คลังเก็บหมวดหมู่: คณิตเพิ่มเติม ม.3

การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม

……….การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม จะใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน จำเป็นต้องระวังการนำพหุนามมาคูณหรือหารจำนวนทั้งสองข้างของสมการ พหุนามที่จะนำมาคูณหรือหารจะต้องไม่เท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ\frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{7}{3}(สมาคมฯ 55)
วิธีทำ……………..\frac{x(x+1)+(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{7}{3}
………………………….\frac{x^2+x+x^2-2x+1}{x^2-1} = \frac{7}{3}
…………………………3(2x^2-x+1) = 7(x^2-1)
…………………………x^2+3x-10 = 0
…………………………(x-2)(x+5) = 0
……………………………….x = 2, -5……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ\frac{5x-21}{x-4}+\frac{8x-10}{2x-3} = \frac{6x-23}{2x-7}+\frac{6x-5}{x-1}… (สมาคมฯ 42)

วิธีทำ…….\frac{5(x-4)-1}{x-4}+\frac{4(2x-3)+2}{2x-3} = \frac{3(2x-7)-2}{2x-7}+\frac{6(x-1)+1}{x-1}
………………..5-\frac{1}{x-4}+4+\frac{2}{2x-3} = 3-\frac{2}{2x-7}+6+\frac{1}{x-1}
………………………\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-1}-\frac{2}{2x-7}
…………………………….\frac{2x-8-2x+3}{(2x-3)(x-4)} = \frac{2x-7-2x+2}{(x-1)(2x-7)}
…………………………….\frac{-5}{(2x-3)(x-4)} = \frac{-5}{(x-1)(2x-7)}
………………………….(x-1)(2x-7) = (2x-3)(x-4)
……………………………2x^2-9x+7 = 2x^2-11x+12
………………………………………….2x=5
…………………………………………x = \frac{5}{2}……….ตอบ

……….วิธีลัดจับตัวส่วนมาบวกกันให้เท่ากับศูนย์
………………….(x-4)+(2x-3)+(2x-7)+(x-1) = 0
……………………………..x = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ…\frac{x-4}{x-5}-\frac{x-5}{x-6} = \frac{x-1}{x-2}-\frac{x-2}{x-3}
วิธีทำ…….ใช้วิธีลัดจับตัวส่วนมาบวกกันให้เท่ากับศูนย์
………………….(x-5)+(x-6)+(x-2)+(x-3) = 0
……………………………x = \frac{16}{4} = 4……….ตอบ
…………………อย่างนี้ ! … เพื่อนไม่กรี๊ด…แฟนไม่รัก ให้มันรู้ไป ๆ !!!

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า\frac{2x^2-x-3}{2x^2+3x-9} = \frac{a(x^2+1)}{x^3+3x^2+x+3}แล้ว.. a^3-3..เท่ากับเท่าใด (สมาคมฯ 38)
วิธีทำ…….แยกตัวประกอบก่อน จะได้
…………..\frac{(2x-3)(x+1)}{(2x-3)(x+3)} = \frac{a(x^2+1)}{(x+3)(x^2+1)}
………  …………\frac{x+1}{x+3} = \frac{a}{x+3}
….. ….จะได้……….a=x+1
……..ดังนั้นa^2-3 = (x+1)^2-3 = x^2+2x-2……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ ..a, b..เป็นจำนวนเต็ม และ ..\frac{x+7}{(x+1)(x-2)} = \frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}..จงหาค่าของ..a^2-b^2..(สมาคมฯ 51)
วิธีทำจากโจทย์จะได้\frac{a(x-2)+b(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{x+7}{(x+1)(x-2)}
………… เนื่องจากส่วนเท่ากัน ดังนั้นเศษก็ต้องเท่ากันด้วย
………….a(x-2)+b(x+1) = x+7
………….ถ้า..x = 2 \rightarrow 3b = 9 \rightarrow b = 3
………….ถ้า..x = -1 \rightarrow -3a = 6 \rightarrow a = -2
……. ดังนั้น..a^2-b^2 = (-2)^2-3^2 = 4-9 = -5……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้..\frac{2}{(x-y)(x-z)}+\frac{2}{(z-x)(z-y)}-\frac{2}{(y-z)(y-x)} = \frac{k}{(x-y)(y-z)}..แล้ว..k..มีค่าเท่าใด..(สมาคมฯ 51)
วิธีทำจัดสมการใหม่ได้เป็น-\frac{2}{(x-y)(z-x)}-\frac{2}{(y-z)(z-x)}+\frac{2}{(x-y)(y-z)}
……….หา ค.ร.น.ของส่วนได้เป็น (x-y)(y-z)(z-x) ..คูณตลอด จะได้
……………………=\frac{-2(y-z)-2(x-y)+2(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}
……………………=\frac{-2y+2z-2x+2y+2z-2x}{(x-y)(y-z)(z-x)}
……………………=\frac{4(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}
……………………=\frac{4}{(x-y)(y-z)}
…………………….ดังนั้น จะได้ว่าk=4……………ตอบ

ลองศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมจากคลิปวิดีโอนะครับ

การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

…….การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม (Adding and Subtracting fractional polynomial) ใช้วิธีการเดียวกับการบวกลบเศษส่วนของจำนวนจริง ถ้าตัวส่วนไม่เท่ากันต้องทำตัวส่วนที่เท่ากัน โดยการหา ค.ร.น.( least common multiple: lcm) ของตัวส่วนก่อน  ซึ่งมีหลักเกณฑ์ ดังนี้ ครับ

……. \frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} และ \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}

…….\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ \frac{x+y}{2(x-y)}-\frac{2xy}{x^2-y^2}+\frac{x-y}{2(x+y)}
วิธีทำ……… เขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น \frac{x+y}{2(x-y)}-\frac{2xy}{(x+y)(x-y)}+\frac{x-y}{2(x+y)}
………………นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ 2(x+y)(x-y) คูณตลอด จะได้เป็น
………………= \frac{(x+y)(x+y)-4xy+(x-y)(x-y)}{2(x+y)(x-y)}
………………= \frac{x^2+2xy+y^2-4xy+x^2-2xy+y^2}{2(x+y)(x-y)}
………………= \frac{2x^2-4xy+2y^2}{2(x+y)(x-y)} = \frac{2(x^2-2xy+y^2)}{2(x+y)(x-y)}
……………..= \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x+y}……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2\frac{2x+1}{2x^2+3x+1}-\frac{2x-1}{2x^2-3x+1}+\frac{2x^2}{x^2-1} ได้ผลลัพธ์เป็นเท่าใด
วิธีทำ……… เขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น \frac{2x+1}{(2x+1)(x+1)}-\frac{2x-1}{(2x-1)(x-1)}+\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}
………………= \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}
………………นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ (x+1)(x-1) คูณตลอด จะได้เป็น
………………=\frac{(x-1)-(x+1)+2x^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x^2-2}{(x+1)(x-1)}
………………= \frac{2(x^2-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2(x+1)(x-1))}{(x+1)(x-1)}
………………= 2……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 3ผลสำเร็จของ\frac{4x+8}{x^2+4}-\frac{16x+76}{(x^2+4)^2}-4เท่ากับเท่าใด (สมาคม 55)
วิธีทำ……… นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ (x^2+4)^2คูณตลอด
………………= \frac{(4x+8)(x^2+4)-(16x+76)-4(x^2+4)^2}{(x^2+4)^2}
………………= \frac{4x^3+8x^2+16x+32-16x-76-4x^4-32x^2-64}{(x^2+4)^2}
………………= \frac{-4x^4+4x^3-24x^2-108}{(x^2+4)^2}
………………= \frac{-4(x^4-x^3+6x^2+27)}{(x^2+4)^2}……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 4กำหนดให้\frac{y+2}{y^2-3y-10} - \frac{y-1}{y^2-2y-15} = \frac{Ay+B}{2y-4y-30}แล้วA+B มีค่าเท่าใด
วิธีทำ………เขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น\frac{y+2}{(y-5)(y+2)}-\frac{y-1}{(y-5)(y+3)}
……………..\frac{1}{y-5}-\frac{y-1}{(y-5)(y+3)}
……………..นำ ค.ร.น. ของส่วน(y-5)(y+3)คูณตลอด จะได้เป็น
……………..\frac{1(y+3)-(y-1)}{(y-5)(y+3)} = \frac{4}{(y-5)(y+3)}
……………..เทียยบ สปส.จะได้เป็น\frac{4}{(y-5)(y+3)} = \frac{Ay+B}{2(y-5)(y+3)}
……………..จะได้ A=0 และ B=8  ดังนั้นA+B=8……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 5ให้ \frac{x+5}{x^2+4x-5}-\frac{x+2}{x^2+2x-3} = \frac{Ax+B}{4x^2+8x-12}
………………..โดยที่ A, B..เป็นค่าคงตัว แล้ว A+3B มีค่าเท่าใด (สมาคม 52)
วิธีทำ………จากโจทย์จะได้ว่า\frac{x+5}{(x+5)(x-1)}-\frac{x+2}{(x+3)(x-1)} = \frac{Ax+B}{4(x^2+2x-3)}
………………..\frac{1}{(x-1)}-\frac{x+2}{(x+3)(x-1)} = \frac{Ax+B}{4(x+3)(x-1)}
…………… นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ 4(x+3)(x-1)คูณตลอด จะได้เป็น
……………….4(x+3)-4(x+2) = Ax+B
………………………….0x+4 = Ax+B
……………..จะได้ A = 0 และ B = 4
……………. ค่าของ  A+3B ..เท่ากับ..12……………..ตอบ

ลองศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมจากคลิปวิดีโอนะครับ

…..ดูคลิปเสร็จแล้วลองมาดาวน์โหลดแบบฝึกหัดและไปฝึกทำเป็นการบ้านดูนะครับ เรื่อง”การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม” ได้ผลเป็นอย่างไร เขียนมาเล่าให้ฟังบ้างนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

…….ถ้า p และ q เป็นพหุนามสองพหุนาม โดยที่ q\neq 0 เราจะเรียก \frac{p}{q} ว่า เศษส่วนของพหุนาม  (Fractional Polynomial) หรือจะกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า  เศษส่วนของพหุนาม ก็คือการเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปของเศษส่วนนั่นเองครับ และมีเงื่อนไขเพิ่ม เติมว่า พหุนามที่เป็นตัวส่วนจะต้องไม่เท่ากับศูนย์ด้วย
…….เนื่องจากพหุนามเป็นจำนวนจริง ดังนั้น เศษส่วนของพหุนามจึงเป็นจำนวนจริง เราจึงใช้กฎเกณฑ์ในการบวก ลบ คูณ หาร จำนวนจริงกับเศษส่วนของพหุนามได้

การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

1. หลักการคูณเศษส่วน  คือ  \frac{a}{b}\times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

2. หลักการหารเศษส่วน คือ \frac{a}{b}\div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

ตัวอย่างที่ 1 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ \left ( \frac{x^2-x}{x^2-2x-3} \right )\times \left ( \frac{x^2+2x+1}{x^2+4x} \right )\times \left ( \frac{x^2-16}{x^2-3x-4} \right )
วิธีทำ……แยกตัวประกอบ แล้วทำการตัดทอนจะได้เป็น
…………..\frac{x(x-1)}{(x-3)(x+1)}\times \frac{(x+1)(x+1)}{x(x+4)}\times \frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)(x+1)}
………….\frac{x-1}{x-3}………….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย \frac{x^2-y^2}{x^3+y^3}\times \frac{x+y}{x-y}\times \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}
วิธีทำ…..\frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}\times \frac{x+y}{x-y}\times \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)(x+y)}
………….\frac{1}{x+y} ………….ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ \frac{x^4-y^4}{x^2-2xy+y^2}\div \left [ \frac{x^3-y^3}{xy^2-y^3}\times \frac{x^2y^2+y^4}{x^2+xy+y^2} \right ]
วิธีทำ…..แยกตัวประกอบ แล้วทำการตัดทอน
…………\frac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{x^2-2xy+y^2}\div \left [ \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{y^2(x-y)}\times \frac{y^2(x^2+y^2)}{x^2+xy+y^2} \right ]
………..\frac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{x^2-2xy+y^2}\div \left [ x^2+y^2 \right ]
……….\frac{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}{(x-y)(x-y)} \times \frac{1}{x^2+y^2}
……….\frac{x+y}{x-y}……..ตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงหารูปอย่างง่ายของ \frac{4x^2+5x-6}{4x^2-13x+3} \div \left [ \frac{4x^2+3x-10}{8x^2+10x-3}\times \frac{8x^2+6x-9}{4x^2-17x+15} \right ]
วิธีทำ….แยกตัวประกอบก่อน แล้วทำการตัดทอน
………..\frac{(4x-3)(x+2)}{(4x-1)(x-3)}\times \frac{(4x-1)(2x+3)}{(4x-5)(x+2)}\times \frac{(4x-5)(x-3)}{(4x-3)(2x+3)}
………. =  1……..ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ \frac{3x^2+7x-6}{x^3+3x^2+9x}\times \frac{6x^3+54x}{2x^4-162}\div \frac{27x^2-12}{x^3-27}
วิธีทำ…..ให้ดึงตัวร่วมก่อนแยกตัวประกอบนะครับ
…………\frac{3x^2+7x-6}{x(x^2+3x+9)}\times \frac{6x(x^2+9)}{2(x^4-81)}\div \frac{3(9x^2-4)}{x^3-27}
…………\frac{(3x-2)(x+3)}{x(x^2+3x+9)}\times \frac{6x(x^2+9)}{2(x^2+9)(x+3)(x-3)}\times \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{3(3x+2)(3x-2)}
………..\frac{1}{3x+2}…………ตอบ

ลองศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมจากคลิปวิดีโอนะครับ

…..ฝากนักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ในระดับชั้น ม.3 ในหน่วยที่ 2 เศษส่วนของพหุนาม ได้ดาวน์โหลดแบบฝึกหัดและไปฝึกทำเป็นการบ้านดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร เขียนมาเล่าให้ฟังบางนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การคูณและการหารพหุนาม

สมการเสิร์ด (Surd Equations)

…..สมการเสิร์ด (surd equations) คือ สมการซึ่งตัวแปรอยู่ในรูปเครื่องหมายกรณฑ์ การแก้สมการเสิร์ด ใช้วิธียกกำลังสองเพื่อให้เครื่องหมายกรณฑ์หมดไป

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ x จากสมการ \sqrt{2x-1}+2 = x
……วิธีทำ………….\sqrt{2x-1} = x-2
……………ยกกำลังสองทั้งสองข้าง ; 2x-1 = (x-2)^2 = x^2-4x+4
…………………………..x^2-6x+5 = 0
……………………… (x-5)(x-1) = 0
……………………………………..x = 5, 1 ….(แต่ 1 ใช้ไม่ได้)
…………ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ x = 5

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ x จากสมการ \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x-7}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x-7}} = 2
…….วิธีทำ…..ย้ายข้าง….\sqrt{1+x}+\sqrt{x-7} = 2\sqrt{1+x}-2\sqrt{x-7}
………………………….3\sqrt{x-7} = \sqrt{1+x}
…………..ยกกำลังสอง ; …..9(x-7) = 1+x
……………………………..9x-63 = 1+x
…………………………………….8x = 64
…………………………………….x = 8

ตัวอย่างที่ 3  ถ้า  \sqrt{\frac{\left ( 4+ \sqrt{x+3}\right )^2}{6}+3} = 3  แล้ว  x  มีค่าเท่าใด
…….วิธีทำยกกำลังสอง ;\frac{\left ( 4+\sqrt{x+3} \right )^2}{6}+3 = 9
……………………………. \frac{\left ( 4+\sqrt{x+3} \right )^2}{6} = 6
………….   ………….\left ( 4+\sqrt{x+3} \right )^2 = 6\times 6 = 6^2
……………… จะได้ …….4+\sqrt{x+3} = 6
……………………………..  \sqrt{x+3} = 2
…………….ยกกำลังสอง ; ……. x+3 = 4
………………………………….. x = 1

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ \sqrt{3x+4}-\sqrt{3x-5} = 1
………วิธีทำ….ย้ายข้างสมการ จะได้… \sqrt{3x+4} = 1+\sqrt{3x-5}
……………….ยกกำลังสอง3x+4 = 1+2\sqrt{3x-5} + (3x-5)
……………………………8 = 2\sqrt{3x-5}
……………………………4 = \sqrt{3x-5}
…………………………..16 = 3x-5
……………………………..x = 7

