Category Archives: คณิตเพิ่มเติม ม.3

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีใช้สูตร

…….การหาคำตอบของสมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไป ax^2+bx+c = 0 สามารถทำได้โดย 1) แยกตัวประกอบ 2) แก้โดยทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แต่ในบางครั้งถ้าเราต้องการความรวดเร็วและสะดวก อาจจะใช้สูตรสำเร็จ (formula) เข้าช่วย ซึ่งได้มาจากการใช้ความรู้เกี่ยวกับกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างของกำลังสอง ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ ดังนี้
………………….ax^2+bx+c = 0
…….หารด้วย a ;……..x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
…………….x^2+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}
…………………….(x+\frac{b}{2a})^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2}
………………………..x+\frac{b}{2a}= \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
.
……………………………..x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}…………. จำสูตรนี้ให้ได้นะครับ !!! 

คำตอบที่ได้มี 2 คำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac > 0
………………มี 1 คำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac = 0
……………..ไม่มีคำตอบ เมื่อ….. b^2-4ac < 0

……..ถ้ากำหนด \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} และ \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac}}{2a} เท่ากับ \alpha และ \beta ตามลำดับ และเรียก \alpha และ \beta เป็น รากของสมการ (roots of equations) จะได้ว่า
……. ผลบวกของราก \alpha +\beta = -\frac{b}{a}
……. ผลคูณของราก \alpha\beta = \frac{c}{a}

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า x จากสมการ 2x^2-3x-4 = 0
วิธีทำ……………..a = 2, b = -3, c= -4
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-4)}}{2\cdot 2}
……………………….= \frac{3\pm \sqrt{9+32}}{4}
………………………= \frac{3\pm \sqrt{41}}{4}
…………..ดังนั้น…..x = \frac{3+ \sqrt{41}}{4}, \frac{3- \sqrt{41}}{4}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 9x^2-30x+25 = 0
วิธีทำ……………..a = 9, b = -30, c= 25
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-(-30)\pm \sqrt{(-30)^2-4\cdot 9\cdot 25}}{2\cdot 9}
……………………….= \frac{30\pm \sqrt{900-900}}{18}
………………………= \frac{30}{18} = \frac{5}{3}
…………..ดังนั้น…..x = \frac{5}{3}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+4x+13 = 0
วิธีทำ……………..a = 1, b = 4, c= 13
………….สูตร……x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
…………………….x = \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 13}}{2\cdot 1}
……………………….= \frac{-4\pm \sqrt{16-52}}{2}
………………………= \frac{4\pm \sqrt{-36}}{2}
………….เนื่องจาก ..b^2-4ac < 0ดังนั้น ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ

ตัวอย่างที่ 4 กำหนด 2x^2-7x+4 = 0 จงหาผลบวกของค่า x และผลคูณของค่า x
วิธีทำ……..a = 2, b=-7, c=4
…………….ผลบวกของค่าx = -\frac{b}{a} = \frac{7}{2}
……………ของคูณของค่าx = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่า k ซึ่งจะทำให้สมการ 2x^2-7x+3k = 0 มีรากทั้งสองมีค่าเท่ากัน
วิธีทำ…….ax^2+bx+c = 0 มีรากทั้งสองเท่ากัน เมื่อ b^2-4ac = 0
……………2x^2-7x+3k = 0มีรากทั้งสองเท่ากัน
……………………จะได้ …..(-7)^2-4(2)(3k) = 0
……………………………….49-24k = 0
…………………………………x = \frac{49}{24}

ตัวอย่างที่ 6 ถ้า \alpha และ \beta เป็นรากของสมการ 2x^2+5x+1 = 0 จงหาค่าของ (\alpha -2)(\beta -2)
วิธีทำ…….2x^2+5x+1 = 0มีรากเท่ากับ ..\alpha และ \beta
………….ดังนั้น\alpha +\beta = -\frac{5}{2}และ\alpha\beta = \frac{1}{2}
……….(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha \beta -2\alpha -2\beta +4
……….(\alpha-2)(\beta-2) = \alpha \beta -2\alpha -2\beta +4
…………………………..= \frac{1}{2}-2(-\frac{5}{2})+4
…………………………..= \frac{1}{2}+5+4
…………………………..= 9\frac{1}{2}

ตัวอย่างที่ 7 ถ้า  r_{1} และ r_{2}  เป็นรากของสมการ 6x^2-7x-3 = 0 แล้ว  ค่า k ที่ทำให้  \frac{1}{r_{1}} และ   \frac{1}{r_{2}}  เป็นรากของสมการ  x^2+kx-2 = 0 เป็นเท่าใด
วิธีทำ……จากสมการ6x^2-7x-3 = 0
…………จะได้…….(3x+1)(2x-3) = 0
…………………………..x = \frac{3}{2}, -\frac{1}{3}
……ดังนั้นr_{1} และ r_{2}  คือ \frac{2}{3}, -3  เป็นรากของ x^2+kx-2 = 0
……….จะได้…..(3x-2)(x+3) = 0
……………………3x^2+7x-6 = 0
……นำ..3..หารตลอดx^2+\frac{7}{3}x-2 = 0
………………ดังนั้น…..k = \frac{7}{3}

ลองศึกษาคลิปวิดีโอจาก YouTube อีกครั้งนะครับ เพื่อให้เกิดความเข้าใจยิ่งขึ้น หากมีความสงสัยหรือต้องการซักถามเพิ่มเติม ฝากคำถามไว้เลยนะครับ หรือทางข้อความผ่าน Facebook @ krupraiwan ตามลิงค์เลยนะครับ

การแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์

…….ในครวที่แล้วได้กล่าวถึง  การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ ซึ่งหาได้จากพหุนามที่เราแยกตัวประกอบได้ แต่ในการหาคำตอบของสมการ ax^2+bx+c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว  และ a \neq 0 นั้น ในบางครั้งไม่สามารถแยกตัวประกอบของพหุนาม  ax^2+bx+c  ได้โดยง่ายดังเช่นที่ผ่านมา ในกรณีเช่นนี้เราอาจใช้ความรู้ในเรื่องกำลังสองสมบูรณ์ มาช่วยในการแก้สมการนี้
…….หลักการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
…….1. ทำสัมประสิทธิ์ของ ..x^2 ..ให้เป็น.. 1..ก่อน
…….2. จัดให้พจน์อิสระ คือพจน์ที่ไม่มี x อยู่ทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ
…….3. ให้บวกด้วยกำลังสองของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ
…….4. ทางด้านซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับให้เขียนเป็นรูปสองพจน์ยกกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ x^2-6x-1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-6x…..= 1
……………………..x^2-6x+3^2 = 1+9
…………………………..(x-3)^2 = 10
………………………………x-3 = \pm \sqrt{10}
……………………………………x = 3 \pm \sqrt{10}

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ x^2-5x+2 = 0
วิธีทำ…………………..x^2-5x…..= -2
………………….x^2-5x+(\frac{5}{2})^2 = -2+\frac{25}{4}
………………………….(x-\frac{5}{2})^2 = \frac{17}{4}
……………………………..x-\frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}
…………………………………..x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ x^2+x+1 = 0
วิธีทำ…………………..x^2+x…..= -1
………………….x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = -1 +\frac{1}{4}
…………………………(x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4}
…….เนื่องจาก (x+\frac{1}{2})^2 \geq 0 สำหรับทุกค่าของ x
…….แสดงว่าไม่มีค่า x ที่ทำให้สมการ (x+\frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4} เป็นจริง
……………….นั่นคือ สมการ x^2+x+1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ 3x^2-7x-1 = 0
วิธีทำ…..นำ 3 หารตลอด แล้วย้ายข้าง จัดรูปสมการ จะได้
………………….x^2-\frac{7}{3}x…..= \frac{1}{3}
……………x^2-\frac{7}{3}x+(\frac{7}{6})^2 = \frac{1}{3}+\frac{49}{36}
……………………(x-\frac{7}{6})^2 = \frac{12+49}{36}=\frac{61}{36}
………………………..x-\frac{7}{6} = \pm \frac{\sqrt{61}}{6}
……………………………..x = \frac{7\pm \sqrt{61}}{6}

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า  \frac{1+\sqrt{13}}{2}   และ  \frac{1-\sqrt{13}}{2}   เป็นรากของสมการ  ax^2-x+c = 0  เมื่อ    a \neq 0   แล้ว a^2+c^2    มีค่าเท่าใด
วิธีทำใช้กระบวนการคิดย้อนกลับ จากx = \frac{1\pm \sqrt{13}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{13}}{2}
…………..จะได้เป็น………(x- \frac{1}{2})^2 = \frac{13}{4}
…………………………..x^2-x+\frac{1}{4} = \frac{13}{4}
………………………….x^2-x-3 = 0
…………..เทียบ ส.ป.ส. จะได้a=1, c=-3
………ดังนั้นa^2+c^2 = 1^2+(-3)^2 = 10

ตัวอย่างที่ 6 ถ้าผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนเรียงกันเท่ากับ  462   แล้วผลบวกของจำนวนทั้งสองนี้มีค่าเท่าไร
วิธีทำ…….ให้จำนวนที่เรียงกันสองจำนวนเป็น  x และ x+1
……………….จะได้………x(x+1) = 462
………………………x^2+x+(\frac{1}{2})^2 = 462+\frac{1}{4}
……………………………..(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{1848+1}{4} = \frac{1849}{4}
…………………………………x+\frac{1}{2} = \pm \frac{43}{2}
……………………………………….x = \frac{-1\pm 43}{2} = \frac{42}{2}, -\frac{44}{2}
……………………………………….x = 21, -22
……………………………………….x = 21
……………ดังนั้น ผลบวกของจำนวนทั้งสอง เป็น 21+22 = 43

หลังจากดูตัวอย่างแล้วเป็นยังไงบ้างครับ เกี่ยวกับการแก้สมการกําลังสองโดยวิธีทําเป็นกําลังสองสมบูรณ์พอจะเข้ากันกันบ้างไหมเอ่ย เพื่อให้เข้าใจยิ่งขึ้น งั้นไปลองดูคลิปกันเลยครับ

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

……. จากนิยามของทฤษฎีบทเศษเหลือที่ว่า เมื่อพหุนาม P(x) หารด้วยพหุนาม x-cเมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เศษที่ได้จะเท่ากับ P(c) ทำให้เราทราบว่าเมื่อ P(c) = 0 จะทำให้ x-c เป็นตัวประกอบหนึ่งของ P(x) นั่นคือ
……. “พหุนาม P(x) จะมี x-cเป็นตัวประกอบหนึ่ง ก็่ต่อเมื่อ P(c) =0
…….ข้อความนี้มีชื่อเรียกว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) เรานำทฤษฎีบทดังกล่าวมาช่วยในการแยกตัวประกอบของ ได้ โดยการสุ่มหาค่า kที่ทำให้ P(k) = 0 พอดี เพื่อให้ทราบว่ามีตัวประกอบหนึ่งเป็น x-k และจากนั้นก็นำ x-kที่ได้นี้ ไปหารออกจาก P(x) เพื่อลดทอนกำลังลง และทำซ้ำจนกระทั่งแยกตัวประกอบได้ครบถ้วน

