกี่ยวเนื่อง (joint variation)

…..การแก้ปัญหาโจทย์การแปรผัน
…..1. พิจารณาว่ามีสิ่งที่เกี่ยวข้องกันอยู่กี่สิ่ง กำหนดตัวแปร เท่ากับจำนวนสิ่งที่เกี่ยวข้องกันตามโจทย์ และเขียนหน่วย
…..2. สร้างสมการแปรผัน แล้วเปลี่ยนเป็นสมการที่มีค่าคงตัว (นิยมใช้ค่า k)
…..3. แทนค่าตัวแปร เพื่อแก้สมการหาค่า k
…..4. เขียนสมการโดยแทนค่า k แล้วหาค่าที่โจทย์ถาม

การแปรผันตรง

…..การแปรผันตรง (direct variation) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างของสองสิ่งหรือปริมาณสองปริมาณ เมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มอีกสิ่งหนึ่งก็เพิ่มขึ้นตามไปด้วยอย่างเป็นสัดส่วนกัน หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลดอีกสิ่งหนึ่งก็ลดลงตามไปด้วยอย่างเป็นสัดส่วนกัน เรียกว่า การแปรผันตามกัน หรือ การแปรผันตรง หรือ เป็นสัดส่วนโดยตรง

บทนิยาม กำหนดให้ x  และ y  แทนปริมาณใด ๆ y  แปรผันตรงกับ x  ใช้สัญลักษณ์ y\propto x เขียนในรูปสมการเป็น y=kx เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ k\not=0 เรียก k  ว่า ค่าคงตัวแห่งการแปรผัน (variation constant)

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า y แปรผันโดยตรงกับ x กำหนด y=4 เมื่อ x=3  จงหาค่า y เมื่อ x=21
วิธีทำ   จาก y\propto x จะได้ y=kx (เมื่อ k เป็นค่าคงตัว)
…………แทนค่า y=4 เมื่อ x=3 ใน  y=kx  จะได้
…………….4=k(3)  →  k=\frac{4}{3}
…………….จะได้  y=\frac{4}{3}x
……………แทนค่า x=21 จะได้   y=\frac{4}{3}\times 21 = 28 ……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า x แปรผันตามกำลังสองของ y และ x=72 เมื่อ y=3  จงหาค่าคงตัวของการแปรผัน และค่าของ y เมื่อ x=288
วิธีทำ  x แปรผันตามกำลังสองของ y คือ x\propto y^2
…….จะได้ x=ky^2  (เมื่อ k เป็นค่าคงตัว)
…….แทนค่า  x=72 เมื่อ y=3   ใน x=ky^2
……..จะได้  72 = k(9)  → k=8
…….ดังนั้น จะได้สมการเป็น x=8y^2
…….ถ้า x=288 ค่า y คือ    288=8y^2
……………..  y^2 = \frac{288}{8} = 36
……………… y=\pm 6……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ a+b \propto 2a-5b ถ้า b = 32 เมื่่อ a = 20 แล้ว  a มีค่าเป็นเท่าใด เมื่อ b = 40
วิธีทำจาก a+b \propto 2a-5b  จะได้  a+b = k(2a-5b)
…………แทนค่า  a = 20 และ b = 32
………… จะได้ …..20+32 = k [2(20)-5(30)]
…………………….. k = \frac{52}{-120} = -\frac{13}{30}
…………ดังนั้น จะได้สมการเป็น a+b = -\frac{13}{30}(2a-5b)
………..ถ้า b = 40 จะได้ a+40= -\frac{13}{30}(2a-200)
…………………….1200 + 30a = -26a + 2600
………………………………56a = 1400
…………………………….a = \frac{1400}{56} = 25………ตอบ

ตัวอย่างที่ 4  ถ้าอัตราการหมุนของกังหันลมแปรผันตามกำลังสองของอัตราเร็วของกระแสลม ในขณะที่อัตราเร็วของกระแสลมเท่ากับ 20 กิโลเมตรต่อชั่วโมง สังเกตได้ว่ากังหันหมุน 5 รอบต่อนาที ถ้าในขณะหนึ่งสังเกตเห็นกังหันหมุน 600 รอบต่อชั่วโมง ความเร็วลมในขณะนั้นเป็นเท่าใด
วิธีทำให้ M แทนอัตราการหมุนของกังหันลม (รอบ/นาที)และvอัตราเร็วของกระแสลม (กม./ชม.)
…………….จะได้M \propto v^2  …. → M = kv^2
…………….แทนค่า M = 5 เมื่่อ v = 20
…………….จะได้……5 = k(20)^2
……………………….. k = \frac{5}{400} = \frac{1}{80}
………….เขียนสมการได้เป็น ……M = \frac{1}{80}v^2
…………แทนค่า .M = 600 รอบต่อชั่วโมง คิดเป็น M = \frac{600}{60} = 10 รอบต่อนาที ลงในสมการ
……………จะได้เป็น…..10 = \frac{1}{80}v^2…..v^2 = 800
…………………. v = \sqrt{800} = \sqrt{400\times 2} = 20\sqrt{2}  กิโลเมตรต่อชั่วโมง ………ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 ความยาวของก้านลูกตุ้มนาฬิกา แปรผันตามกำลังสองของเวลาแกว่งครบรอบ ถ้าก้านลูกตุ้มนาฬิกายาว 99.2 เซนติเมตร จะแกว่งครบรอบใน 2 วินาที ก้านของลูกตุ้มต้องยาวกี่เซนติเมตร จึงจะแกว่งได้นาทีละ 24 รอบ
วิธีทำ กำหนดให้  L เป็นความยาวของก้านลูกตุ้มนาฬิกา หน่วยเป็น เซนติเมตร
……………..   t เป็นเวลาแกว่งครบรอบของลูกตุ้ม หน่วยเป็น วินาที
…….. จากโจทย์  L แปรผันตามกำลังสองของ t คือ L\propto t^2
…….จะได้ L=kt^2  (เมื่อ k เป็นค่าคงตัว)
…….แทนค่า  L=99.2 เมื่อ t=2   ใน L=kt^2
……..จะได้  99.2 = k(2)^2  → k=\frac{99.2}{4} = 24.8
…….ดังนั้น จะได้สมการเป็น L=24.8t^2
……. ลูกตุ้มนาฬิกาแกว่งได้นาทีละ 24 รอบ หมายถึง 24 รอบ ในเวลา 60 วินาที
…….ถ้า 1 รอบ ในเวลา \frac{60}{24} = \frac{5}{2} นาที
…….ถ้า t = \frac{5}{2} ..จะได้..L = 24.8(\frac{5}{2})^2
………………….L=\frac{25}{4}\times 24.8 = 155
……. \therefore ก้านของลูกตุ้มนาฬิกายาว..155.. เซนติเมตร ……….ตอบ

เป็นอย่างไรบ้างครับมีความรู้ ความใจเกี่ยวกับกับการแปรผันตรงมากขึ้นไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองคลิกเข้าไปดูคลิปวิดีโออีกครั้งครับ

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 66 other followers