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ \sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2} = \sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-4}
……..วิธีทำย้ายข้างสมการ จะได้ \sqrt{2x-1} -\sqrt{5x-4} = \sqrt{4x-3}-\sqrt{3x-2}
…………ยกกำลังสอง ;
(2x-1)-2\sqrt{(2x-1)(5x-4)}+(5x-4) = (4x-3)-2\sqrt{(4x-3)(3x-2)}+(3x-2)
…………………….. \sqrt{(2x-1)(5x-4)} = \sqrt{(4x-3)(3x-2)}
…………..ยกกำลังสอง ; 10x^2-13x+4 = 12x^2 -17x + 6
……………………………….2x^2-4x + 2 = 0
………นำ 2 หารตลอด จะได้ x^2-2x + 1 = 0
…………………………….. (x-1)(x-1) = 0
……………………………………………x = 1

…….จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง สมการเสิร์ด (Surd) ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดได้ที่ >>> สมการเสิร์ด (Surd Equation)

การหารกรณฑ์ที่สอง

……..การหารจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง ถ้าตัวหาร (ส่วน) มี 1 พจน์ ให้ใช้สมบัตินี้ครับ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}  นั่นคือนำส่วนหารตลอด  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ \frac{3\sqrt{24}-\sqrt{54}+7\sqrt{150}}{\sqrt{3}}
…..วิธีทำ…..นำ \sqrt{3} หารตลอดจะได้เป็น
…………………..\frac{3\sqrt{24}-\sqrt{54}+7\sqrt{150}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}}+\frac{7\sqrt{150}}{\sqrt{3}}
………………………………………..= 3\sqrt{\frac{24}{3}}-\sqrt{\frac{54}{3}}+7\sqrt{\frac{150}{3}}
………………………………………..= 3\sqrt{8}-\sqrt{18}+7\sqrt{50}
………………………………………..= 3\sqrt{4\times 2}-\sqrt{9\times 2}+7\sqrt{25\times 2}
………………………………………..= 6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+35\sqrt{2} = 38\sqrt{2}

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ  \left ( \sqrt{450}-\sqrt{98}+\sqrt{288} \right )\div \sqrt{200}
…..วิธีทำ…..ทำในวงเล็บให้อยู่ในรูปอย่างง่ายก่อน ได้เป็น
………………..=\left ( \sqrt{2\times 225}-\sqrt{2\times 49}+\sqrt{2\times 144} \right )\div \sqrt{2\times 100}
………………..= \left ( 15\sqrt{2}-7\sqrt{2}+12\sqrt{2} \right ) \div 10\sqrt{2}
………………..= 20\sqrt{2} \div 10\sqrt{2} = 2

……การหารจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง ถ้าตัวหาร (ส่วน) มี 2 พจน์ เช่นตัวหารเป็น \sqrt{a}-\sqrt{b} ให้ใช้ สังยุค (Conjugate) ของ \sqrt{a}-\sqrt{b} คือ \sqrt{a}+\sqrt{b} มาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้ตัวส่วนกลายเป็นจำนวนตรรกยะ
…………. \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b}\right )\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}\right ) = (\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2 = a - b…….(ผลต่างกำลังสอง)

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า ..x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}..จงหาค่าของ..8x-x^2
…….วิธีทำ…..x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}
……………… x = \frac{5-\sqrt{5}-\sqrt{5}+3}{5-3} = \frac{8-2\sqrt{5}}{2} = 4-\sqrt{5}
…………….. x^2= \left ( 4-\sqrt{5} \right )^2 = 16-8\sqrt{5}+5 = 21 - 8\sqrt{5}
…….ดังนั้น 8x-x^2 = \left ( 32 - 8\sqrt{5} \right )-\left ( 21 - 8\sqrt{5} \right ) = 11

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}.. และ..y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} ..จงหาค่าของ..  x^2-5xy+y^2
…….วิธีทำ…..x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{3-\sqrt{6}-\sqrt{6}+2}{3-2} = 5-2\sqrt{6}
………………y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{6}+2}{3-2} = 5+2\sqrt{6}
……………..เนื่องจากxและ...yเป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน ทำให้ x\cdot y = 1
……….และ x^2-5xy+y^2 = \left ( x^2+2xy+y^2 \right )-7xy = \left ( x+y \right )^2-7xy
………. ดังนั้น .. x^2-5xy+y^2 = (x+y)^2-7xy = (10)^2-7(1) = 93