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 8x^3-6x^2-17x-6
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
…………P(2) = 8(2)^3-6(2)^2-17(2)-6 = 64-24-34-6 = 0
…………นั่นคือ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x-2} = 8x^2+10x+3
………………….P(x) = (x-2)(8x^2+10x+3)
………………….P(x) = (x-2)(2x+1)(4x+3)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ8x^3-6x^2-17x-6 = (x-2)(2x+1)(4x+3)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 6x^3+x^2-19x+6
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 6 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
…………P(-2) = 6(-2)^3+(-2)^2-19(-2)+6 = -48+4+38+6 = 0
…………นั่นคือ x+2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x+2} = 6x^2-11x+3
………………….P(x) = (x+2)(6x^2-11x+3)
………………….P(x) = (x+2)(3x-1)(2x-3)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ6x^3+x^2-19x+6 = (x+2)(3x-1)(2x-3)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 4x^3-20x^2+29x-10
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 10 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
…………P(2) = 4(2)^3-20(2)^2+29(2)-10 = 32-80+58-10 = 0
…………นั่นคือ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x)
…………จะได้\frac{P(x)}{x-2} = 4x^2-12x+5
………………….P(x) = (x-2)(4x^2-12x+5)
………………….P(x) = (x-2)(2x-5)(2x-1)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ4x^3-20x^2+29x-10 = (x-2)(2x-5)(2x-1)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ P(x) = x^4-3x^3+4x^2-6x+4…….(สมาคม 56)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 4 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 4
…………P(1) = (1)^4-3(1)^3+4(1)^2-6(1)+4 = 1-3+4-6+4 = 0
…………P(2) = (2)^4-3(2)^3+4(2)^2-6(2)+4 = 16-24+16-12+4 = 0
…………นั่นคือ x-1 และ x-2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x) โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้\frac{P(x)}{(x-1)(x-2)} = x^2+2
………………….P(x) = (x-1)(x-2)(x^2+2)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของx^4-3x^3+4x^2-6x+4 = (x-1)(x-2)(x^2+2)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ P(x) = 2x^4-5x^3-24x^2-7x+10…….(สมาคม 54)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร 10 ได้ลงตัว ได้แก่ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10
…………P(-1) = 2(-1)^4-5(-1)^3-24(-1)^2-7(-1)+10 = 2+5-24+7+10 = 0
…………P(-2) = 2(-2)^4-5(-2)^3-24(-2)^2-7(-2)+10 = 32+40-96+14+10 = 0
…………นั่นคือ x+1 และ x+2 เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ P(x) โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้\frac{P(x)}{(x+1)(x+2)} = 2x^2-11x+5
………………….P(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของP(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)

…….เป็นอย่างไรบ้างครับเกี่ยวกับใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้ต่อเลยนะครับ

จากนั้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 2.6 การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเหศษเหลือ ไปฝึกทำลองดูครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ร่วมแสดงความคิดเห็นได้เลยครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem)

…….ในการหารพหุนาม เมื่อเรานำเอาพหุนามหารด้วยพหุนาม จะได้ผลหารทั้งที่ลงตัวมีเศษเป็นศูนย์ และทั้งที่เหลือเศษ ไม่ใช่ศูนย์ แต่ในกรณีทั่วไป เมื่อหารพหุนาม P(x) ใด ๆ ด้วยพหุนาม x-a ที่ a เป็นค่าคงตัว เมื่อหารแล้วมีเศษ เราจะเรียกว่า เศษเหลือ

…..นิยาม เมื่อพหุนาม P(x)หารด้วยพหุนาม x-cเมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ เศษที่ได้จะเท่ากับ P(c)

…..เมื่อนำพหุนามมาหารกัน ทั้งผลหารและเศษที่ได้จะเป็นพหุนามเช่นกัน โดยเศษต้องเป็นหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าตัวหารเสมอ ในทฤษฎีเศษเหลือนี้ กล่าวถึงการหารที่มีตัวหารมีดีกรีเป็น 1 เท่านั้น เศษที่ได้จึงมีดีกรี 0 หรือค่าคงที่นั่นเอง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเศษเมื่อ 2x^3+3x^2-5x-4 หารด้วย x+1
วิธีทำ…..ให้ P(x) = 2x^3+3x^2-5x-4 หารด้วย x-c จะเหลือเศษ P(c)
…………และ x-c = x+1 จะได้ c=-1
………..ดังนั้น P(-1) = 2(-1)^3+3(-1)^2-5(-1)-4
……………………….= -2+3+5-4
……………………….= 2
………..ดังนั้น เศษคือ 2

ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงให้เห็นว่าx+7 เป็นตัวประกอบของ x^3-39x+70
วิธีทำ….ให้  P(x) = x^3-39x+70 หารด้วย  x+7 จะเหลือเศษ  P(-7)
…..ดังนั้นP(-7) = (-7)^3-39(-7)+70
………………….= -343+273+70
………………….= 0
………….เศษเป็น 0 แสดงว่า x+7 หาร x^3-39x+70 ลงตัว

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า P(x) = x^3+2x^2+3x+k และ Q(x) = x^3+x^2+9ต่างก็หารด้วย x+2 แล้วเหลือเศษเท่ากัน จงหาค่า k
วิธีทำ…..เนื่องจาก P(x) และ  Q(x) ต่างก็หารด้วย x+2 แล้วเหลือเศษเท่ากัน
………… จะได้ว่า …….. P(-2) = Q(-2)
……..แทนค่า(-2)^3+2(-2)^2+3(-2)+k = (-2)^3+(-2)^2+9
………-8+8-6+k = -8+4+9
…………………k-6= 5
……………………….k= 11

