คลังเก็บหมวดหมู่: คณิตเพิ่มเติม ม.1

การคิดคำนวณ (ต่อ)

…….การคิดคำนวณหาคำตอบของโจทย์ที่ไม่ได้มีแต่การบวกลบเท่านั้น ถ้าโจทย์ข้อนั้นมีทั้งเครื่องหมาย บวก ลบ คูณ และหาร แล้วเราจะคำนวณอย่างไร ถ้าโจทย์ข้อนั้นไม่มีวงเล็บ เช่น …(-20)+2^3-5\times 10\div 25
…….หลักเกณฑ์การคำนวณ มีดังนี้
…….1) ถ้ามีเลขยกกำลัง ให้ทำเลขยกกำลังเป็นลำดับแรก โดยทำจากซ้ายไปขวา
…….2) ถ้ามีการการคูณหรือการหาร ให้ทำการคูณหรือการหารเป็นลำดับที่สอง โดยทำจากซ้ายไปขวา
…….3) ถ้ามีการบวกหรือลบ ให้ทำการบวกหรือลบเป็นลำดับที่สาม โดยทำจากซ้ายไปขวา
ดังนั้น
…….(-20)+2^3-5\times 10\div 25 = (-20)+8-5\times 10\div 25
………………………………….= (-20)+8-50\div 25 = (-20)+8-2 = -14

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 88-55\times 10\div (-5)+49-15\times 3^2
…….วิธีทำ ……. = 88-550\div (-5)+49-15\times 9
………………….= 88+110+49-135
…………………..= 112

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 17-5^2\times 2+35\div 5+12
…….วิธีทำ ……. = 17-(5^2\times 2)+(35\div 5)+12
…………………= 17-50+7+12
…………………= -14

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การคิดคำนวณ (ต่อ)

การคิดคำนวณ

…….การคิดคำนวณที่ใช้ในชีวิตประจำวันส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับการใช้จ่าย การซื้อ-ขาย ฯลฯ ในบางครั้งก็อาจใช้เครื่องคิดเลขได้ถ้าจำนวนค่อนข้างมาก แต่ถ้าตัวเลขน้อย ๆ ซึ่งสามารถคิดด้วยตนเองได้ เราก็อาจจะต้องคำนวณเอง ดังนั้น ความสามารถในการคิดคำนวณด้วยตนเอง อย่างถูกต้องและรวดเร็ว ยังมีความจำเป็นอยู่เสมอ
……. เช่น 50 - 7 - 13 - 9 - 6 = 50 - \left ( 7+13+9+6 \right ) = 50-35 = 15
……. ดังนั้น เมื่อมีโจทย์ที่ต้องการคำนวณเฉพาะการบวกและการลบของจำนวนเต็มหลาย ๆ จำนวน เราสามารถคำนวณได้ 2 วิธี ดังนี้
…….1) คำนวณจากซ้ายไปขวาทีละสองจำนวน หรือ
…….2) คำนวณโดยการแบ่งจำนวนออกเป็นสองกลุ่ม คือ กลุ่มจำนวนเต็มบวกและกลุ่มจำนวนเต็มลบ
……. เช่น ..51 - 17+39+47-33+53-9+10-11
…………= \left ( 51+39+47+53+10 \right )-\left ( 17+33+9+11 \right )
…………= 200 - 70 = 130

……. การบวก ลบ จำนวนเต็มหลาย ๆ จำนวน ในกรณีที่มีวงเล็บซ้อนกันหลาย ๆ วงเล็บ เช่น วงเล็บเล็ก () วงเล็บปีกกา {….} และวงเล็บใหญ่หรือวงเล็บก้ามปู [....]  เราจะคำนวณจำนวนที่อยู่ในวงเล็บเล็กก่อนเป็นอันดับแรก ถัดมาเป็นจำนวนที่อยู่ในวงเล็บปีกกา และวงเล็บใหญ๋หรือวงเล็บก้ามปู เป็นลำดับสุดท้าย
…….เช่น..\left ( -57+75 \right )+\left [ -43+\left \{ -34+\left ( -17-18-19 \right ) \right \}-67 \right ]
………….= 18+\left [ -43+\left \{ -34+\left ( -54 \right ) \right \}-67 \right ]
………….=18 +\left [ -43+\left \{ -88 \right \}-67 \right ]
………….=18+\left [ -198 \right ] = -180

