คลังเก็บบล็อก

สมการเสิร์ด (Surd Equations)

…..สมการเสิร์ด (surd equations) คือ สมการซึ่งตัวแปรอยู่ในรูปเครื่องหมายกรณฑ์ การแก้สมการเสิร์ด ใช้วิธียกกำลังสองเพื่อให้เครื่องหมายกรณฑ์หมดไป

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ x จากสมการ \sqrt{2x-1}+2 = x
……วิธีทำ………….\sqrt{2x-1} = x-2
……………ยกกำลังสองทั้งสองข้าง ; 2x-1 = (x-2)^2 = x^2-4x+4
…………………………..x^2-6x+5 = 0
……………………… (x-5)(x-1) = 0
……………………………………..x = 5, 1 ….(แต่ 1 ใช้ไม่ได้)
…………ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ x = 5

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ x จากสมการ \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x-7}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x-7}} = 2
…….วิธีทำ…..ย้ายข้าง….\sqrt{1+x}+\sqrt{x-7} = 2\sqrt{1+x}-2\sqrt{x-7}
………………………….3\sqrt{x-7} = \sqrt{1+x}
…………..ยกกำลังสอง ; …..9(x-7) = 1+x
……………………………..9x-63 = 1+x
…………………………………….8x = 64
…………………………………….x = 8

ตัวอย่างที่ 3  ถ้า  \sqrt{\frac{\left ( 4+ \sqrt{x+3}\right )^2}{6}+3} = 3  แล้ว  x  มีค่าเท่าใด
…….วิธีทำยกกำลังสอง ;\frac{\left ( 4+\sqrt{x+3} \right )^2}{6}+3 = 9
……………………………. \frac{\left ( 4+\sqrt{x+3} \right )^2}{6} = 6
………….   ………….\left ( 4+\sqrt{x+3} \right )^2 = 6\times 6 = 6^2
……………… จะได้ …….4+\sqrt{x+3} = 6
……………………………..  \sqrt{x+3} = 2
…………….ยกกำลังสอง ; ……. x+3 = 4
………………………………….. x = 1

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ \sqrt{3x+4}-\sqrt{3x-5} = 1
………วิธีทำ….ย้ายข้างสมการ จะได้… \sqrt{3x+4} = 1+\sqrt{3x-5}
……………….ยกกำลังสอง3x+4 = 1+2\sqrt{3x-5} + (3x-5)
……………………………8 = 2\sqrt{3x-5}
……………………………4 = \sqrt{3x-5}
…………………………..16 = 3x-5
……………………………..x = 7

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ \sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2} = \sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-4}
……..วิธีทำย้ายข้างสมการ จะได้ \sqrt{2x-1} -\sqrt{5x-4} = \sqrt{4x-3}-\sqrt{3x-2}
…………ยกกำลังสอง ;
(2x-1)-2\sqrt{(2x-1)(5x-4)}+(5x-4) = (4x-3)-2\sqrt{(4x-3)(3x-2)}+(3x-2)
…………………….. \sqrt{(2x-1)(5x-4)} = \sqrt{(4x-3)(3x-2)}
…………..ยกกำลังสอง ; 10x^2-13x+4 = 12x^2 -17x + 6
……………………………….2x^2-4x + 2 = 0
………นำ 2 หารตลอด จะได้ x^2-2x + 1 = 0
…………………………….. (x-1)(x-1) = 0
……………………………………………x = 1

…….จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง สมการเสิร์ด (Surd) ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดได้ที่ >>> สมการเสิร์ด (Surd Equation)

การหารกรณฑ์ที่สอง

……..การหารจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง ถ้าตัวหาร (ส่วน) มี 1 พจน์ ให้ใช้สมบัตินี้ครับ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}  นั่นคือนำส่วนหารตลอด  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ \frac{3\sqrt{24}-\sqrt{54}+7\sqrt{150}}{\sqrt{3}}
…..วิธีทำ…..นำ \sqrt{3} หารตลอดจะได้เป็น
…………………..\frac{3\sqrt{24}-\sqrt{54}+7\sqrt{150}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}}+\frac{7\sqrt{150}}{\sqrt{3}}
………………………………………..= 3\sqrt{\frac{24}{3}}-\sqrt{\frac{54}{3}}+7\sqrt{\frac{150}{3}}
………………………………………..= 3\sqrt{8}-\sqrt{18}+7\sqrt{50}
………………………………………..= 3\sqrt{4\times 2}-\sqrt{9\times 2}+7\sqrt{25\times 2}
………………………………………..= 6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+35\sqrt{2} = 38\sqrt{2}