ตัวอย่างที่ 4 ถ้าพหุนามP(x) = ax^2+bx+2และ Q(x) = bx^2-ax+1 หารด้วย  x+1  เหลือเศษ 8 และ 3 ตามลำดับ แล้ว a^2+5b  มีค่าเท่าใด
วิธีทำ….จากทฤษฎีบทเศษเหลือจะได้ … P(-1) = 8
………แทนค่าP(-1) = a(-1)^2+b(-1)+2
…………………….8 = a-b+2
………………a-b = 6 ………………….. (1)
………………และ Q(-1) = 3
………แทนค่าQ(-1) = b(-1)^2-a(-1)+1
……………………..3 = b+a+1
………………..a+b = 2………………….(2)
……(1) + (2) จะได้…..2a = 8  …. a = 4
……แทนค่า a = 4 ใน ..(2) ..จะได้ b = -2
………ดังนั้นa^2+5b = (4)^2+5(-2) = 16-10 = 6

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ P(x) = x^3+bx^2+cx+d  เมื่อ b,c,d เป็นค่าคงตัว ถ้า P(x)-3 หารด้วย x+1, x-2 และ x+3ลงตัว แล้ว b+c+dมีค่าเท่าใด
วิธีทำถ้า P(x)-3 หารด้วย x+1, x-2 และ x+3ลงตัว แสดงว่า
…………….P(x)-3 = (x+1)(x-2)(x+3)
…………….P(x)-3 = (x+1)(x^2+x-6)
………………………..= x^3+x^2-6x+x^2+x-6
………………………..= x^3+2x^2-5x-6
………………..P(x) = x^3+2x^2-5x-3
…..เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้b=2 , c=-5, d=-3
……ดังนั้น b+c+d = 2+(-5)+(-3) = 2-5-3 = -6

…..พอจะเข้าใจเกี่ยวกับการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งจะเป็นพื้นฐานในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 3 บ้างไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้ต่อเลยนะครับ

เมื่อดูคลิปเสร็จแล้ว ให้นักเรียนดาวน์โหลดแบบฝึกหัดที่ 2.5 ทฤษฎีบทเศษเหลือ ไปทำลองดูครับ เพื่อที่จะให้ทราบว่าเรามีความเข้าใจมากน้อยเพียงใด

หรือดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 2.5 ทฤษฎีบทเศษเหลือ

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสามและผลต่างของกำลังสาม

……. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอีกรูปแบบหนึ่ง คือ ผลบวกของกำลังสาม เป็น A^{3}+B^{3} และผลต่างของกำลังสาม เป็น A^{3}-B^{3}

…….เราสามารถพิสูจน์ที่มาของสูตร ผลบวกกำลังสาม A^{3}+B^{3} = (A+B)(A^2-AB+B^2) ได้ดังนี้
A^{3}+B^{3} = A^3+A^2B-A^2B+B^3
…………..= (A^3+A^2B)-(A^2B-B^3)
…………..= A^2(A+B)-B(A^2-B^2)
…………..= A^2(A+B)-B(A+B)(A-B)
…………..= (A+B)\left \{ A^2-B(A-B) \right \}
…………..= (A+B)(A^2-AB+B^2)

…….ททำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ที่มาของสูตร ผลต่างกำลังสาม A^{3}-B^{3} = (A-B)(A^2+AB+B^2) ได้ดังนี้
A^{3}-B^{3} = A^3-A^2B+A^2B-B^3
…………..= (A^3-A^2B)+(A^2B-B^3)
…………..= A^2(A-B)+B(A^2-B^2)
…………..= A^2(A-B)+B(A+B)(A-B)
…………..= (A-B)\left \{ A^2+B(A+B) \right \}
…………..= (A-B)(A^2+AB+B^2)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบ x^3+8
วิธีทำ …….x^3+8 = x^3+2^3
…………………….=(x+2)(x^2-2x+4)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบ 1331y^3-343z^3
วิธีทำ ….1331y^3-343z^3= (11y)^3-(7z)^3
……………………………..=(11y-7z)(121y^2+77yz+49z^2)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบ 3x^3-\frac{3}{8}
วิธีทำ3x^3-\frac{3}{8} = 3\left \{ x^3-\frac{1}{8} \right \}
…………………..= 3\left \{ x^3-\left (\frac{1}{2} \right )^3 \right \}
…………………..= 3\left ( x-\frac{1}{2} \right )\left ( x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \right )

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบ x^3-y^6
วิธีทำ…..x^3-y^6 = x^3 - (y^2)^3
……………………= (x-y^2)(x^2+xy^2+y^4)

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบ (8x-15)^3-(3x-7)^3
วิธีทำ= \left [ (8x-15)-(3x-7) \right ]\left [ (8x-15)^2+(8x-15)(3x-7)+(3x-7)^2 \right ]
………= \left [ (5x-8) \right ]\left [(64x^2-240x+225)+(24x^2-101x+105)+(9x^2-42x+49) \right ]
………=(5x-8)(97x^2-383x+379)

…….พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ เกี่ยวกับ “การแยกตัวประกอบของพหุนามที่อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสามและผลต่างของกำลังสาม” ลองมาดูคลิปวิดีโอประกอบอีกครั้งครับ เพื่อให้มีความเข้าใจมากยิ่งขึ้น

นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยวิธีผลบวกและผลต่างของกำลังสาม” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม

……….การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม จะใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน จำเป็นต้องระวังการนำพหุนามมาคูณหรือหารจำนวนทั้งสองข้างของสมการ พหุนามที่จะนำมาคูณหรือหารจะต้องไม่เท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ\frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{7}{3}(สมาคมฯ 55)
วิธีทำ……………..\frac{x(x+1)+(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{7}{3}
………………………….\frac{x^2+x+x^2-2x+1}{x^2-1} = \frac{7}{3}
…………………………3(2x^2-x+1) = 7(x^2-1)
…………………………x^2+3x-10 = 0
…………………………(x-2)(x+5) = 0
……………………………….x = 2, -5……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ\frac{5x-21}{x-4}+\frac{8x-10}{2x-3} = \frac{6x-23}{2x-7}+\frac{6x-5}{x-1}… (สมาคมฯ 42)

วิธีทำ…….\frac{5(x-4)-1}{x-4}+\frac{4(2x-3)+2}{2x-3} = \frac{3(2x-7)-2}{2x-7}+\frac{6(x-1)+1}{x-1}
………………..5-\frac{1}{x-4}+4+\frac{2}{2x-3} = 3-\frac{2}{2x-7}+6+\frac{1}{x-1}
………………………\frac{2}{2x-3}-\frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-1}-\frac{2}{2x-7}
…………………………….\frac{2x-8-2x+3}{(2x-3)(x-4)} = \frac{2x-7-2x+2}{(x-1)(2x-7)}
…………………………….\frac{-5}{(2x-3)(x-4)} = \frac{-5}{(x-1)(2x-7)}
………………………….(x-1)(2x-7) = (2x-3)(x-4)
……………………………2x^2-9x+7 = 2x^2-11x+12
………………………………………….2x=5
…………………………………………x = \frac{5}{2}……….ตอบ

……….วิธีลัดจับตัวส่วนมาบวกกันให้เท่ากับศูนย์
………………….(x-4)+(2x-3)+(2x-7)+(x-1) = 0
……………………………..x = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}

ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ…\frac{x-4}{x-5}-\frac{x-5}{x-6} = \frac{x-1}{x-2}-\frac{x-2}{x-3}
วิธีทำ…….ใช้วิธีลัดจับตัวส่วนมาบวกกันให้เท่ากับศูนย์
………………….(x-5)+(x-6)+(x-2)+(x-3) = 0
……………………………x = \frac{16}{4} = 4……….ตอบ
…………………อย่างนี้ ! … เพื่อนไม่กรี๊ด…แฟนไม่รัก ให้มันรู้ไป ๆ !!!

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า\frac{2x^2-x-3}{2x^2+3x-9} = \frac{a(x^2+1)}{x^3+3x^2+x+3}แล้ว.. a^3-3..เท่ากับเท่าใด (สมาคมฯ 38)
วิธีทำ…….แยกตัวประกอบก่อน จะได้
…………..\frac{(2x-3)(x+1)}{(2x-3)(x+3)} = \frac{a(x^2+1)}{(x+3)(x^2+1)}
………  …………\frac{x+1}{x+3} = \frac{a}{x+3}
….. ….จะได้……….a=x+1
……..ดังนั้นa^2-3 = (x+1)^2-3 = x^2+2x-2……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ ..a, b..เป็นจำนวนเต็ม และ ..\frac{x+7}{(x+1)(x-2)} = \frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}..จงหาค่าของ..a^2-b^2..(สมาคมฯ 51)
วิธีทำจากโจทย์จะได้\frac{a(x-2)+b(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{x+7}{(x+1)(x-2)}
………… เนื่องจากส่วนเท่ากัน ดังนั้นเศษก็ต้องเท่ากันด้วย
………….a(x-2)+b(x+1) = x+7
………….ถ้า..x = 2 \rightarrow 3b = 9 \rightarrow b = 3
………….ถ้า..x = -1 \rightarrow -3a = 6 \rightarrow a = -2
……. ดังนั้น..a^2-b^2 = (-2)^2-3^2 = 4-9 = -5……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้..\frac{2}{(x-y)(x-z)}+\frac{2}{(z-x)(z-y)}-\frac{2}{(y-z)(y-x)} = \frac{k}{(x-y)(y-z)}..แล้ว..k..มีค่าเท่าใด..(สมาคมฯ 51)
วิธีทำจัดสมการใหม่ได้เป็น-\frac{2}{(x-y)(z-x)}-\frac{2}{(y-z)(z-x)}+\frac{2}{(x-y)(y-z)}
……….หา ค.ร.น.ของส่วนได้เป็น (x-y)(y-z)(z-x) ..คูณตลอด จะได้
……………………=\frac{-2(y-z)-2(x-y)+2(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}
……………………=\frac{-2y+2z-2x+2y+2z-2x}{(x-y)(y-z)(z-x)}
……………………=\frac{4(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}
……………………=\frac{4}{(x-y)(y-z)}
…………………….ดังนั้น จะได้ว่าk=4……………ตอบ

ลองศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมจากคลิปวิดีโอนะครับ

การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

…….การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม (Adding and Subtracting fractional polynomial) ใช้วิธีการเดียวกับการบวกลบเศษส่วนของจำนวนจริง ถ้าตัวส่วนไม่เท่ากันต้องทำตัวส่วนที่เท่ากัน โดยการหา ค.ร.น.( least common multiple: lcm) ของตัวส่วนก่อน  ซึ่งมีหลักเกณฑ์ ดังนี้ ครับ

……. \frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} และ \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}