……. ในบางกรณี อาจจะทำให้เราได้คำตอบที่ค่อนข้างช้า ฉะนั้น ถ้าเราต้องการคำตอบที่รวดเร็วมากขึ้น เราอาจจะนำจำนวนที่ให้มา มาจัดเรียงใหม่ ดังตัวอย่าง
………จงหาค่าของ 296-159+401+902-758
…………..= \left ( 300-4 \right )-\left ( 160-1 \right )+\left ( 400+1 \right )+\left ( 900+2 \right )-\left ( 760-2 \right )
…………..=\left ( 300-160+400+900-760 \right )+\left ( -4+1+1+2+2 \right )
………. …= 680+2 = 682

……..กรณีที่มีจำนวนเต็มบวกหลาย ๆ จำนวนบวกกัน เราอาจหาผลบวกได้ ดังนี้
……. 1) จำนวนเต็มบวกเรียงกัน …1+2+3+4+...+n = \frac{n(n+1)}{2}
………………เช่น 1+2+3+4+...+20 = \frac{20(20+1)}{2} = 10\times 21 = 210
………2) จำนวนคี่บวกเรียงกัน1+3+5+ ... + n = \left ( \frac{n+1}{2} \right )^{2}
……………..เช่น1+3+5+ ... + 51 = \left ( \frac{51+1}{2} \right )^{2} = 26\times 26 = 676

…….จากกรณีที่ 1 ในผญาอีสาน (ภูมิปัญญาของคนอีสาน) เรียกจำนวนนับที่มีลักษณะผลบวกเรียงกันแบบนี้ว่า “เลขหางหมา” และมีวิธีการคำนวณเป็น “1 บวกเข้า ของเก่ามาคูณ เอา 2 มาหาร ขาดลงเป็นบั้น” นั่นคือ 1+2+3+...+n = \frac{(n+1)n}{2} ซึ่งจะสะดวกและง่ายในการคำนวณ

…….ฝากนักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ในระดับชั้น ม.1 ในหน่วยที่ 3 การประยุกต์ของจำนวนเต็มและเลขยกกำลัง ได้ดาวน์โหลดแบบฝึกหัดและไปฝึกทำเป็นการบ้านดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร เขียนมาเล่าให้ฟังบางนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การคิดคำนวณ

ระบบตัวเลขฐานสิบสอง(Duodecimal numeral system)

…..ในการเขียนตัวเลขใน ระบบตัวเลขฐานสิบสอง  มีหลักการเช่นเดียวกันกับการเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขต่าง ๆ  ในระบบตัวเลขฐานสิบสองมีสัญลักษณ์สิบสองตัว แต่เรามีเลขโดดเพียงสิบตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 จึงต้องเพิ่มสัญลักษณ์อีกสองตัว ในที่นี้ใช้ A และ B แทนสิบ และสิบเอ็ด ตามลำดับ มีค่าประจำหลักอยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีฐานเป็น 12

ตัวอย่างที่ 1 จงเปลี่ยน95AB7_{12}….ให้อยู่ในระบบเลขฐานสิบ
…….วิธีทำ……95AB7_{12} = (9\times 12^4)+(5\times 12^3)+(10\times 12^2)+(11\times 12)+7
……………………………= 186,624 + 8,640 + 1,440 + 132 + 7 = 196,843
……………….ดังนั้น95AB7_{12}=196,843