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ  \left ( \sqrt{450}-\sqrt{98}+\sqrt{288} \right )\div \sqrt{200}
…..วิธีทำ…..ทำในวงเล็บให้อยู่ในรูปอย่างง่ายก่อน ได้เป็น
………………..=\left ( \sqrt{2\times 225}-\sqrt{2\times 49}+\sqrt{2\times 144} \right )\div \sqrt{2\times 100}
………………..= \left ( 15\sqrt{2}-7\sqrt{2}+12\sqrt{2} \right ) \div 10\sqrt{2}
………………..= 20\sqrt{2} \div 10\sqrt{2} = 2

……การหารจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง ถ้าตัวหาร (ส่วน) มี 2 พจน์ เช่นตัวหารเป็น \sqrt{a}-\sqrt{b} ให้ใช้ สังยุค (Conjugate) ของ \sqrt{a}-\sqrt{b} คือ \sqrt{a}+\sqrt{b} มาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้ตัวส่วนกลายเป็นจำนวนตรรกยะ
…………. \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b}\right )\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}\right ) = (\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2 = a - b…….(ผลต่างกำลังสอง)

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า ..x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}..จงหาค่าของ..8x-x^2
…….วิธีทำ…..x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}
……………… x = \frac{5-\sqrt{5}-\sqrt{5}+3}{5-3} = \frac{8-2\sqrt{5}}{2} = 4-\sqrt{5}
…………….. x^2= \left ( 4-\sqrt{5} \right )^2 = 16-8\sqrt{5}+5 = 21 - 8\sqrt{5}
…….ดังนั้น 8x-x^2 = \left ( 32 - 8\sqrt{5} \right )-\left ( 21 - 8\sqrt{5} \right ) = 11

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}.. และ..y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} ..จงหาค่าของ..  x^2-5xy+y^2
…….วิธีทำ…..x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{3-\sqrt{6}-\sqrt{6}+2}{3-2} = 5-2\sqrt{6}
………………y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{6}+2}{3-2} = 5+2\sqrt{6}
……………..เนื่องจากxและ...yเป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน ทำให้ x\cdot y = 1
……….และ x^2-5xy+y^2 = \left ( x^2+2xy+y^2 \right )-7xy = \left ( x+y \right )^2-7xy
………. ดังนั้น .. x^2-5xy+y^2 = (x+y)^2-7xy = (10)^2-7(1) = 93

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}
………วิธีทำใช้ Conjugate ของส่วนคูณตลอด แล้วทำการตัดทอน จะได้
…………….=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}\times \frac{\sqrt{15}-\sqrt{16}}{\sqrt{15}-\sqrt{16}}
…………… = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+ \cdots + \frac{\sqrt{15}-\sqrt{16}}{15-16}
…………… = \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{4}+\cdots +\sqrt{15}-\sqrt{16}}{-1}
…………… = \frac{1-\sqrt{16}}{-1} = \frac{1-4}{-1} = 3

…….จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง การหารกรณฑ์ที่สอง ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การหารกรณฑ์ที่สอง

การบวก ลบ คูณ กรณฑ์ที่สอง

……..ในการบวก ลบ จำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง จะต้องทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย (simplify) ก่อน แล้วใช้สมบัติการแจกแจง หรือดึงตัวร่วมพจน์ที่คล้ายกัน นำมาบวกลบกัน  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 3\sqrt{112}-2\sqrt{49}-\left ( 4\sqrt{63}-6\sqrt{175}+21 \right )
………..วิธีทำ…..= 3\sqrt{7\times 16}-2(7)-\left ( 4\sqrt{7\times 9}-6\sqrt{7\times 25}+21 \right )
……………………= 3\left ( 4\sqrt{7} \right )-14-4\left ( 3\sqrt{7} \right )+6\left ( 5\sqrt{7} \right )-21
……………………= 12\sqrt{7}-14-12\sqrt{7}+30\sqrt{7}-21
……………………= 30\sqrt{7}-35