…….\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ \frac{x+y}{2(x-y)}-\frac{2xy}{x^2-y^2}+\frac{x-y}{2(x+y)}
วิธีทำ……… เขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น \frac{x+y}{2(x-y)}-\frac{2xy}{(x+y)(x-y)}+\frac{x-y}{2(x+y)}
………………นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ 2(x+y)(x-y) คูณตลอด จะได้เป็น
………………= \frac{(x+y)(x+y)-4xy+(x-y)(x-y)}{2(x+y)(x-y)}
………………= \frac{x^2+2xy+y^2-4xy+x^2-2xy+y^2}{2(x+y)(x-y)}
………………= \frac{2x^2-4xy+2y^2}{2(x+y)(x-y)} = \frac{2(x^2-2xy+y^2)}{2(x+y)(x-y)}
……………..= \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x+y}……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2\frac{2x+1}{2x^2+3x+1}-\frac{2x-1}{2x^2-3x+1}+\frac{2x^2}{x^2-1} ได้ผลลัพธ์เป็นเท่าใด
วิธีทำ……… เขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น \frac{2x+1}{(2x+1)(x+1)}-\frac{2x-1}{(2x-1)(x-1)}+\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}
………………= \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2}{(x+1)(x-1)}
………………นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ (x+1)(x-1) คูณตลอด จะได้เป็น
………………=\frac{(x-1)-(x+1)+2x^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x^2-2}{(x+1)(x-1)}
………………= \frac{2(x^2-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2(x+1)(x-1))}{(x+1)(x-1)}
………………= 2……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 3ผลสำเร็จของ\frac{4x+8}{x^2+4}-\frac{16x+76}{(x^2+4)^2}-4เท่ากับเท่าใด (สมาคม 55)
วิธีทำ……… นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ (x^2+4)^2คูณตลอด
………………= \frac{(4x+8)(x^2+4)-(16x+76)-4(x^2+4)^2}{(x^2+4)^2}
………………= \frac{4x^3+8x^2+16x+32-16x-76-4x^4-32x^2-64}{(x^2+4)^2}
………………= \frac{-4x^4+4x^3-24x^2-108}{(x^2+4)^2}
………………= \frac{-4(x^4-x^3+6x^2+27)}{(x^2+4)^2}……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 4กำหนดให้\frac{y+2}{y^2-3y-10} - \frac{y-1}{y^2-2y-15} = \frac{Ay+B}{2y-4y-30}แล้วA+B มีค่าเท่าใด
วิธีทำ………เขียนโจทย์ใหม่ได้เป็น\frac{y+2}{(y-5)(y+2)}-\frac{y-1}{(y-5)(y+3)}
……………..\frac{1}{y-5}-\frac{y-1}{(y-5)(y+3)}
……………..นำ ค.ร.น. ของส่วน(y-5)(y+3)คูณตลอด จะได้เป็น
……………..\frac{1(y+3)-(y-1)}{(y-5)(y+3)} = \frac{4}{(y-5)(y+3)}
……………..เทียยบ สปส.จะได้เป็น\frac{4}{(y-5)(y+3)} = \frac{Ay+B}{2(y-5)(y+3)}
……………..จะได้ A=0 และ B=8  ดังนั้นA+B=8……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 5ให้ \frac{x+5}{x^2+4x-5}-\frac{x+2}{x^2+2x-3} = \frac{Ax+B}{4x^2+8x-12}
………………..โดยที่ A, B..เป็นค่าคงตัว แล้ว A+3B มีค่าเท่าใด (สมาคม 52)
วิธีทำ………จากโจทย์จะได้ว่า\frac{x+5}{(x+5)(x-1)}-\frac{x+2}{(x+3)(x-1)} = \frac{Ax+B}{4(x^2+2x-3)}
………………..\frac{1}{(x-1)}-\frac{x+2}{(x+3)(x-1)} = \frac{Ax+B}{4(x+3)(x-1)}
…………… นำ ค.ร.น. ของส่วน คือ 4(x+3)(x-1)คูณตลอด จะได้เป็น
……………….4(x+3)-4(x+2) = Ax+B
………………………….0x+4 = Ax+B
……………..จะได้ A = 0 และ B = 4
……………. ค่าของ  A+3B ..เท่ากับ..12……………..ตอบ

ลองศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมจากคลิปวิดีโอนะครับ

…..ดูคลิปเสร็จแล้วลองมาดาวน์โหลดแบบฝึกหัดและไปฝึกทำเป็นการบ้านดูนะครับ เรื่อง”การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม” ได้ผลเป็นอย่างไร เขียนมาเล่าให้ฟังบ้างนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

…….ถ้า p และ q เป็นพหุนามสองพหุนาม โดยที่ q\neq 0 เราจะเรียก \frac{p}{q} ว่า เศษส่วนของพหุนาม  (Fractional Polynomial) หรือจะกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า  เศษส่วนของพหุนาม ก็คือการเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปของเศษส่วนนั่นเองครับ และมีเงื่อนไขเพิ่ม เติมว่า พหุนามที่เป็นตัวส่วนจะต้องไม่เท่ากับศูนย์ด้วย
…….เนื่องจากพหุนามเป็นจำนวนจริง ดังนั้น เศษส่วนของพหุนามจึงเป็นจำนวนจริง เราจึงใช้กฎเกณฑ์ในการบวก ลบ คูณ หาร จำนวนจริงกับเศษส่วนของพหุนามได้

การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม

1. หลักการคูณเศษส่วน  คือ  \frac{a}{b}\times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

2. หลักการหารเศษส่วน คือ \frac{a}{b}\div \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