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}
………วิธีทำใช้ Conjugate ของส่วนคูณตลอด แล้วทำการตัดทอน จะได้
…………….=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}\times \frac{\sqrt{15}-\sqrt{16}}{\sqrt{15}-\sqrt{16}}
…………… = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+ \cdots + \frac{\sqrt{15}-\sqrt{16}}{15-16}
…………… = \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{4}+\cdots +\sqrt{15}-\sqrt{16}}{-1}
…………… = \frac{1-\sqrt{16}}{-1} = \frac{1-4}{-1} = 3

…….จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง การหารกรณฑ์ที่สอง ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การหารกรณฑ์ที่สอง

การบวก ลบ คูณ กรณฑ์ที่สอง

……..ในการบวก ลบ จำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง จะต้องทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย (simplify) ก่อน แล้วใช้สมบัติการแจกแจง หรือดึงตัวร่วมพจน์ที่คล้ายกัน นำมาบวกลบกัน  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 3\sqrt{112}-2\sqrt{49}-\left ( 4\sqrt{63}-6\sqrt{175}+21 \right )
………..วิธีทำ…..= 3\sqrt{7\times 16}-2(7)-\left ( 4\sqrt{7\times 9}-6\sqrt{7\times 25}+21 \right )
……………………= 3\left ( 4\sqrt{7} \right )-14-4\left ( 3\sqrt{7} \right )+6\left ( 5\sqrt{7} \right )-21
……………………= 12\sqrt{7}-14-12\sqrt{7}+30\sqrt{7}-21
……………………= 30\sqrt{7}-35

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ \left ( \sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{27}+ \cdots +\sqrt{108} \right )^{2}
………..วิธีทำ…..= \left ( \sqrt{3}+\sqrt{4\times 3}+\sqrt{9\times 3}+ \cdots +\sqrt{36\times 3} \right )^{2}
…………………..= \left ( \sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+ \cdots +6\sqrt{3} \right )^{2}
…………………..= \left ( \sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+4\sqrt{3}+5\sqrt{3} +6\sqrt{3} \right )^{2}
…………………..= \left ( 21\sqrt{3} \right )^{2} = 21^{2}\times \left ( \sqrt{3} \right )^2
…………………..= 441 \times 3 = 1,323

……….ส่วนการคูณจำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ จะใช้สมบัติการแจกแจงและสูตรการกระจายของพหุนามเข้ามาช่วย เพื่อทำให้การคูณจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์สะดวกยิ่งขึ้น งั้นเรามาทบทวนสูตรกันก่อนนครับ
……….1) \sqrt{a}\times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
……….2) \sqrt{a}\times \sqrt{a} = \sqrt{a^{2}} = a
……….3) (A+B)^{2} = A^{2}+2AB+B^{2}
……….4) (A-B)^{2} = A^{2}-2AB+B^{2}
……….5) (A+B)(A-B) = A^{2}-B^{2}…..<— คู่สังยุค (Conjugate)

ตัวอย่างที่ 3 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ (3\sqrt{5}+7\sqrt{2})(\sqrt{5}-3\sqrt{2})
………..วิธีทำทำการแจกแจงได้เป็น 3\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}-3\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}+7\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}-7\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}
……………………. = 3(5)-9(\sqrt{10})+7(\sqrt{10})-21(2)
……………………. = 15-9\sqrt{10}+7\sqrt{10}-42
……………………  = -27-2\sqrt{10}

ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ (2\sqrt{3}-5)(2\sqrt{3}+5)+(\sqrt{5}-2\sqrt{2})(\sqrt{5}+2\sqrt{2})+(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})
………..วิธีทำจากการสังเกตพบว่าพจน์ที่คูณกันนั้นเป็นคู่ Conjugate ดังนั้นใช้สูตรผลต่างกำลังสอง (A+B)(A-B) = A^{2}-B^{2} มาช่วย
………………….. = \left ( 4\cdot 3-25 \right )+\left ( 5-4\cdot 2 \right )+\left ( 9\cdot 2-4\cdot 3 \right )
………………….. = (12-25)+(5-8)+(18-12)
………………….. = (-13)+(-3)+6 = -10