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ \left ( \sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{27}+ \cdots +\sqrt{108} \right )^{2}
………..วิธีทำ…..= \left ( \sqrt{3}+\sqrt{4\times 3}+\sqrt{9\times 3}+ \cdots +\sqrt{36\times 3} \right )^{2}
…………………..= \left ( \sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+ \cdots +6\sqrt{3} \right )^{2}
…………………..= \left ( \sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+4\sqrt{3}+5\sqrt{3} +6\sqrt{3} \right )^{2}
…………………..= \left ( 21\sqrt{3} \right )^{2} = 21^{2}\times \left ( \sqrt{3} \right )^2
…………………..= 441 \times 3 = 1,323

……….ส่วนการคูณจำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ จะใช้สมบัติการแจกแจงและสูตรการกระจายของพหุนามเข้ามาช่วย เพื่อทำให้การคูณจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์สะดวกยิ่งขึ้น งั้นเรามาทบทวนสูตรกันก่อนนครับ
……….1) \sqrt{a}\times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
……….2) \sqrt{a}\times \sqrt{a} = \sqrt{a^{2}} = a
……….3) (A+B)^{2} = A^{2}+2AB+B^{2}
……….4) (A-B)^{2} = A^{2}-2AB+B^{2}
……….5) (A+B)(A-B) = A^{2}-B^{2}…..<— คู่สังยุค (Conjugate)

ตัวอย่างที่ 3 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ (3\sqrt{5}+7\sqrt{2})(\sqrt{5}-3\sqrt{2})
………..วิธีทำทำการแจกแจงได้เป็น 3\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}-3\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}+7\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}-7\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}
……………………. = 3(5)-9(\sqrt{10})+7(\sqrt{10})-21(2)
……………………. = 15-9\sqrt{10}+7\sqrt{10}-42
……………………  = -27-2\sqrt{10}

ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ (2\sqrt{3}-5)(2\sqrt{3}+5)+(\sqrt{5}-2\sqrt{2})(\sqrt{5}+2\sqrt{2})+(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})
………..วิธีทำจากการสังเกตพบว่าพจน์ที่คูณกันนั้นเป็นคู่ Conjugate ดังนั้นใช้สูตรผลต่างกำลังสอง (A+B)(A-B) = A^{2}-B^{2} มาช่วย
………………….. = \left ( 4\cdot 3-25 \right )+\left ( 5-4\cdot 2 \right )+\left ( 9\cdot 2-4\cdot 3 \right )
………………….. = (12-25)+(5-8)+(18-12)
………………….. = (-13)+(-3)+6 = -10

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ (1-\sqrt{2})^2(2+\sqrt{8})^2(1+\sqrt{2})^3(2-\sqrt{8})^3
……..วิธีทำมองเป็นคู่ Conjugate แล้วใช้สูตรผลต่างกำลังสอง จะทำให้ง่ายและสะดวกในการคำนวณ
………….. (1-\sqrt{2})^2(1+\sqrt{2})^2(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{8})^2(2-\sqrt{8})^2(2-\sqrt{8})
………….. = \left [ (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) \right ]^2\left [ (2+\sqrt{8})(2-\sqrt{8}) \right ]^2(1+\sqrt{2})(2-\sqrt{8})
………….. = (1-2)^2(4-8)^2(1+\sqrt{2})(2-2\sqrt{2})
………….. = (-1)^2(-4)^2(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})2
………….. = (1)(16)(1-2)(2) = - 32

หลังจากดูจากตัวอย่างข้างต้นแล้ว ให้นักเรียนลองดูจากคลิปวิดีโอต่อไปนี้ครับ เพื่อให้เกิดความรู้และความเข้าใจมากยิ่งขึ้น

…….จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง การบวก การลบ การคูณ กรณฑ์ที่สอง ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การบวก ลบ คูณ กรณฑ์ที่สอง

สมบัติของรากที่สองของจำนวนจริง

…….1. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกใด  ๆ  รากที่สองของ  a  คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้ a  และ ถ้า a = 0 รากที่สองของ a  คือ 0
…….2. เมื่อ a  เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ  a มีสองราก คือรากที่สองที่เป็นบวก ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ \sqrt{a}  และรากที่สองที่เป็นลบ ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ -\sqrt{a}
…….3. เมื่อ a  เป็นจำนวนจริงบวก \left ( \sqrt{a} \right )^{2}=a และ \left ( -\sqrt{a} \right )^{2} = a

ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของ 196
……….วิธีทำ…….196 = 14^{2} หรือ  \left ( -14 \right )^{2}
……………………ดังนั้น  รากที่สองของ 196 คือ 14 และ -14

ตัวอย่างที่ 2 จงหารากที่สองของ \frac{16}{25}
……….วิธีทำ…….รากที่สองของ \frac{16}{25}  มีสองรากคือ \sqrt{\frac{16}{25}}  และ  -\sqrt{\frac{16}{25}}
……………………หรือ  \sqrt{\frac{4^{2}}{5^{2}}} = \frac{4}{5}   และ   -\sqrt{\frac{4^{2}}{5^{2}}} = -\frac{4}{5}
……………………ดังนั้น   รากที่สองของ \frac{16}{25} คือ  \frac{4}{5} และ -\frac{4}{5}

ตัวอย่างที่ 3 -17 และ \sqrt{\frac{5}{9}}  เป็นรากที่สองของจำนวนใด
……….วิธีทำ…….-17 เป็นรากที่สองที่เป็นลบของจำนวน \left ( -17 \right )^{2}=289
………………….. และ  \sqrt{\frac{5}{9}} เป็นรากที่สองที่เป็นบวกของจำนวน \left ( \sqrt{\frac{5}{9}} \right )^{2}=\frac{5}{9}

ตัวอย่างที่ 4 จงทำให้อยู่ในรูปย่างง่าย
……….4.1) \sqrt{32}=\sqrt{2\times 16}=4\sqrt{2}
..
……….4.2) 3\sqrt{112}=3\sqrt{7\times 16}=3\left ( 4\sqrt{7} \right )=12\sqrt{7}
..
……….4.3) \sqrt{196p^{2}q^{4}}=\sqrt{(14pq^{2})^2}=\left | 14pq^2 \right |=14pq^2 เมื่อ p>0, q>0

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ  \sqrt{48}-15\sqrt{12}+\sqrt{75}
………วิธีทำ \sqrt{48}-15\sqrt{12}+\sqrt{75}=\sqrt{3\times 16}-15\sqrt{3\times 4}+\sqrt{3\times 25}
………………………………………….=4\sqrt{3}-\left ( 15\times 2\sqrt{3} \right )+5\sqrt{3}
………………………………………….=4\sqrt{3}-30\sqrt{3}+5\sqrt{3}
………………………………………….= \left ( 4-30+5 \right )\sqrt{3}=-21\sqrt{3}

นักเรียนลองดูคลิปวิดีโอจากด้างล่างนี้นะครับ เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้น

…..จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง สมบัติของรากที่สองของจำนวนจริง ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> สมบัติของรากที่สองของจำนวนจริง

แบบทดสอบกรณฑ์ที่สอง

…….ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย์แล้ว รากที่สองของ a คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วเท่ากับ  a
ถ้า a\neq 0 จะมีรากที่สอง คือ
1) รากที่สองที่เป็นบวกของ aใช้สัญลักษณ์  \sqrt{a}
2) รากที่สองที่เป็นลบของ a ใช้สัญลักษณ์  -\sqrt{a}
สรุป รากที่สองของ  a  คือ \pm \sqrt{a}

…….เนื่องจากช่วงนี้ใกล้สอบสำหรับในหลาย ๆ โรงเรียน ดังน้้นครูจึงมีแบบทดสอบมาให้นักเรียนดาวน์โหลด เรื่อง กรณฑ์ที่สอง สำหรับนักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เพื่อฝึกมือและพัฒนากระบวนการคิด ก่อนทีจะลงมือทำแบบทดสอบแข่งขันหรือข้อสอบที่โรงเรียนต่อไป ส่วนเฉลยไม่ได้ลงให้นะครับ ถ้ามีข้อสงสัยประการใดลองแสดงความคิดเห็น ตรงด้านล่าง นี้ได้เลยนะครับ …ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หรือดาวน์โหลดที่ กรณฑ์ที่สอง

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 66 other followers