ตัวอย่างที่ 1 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ \left ( \frac{x^2-x}{x^2-2x-3} \right )\times \left ( \frac{x^2+2x+1}{x^2+4x} \right )\times \left ( \frac{x^2-16}{x^2-3x-4} \right )
วิธีทำ……แยกตัวประกอบ แล้วทำการตัดทอนจะได้เป็น
…………..\frac{x(x-1)}{(x-3)(x+1)}\times \frac{(x+1)(x+1)}{x(x+4)}\times \frac{(x+4)(x-4)}{(x-4)(x+1)}
………….\frac{x-1}{x-3}………….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย \frac{x^2-y^2}{x^3+y^3}\times \frac{x+y}{x-y}\times \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}
วิธีทำ…..\frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}\times \frac{x+y}{x-y}\times \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)(x+y)}
………….\frac{1}{x+y} ………….ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ \frac{x^4-y^4}{x^2-2xy+y^2}\div \left [ \frac{x^3-y^3}{xy^2-y^3}\times \frac{x^2y^2+y^4}{x^2+xy+y^2} \right ]
วิธีทำ…..แยกตัวประกอบ แล้วทำการตัดทอน
…………\frac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{x^2-2xy+y^2}\div \left [ \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{y^2(x-y)}\times \frac{y^2(x^2+y^2)}{x^2+xy+y^2} \right ]
………..\frac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{x^2-2xy+y^2}\div \left [ x^2+y^2 \right ]
……….\frac{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}{(x-y)(x-y)} \times \frac{1}{x^2+y^2}
……….\frac{x+y}{x-y}……..ตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงหารูปอย่างง่ายของ \frac{4x^2+5x-6}{4x^2-13x+3} \div \left [ \frac{4x^2+3x-10}{8x^2+10x-3}\times \frac{8x^2+6x-9}{4x^2-17x+15} \right ]
วิธีทำ….แยกตัวประกอบก่อน แล้วทำการตัดทอน
………..\frac{(4x-3)(x+2)}{(4x-1)(x-3)}\times \frac{(4x-1)(2x+3)}{(4x-5)(x+2)}\times \frac{(4x-5)(x-3)}{(4x-3)(2x+3)}
………. =  1……..ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ \frac{3x^2+7x-6}{x^3+3x^2+9x}\times \frac{6x^3+54x}{2x^4-162}\div \frac{27x^2-12}{x^3-27}
วิธีทำ…..ให้ดึงตัวร่วมก่อนแยกตัวประกอบนะครับ
…………\frac{3x^2+7x-6}{x(x^2+3x+9)}\times \frac{6x(x^2+9)}{2(x^4-81)}\div \frac{3(9x^2-4)}{x^3-27}
…………\frac{(3x-2)(x+3)}{x(x^2+3x+9)}\times \frac{6x(x^2+9)}{2(x^2+9)(x+3)(x-3)}\times \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{3(3x+2)(3x-2)}
………..\frac{1}{3x+2}…………ตอบ

ลองศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมจากคลิปวิดีโอนะครับ

…..ฝากนักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ในระดับชั้น ม.3 ในหน่วยที่ 2 เศษส่วนของพหุนาม ได้ดาวน์โหลดแบบฝึกหัดและไปฝึกทำเป็นการบ้านดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร เขียนมาเล่าให้ฟังบางนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การคูณและการหารพหุนาม

สมการเสิร์ด (Surd Equations)

…..สมการเสิร์ด (surd equations) คือ สมการซึ่งตัวแปรอยู่ในรูปเครื่องหมายกรณฑ์ การแก้สมการเสิร์ด ใช้วิธียกกำลังสองเพื่อให้เครื่องหมายกรณฑ์หมดไป

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ x จากสมการ \sqrt{2x-1}+2 = x
……วิธีทำ………….\sqrt{2x-1} = x-2
……………ยกกำลังสองทั้งสองข้าง ; 2x-1 = (x-2)^2 = x^2-4x+4
…………………………..x^2-6x+5 = 0
……………………… (x-5)(x-1) = 0
……………………………………..x = 5, 1 ….(แต่ 1 ใช้ไม่ได้)
…………ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ x = 5

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ x จากสมการ \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x-7}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x-7}} = 2
…….วิธีทำ…..ย้ายข้าง….\sqrt{1+x}+\sqrt{x-7} = 2\sqrt{1+x}-2\sqrt{x-7}
………………………….3\sqrt{x-7} = \sqrt{1+x}
…………..ยกกำลังสอง ; …..9(x-7) = 1+x
……………………………..9x-63 = 1+x
…………………………………….8x = 64
…………………………………….x = 8

ตัวอย่างที่ 3  ถ้า  \sqrt{\frac{\left ( 4+ \sqrt{x+3}\right )^2}{6}+3} = 3  แล้ว  x  มีค่าเท่าใด
…….วิธีทำยกกำลังสอง ;\frac{\left ( 4+\sqrt{x+3} \right )^2}{6}+3 = 9
……………………………. \frac{\left ( 4+\sqrt{x+3} \right )^2}{6} = 6
………….   ………….\left ( 4+\sqrt{x+3} \right )^2 = 6\times 6 = 6^2
……………… จะได้ …….4+\sqrt{x+3} = 6
……………………………..  \sqrt{x+3} = 2
…………….ยกกำลังสอง ; ……. x+3 = 4
………………………………….. x = 1

ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ \sqrt{3x+4}-\sqrt{3x-5} = 1
………วิธีทำ….ย้ายข้างสมการ จะได้… \sqrt{3x+4} = 1+\sqrt{3x-5}
……………….ยกกำลังสอง3x+4 = 1+2\sqrt{3x-5} + (3x-5)
……………………………8 = 2\sqrt{3x-5}
……………………………4 = \sqrt{3x-5}
…………………………..16 = 3x-5
……………………………..x = 7

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ \sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2} = \sqrt{4x-3}+\sqrt{5x-4}
……..วิธีทำย้ายข้างสมการ จะได้ \sqrt{2x-1} -\sqrt{5x-4} = \sqrt{4x-3}-\sqrt{3x-2}
…………ยกกำลังสอง ;
(2x-1)-2\sqrt{(2x-1)(5x-4)}+(5x-4) = (4x-3)-2\sqrt{(4x-3)(3x-2)}+(3x-2)
…………………….. \sqrt{(2x-1)(5x-4)} = \sqrt{(4x-3)(3x-2)}
…………..ยกกำลังสอง ; 10x^2-13x+4 = 12x^2 -17x + 6
……………………………….2x^2-4x + 2 = 0
………นำ 2 หารตลอด จะได้ x^2-2x + 1 = 0
…………………………….. (x-1)(x-1) = 0
……………………………………………x = 1

…….จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง สมการเสิร์ด (Surd) ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดได้ที่ >>> สมการเสิร์ด (Surd Equation)

การหารกรณฑ์ที่สอง

……..การหารจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง ถ้าตัวหาร (ส่วน) มี 1 พจน์ ให้ใช้สมบัตินี้ครับ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}  นั่นคือนำส่วนหารตลอด  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ \frac{3\sqrt{24}-\sqrt{54}+7\sqrt{150}}{\sqrt{3}}
…..วิธีทำ…..นำ \sqrt{3} หารตลอดจะได้เป็น
…………………..\frac{3\sqrt{24}-\sqrt{54}+7\sqrt{150}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{3}}+\frac{7\sqrt{150}}{\sqrt{3}}
………………………………………..= 3\sqrt{\frac{24}{3}}-\sqrt{\frac{54}{3}}+7\sqrt{\frac{150}{3}}
………………………………………..= 3\sqrt{8}-\sqrt{18}+7\sqrt{50}
………………………………………..= 3\sqrt{4\times 2}-\sqrt{9\times 2}+7\sqrt{25\times 2}
………………………………………..= 6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+35\sqrt{2} = 38\sqrt{2}

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ  \left ( \sqrt{450}-\sqrt{98}+\sqrt{288} \right )\div \sqrt{200}
…..วิธีทำ…..ทำในวงเล็บให้อยู่ในรูปอย่างง่ายก่อน ได้เป็น
………………..=\left ( \sqrt{2\times 225}-\sqrt{2\times 49}+\sqrt{2\times 144} \right )\div \sqrt{2\times 100}
………………..= \left ( 15\sqrt{2}-7\sqrt{2}+12\sqrt{2} \right ) \div 10\sqrt{2}
………………..= 20\sqrt{2} \div 10\sqrt{2} = 2

……การหารจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง ถ้าตัวหาร (ส่วน) มี 2 พจน์ เช่นตัวหารเป็น \sqrt{a}-\sqrt{b} ให้ใช้ สังยุค (Conjugate) ของ \sqrt{a}-\sqrt{b} คือ \sqrt{a}+\sqrt{b} มาคูณทั้งเศษและส่วน เพื่อให้ตัวส่วนกลายเป็นจำนวนตรรกยะ
…………. \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b}\right )\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}\right ) = (\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2 = a - b…….(ผลต่างกำลังสอง)

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า ..x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}..จงหาค่าของ..8x-x^2
…….วิธีทำ…..x = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}
……………… x = \frac{5-\sqrt{5}-\sqrt{5}+3}{5-3} = \frac{8-2\sqrt{5}}{2} = 4-\sqrt{5}
…………….. x^2= \left ( 4-\sqrt{5} \right )^2 = 16-8\sqrt{5}+5 = 21 - 8\sqrt{5}
…….ดังนั้น 8x-x^2 = \left ( 32 - 8\sqrt{5} \right )-\left ( 21 - 8\sqrt{5} \right ) = 11

ตัวอย่างที่ 4 ถ้า x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}.. และ..y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} ..จงหาค่าของ..  x^2-5xy+y^2
…….วิธีทำ…..x = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{3-\sqrt{6}-\sqrt{6}+2}{3-2} = 5-2\sqrt{6}
………………y = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{6}+2}{3-2} = 5+2\sqrt{6}
……………..เนื่องจากxและ...yเป็นส่วนกลับซึ่งกันและกัน ทำให้ x\cdot y = 1
……….และ x^2-5xy+y^2 = \left ( x^2+2xy+y^2 \right )-7xy = \left ( x+y \right )^2-7xy
………. ดังนั้น .. x^2-5xy+y^2 = (x+y)^2-7xy = (10)^2-7(1) = 93

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}
………วิธีทำใช้ Conjugate ของส่วนคูณตลอด แล้วทำการตัดทอน จะได้
…………….=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+ \cdots +\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{16}}\times \frac{\sqrt{15}-\sqrt{16}}{\sqrt{15}-\sqrt{16}}
…………… = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+ \cdots + \frac{\sqrt{15}-\sqrt{16}}{15-16}
…………… = \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{4}+\cdots +\sqrt{15}-\sqrt{16}}{-1}
…………… = \frac{1-\sqrt{16}}{-1} = \frac{1-4}{-1} = 3

…….จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดเรื่อง การหารกรณฑ์ที่สอง ไปฝึกลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การหารกรณฑ์ที่สอง

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 66 other followers