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ (1-\sqrt{2})^2(2+\sqrt{8})^2(1+\sqrt{2})^3(2-\sqrt{8})^3
……..วิธีทำมองเป็นคู่ Conjugate แล้วใช้สูตรผลต่างกำลังสอง จะทำให้ง่ายและสะดวกในการคำนวณ
………….. (1-\sqrt{2})^2(1+\sqrt{2})^2(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{8})^2(2-\sqrt{8})^2(2-\sqrt{8})
………….. = \left [ (1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) \right ]^2\left [ (2+\sqrt{8})(2-\sqrt{8}) \right ]^2(1+\sqrt{2})(2-\sqrt{8})
………….. = (1-2)^2(4-8)^2(1+\sqrt{2})(2-2\sqrt{2})
………….. = (-1)^2(-4)^2(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})2
………….. = (1)(16)(1-2)(2) = - 32

…….จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง การบวก การลบ การคูณ กรณฑ์ที่สอง ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การบวก ลบ คูณ กรณฑ์ที่สอง

สมบัติของรากที่สองของจำนวนจริง

…….1. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกใด  ๆ  รากที่สองของ  a  คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้วได้ a  และ ถ้า a = 0 รากที่สองของ a  คือ 0
…….2. เมื่อ a  เป็นจำนวนจริงบวก รากที่สองของ  a มีสองราก คือรากที่สองที่เป็นบวก ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ \sqrt{a}  และรากที่สองที่เป็นลบ ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ -\sqrt{a}
…….3. เมื่อ a  เป็นจำนวนจริงบวก \left ( \sqrt{a} \right )^{2}=a และ \left ( -\sqrt{a} \right )^{2} = a

ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของ 196
……….วิธีทำ…….196 = 14^{2} หรือ  \left ( -14 \right )^{2}
……………………ดังนั้น  รากที่สองของ 196 คือ 14 และ -14

ตัวอย่างที่ 2 จงหารากที่สองของ \frac{16}{25}
……….วิธีทำ…….รากที่สองของ \frac{16}{25}  มีสองรากคือ \sqrt{\frac{16}{25}}  และ  -\sqrt{\frac{16}{25}}
……………………หรือ  \sqrt{\frac{4^{2}}{5^{2}}} = \frac{4}{5}   และ   -\sqrt{\frac{4^{2}}{5^{2}}} = -\frac{4}{5}
……………………ดังนั้น   รากที่สองของ \frac{16}{25} คือ  \frac{4}{5} และ -\frac{4}{5}

ตัวอย่างที่ 3 -17 และ \sqrt{\frac{5}{9}}  เป็นรากที่สองของจำนวนใด
……….วิธีทำ…….-17 เป็นรากที่สองที่เป็นลบของจำนวน \left ( -17 \right )^{2}=289
………………….. และ  \sqrt{\frac{5}{9}} เป็นรากที่สองที่เป็นบวกของจำนวน \left ( \sqrt{\frac{5}{9}} \right )^{2}=\frac{5}{9}

ตัวอย่างที่ 4 จงทำให้อยู่ในรูปย่างง่าย
……….4.1) \sqrt{32}=\sqrt{2\times 16}=4\sqrt{2}
..
……….4.2) 3\sqrt{112}=3\sqrt{7\times 16}=3\left ( 4\sqrt{7} \right )=12\sqrt{7}
..
……….4.3) \sqrt{196p^{2}q^{4}}=\sqrt{(14pq^{2})^2}=\left | 14pq^2 \right |=14pq^2 เมื่อ p>0, q>0

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ  \sqrt{48}-15\sqrt{12}+\sqrt{75}
………วิธีทำ \sqrt{48}-15\sqrt{12}+\sqrt{75}=\sqrt{3\times 16}-15\sqrt{3\times 4}+\sqrt{3\times 25}
………………………………………….=4\sqrt{3}-\left ( 15\times 2\sqrt{3} \right )+5\sqrt{3}
………………………………………….=4\sqrt{3}-30\sqrt{3}+5\sqrt{3}
………………………………………….= \left ( 4-30+5 \right )\sqrt{3}=-21\sqrt{3}

…..จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง สมบัติของรากที่สองของจำนวนจริง ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> สมบัติของรากที่สองของจำนวนจริง

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 62 other followers