ตัวอย่างที่ 2 ค่าของ A และ B ใน ..2A0B01_{12}..มีค่าต่างกันอยู่เท่าไร
…….วิธีทำ……ค่าของ A = 10\times 12^4 = 207,360
………………..ค่าของB = 11\times 12^2 = 1,584
………………ดังนั้นผลต่างเป็นA-B = 205,776

…….การเปลี่ยนระบบตัวเลขฐานสิบให้เป็นระบบตัวเลขฐานสอง  ก็ให้นำ 12 ไปหารจำนวนที่ต้องการเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะหารต่อไปอีกไม่ได้ และให้เขียนเศษของการหารแต่ละครั้งไว้
…….เช่น  ถ้าเปลี่ยน..3,275.. ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานสิบสองจะได้เป็น..3,275 = 1A8B_{12}

12

…….ในชีวิตประจำวันมีการใช้ระบบตัวเลขฐานสิบสองใน การนับสินค้าหรือสิ่งของที่มีหน่วยเป็นโหลและกุรุส เช่น กระดุม 1 โหลมี 12 เม็ด และกระดุม 1 กุรุสมี 12 โหล

ให้นักเรียนศึกษาการเขียนและการแปลงระบบตัวเลขฐานสิบสอง จากนั้นลองดาวน์โหลดใบงานไปฝึกทำอีกครั้งครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ระบบตัวเลขฐานสิบสอง

ระบบตัวเลขฐานสอง (Binary numeral system)

…….ในระบบตัวเลขฐานสอง จะใช้เลขโดดสองตัวคือ 0 กับ 1 และมีหลักการเขียนตัวเลขเช่นเดียวกันกับตัวเลขในระบบฐานสิบ มีค่าประจำหลักอยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีฐานเป็น 2

เช่น…..11011_2 \,\, = \,\,(1 \times 2^4 ) + (1 \times 2^3 ) + (1 \times 2) + 1\,\,\, = \,\,\,27

…….วิธีการจำค่าประจำหลักอย่างง่ายให้คิดดังนี้คือ2^{n - 1}เช่น หลักที่แปด มีค่าประจำหลักเท่ากับ 2^{8 - 1} = 2^7  หรือหลักที่สิบ มีค่าประจำหลักเท่ากับ 2^9 วิธีนี้สามารถใช้ได้กับระบบเลขฐานทุกชนิด

การเปลี่ยนระบบตัวเลขฐานสิบให้เป็นระบบตัวเลขฐานสอง  ก็ให้นำ 2 ไปหารจำนวนที่ต้องการเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะหารต่อไปอีกไม่ได้ และให้เขียนเศษของการหารแต่ละครั้งไว้
…….เช่น  ถ้าเปลี่ยน  27 ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานสองจะได้เป็น  27\,\, = \,\,11011_2

binarypic

…….การเปลี่ยน 27 ให้อยู่ในระบบเลขฐานสอง คำตอบจะได้จากเศษของการหารแต่ละครั้ง โดยย้อนกลับผลลัพธ์สุดท้ายและเศษจากตัวล่างสุดไปจนถึงตัวบนสุด เขียนเรียงจากซ้ายไปขวา และเขียน “2″  กำกับไว้ข้างท้าย

ระบบตัวเลขฐานห้า (Base five numeral system)

……. ในระบบตัวเลขฐานห้า ก็มีหลักการคิดเช่นเดียวกับตัวเลขในระบบฐานสิบ ตัวเลขในระบบฐานห้าจะใช้เลขโดดห้าตัว คือ 0, 1, 2, 3 และ 4 มีค่าประจำหลักอยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีฐานเป็น 5
……. ในระบบเลขฐานห้า จะเขียน 5 กำกับไว้ที่ตัวเลข เช่น
…….3142_5 อ่านว่าสามหนึ่งสี่สองฐานห้า

การเขียนตัวเลขแทนจำนวนในระบบตัวเลขฐานห้า ใช้หลักการกระจายเช่นเดียวกับระบบตัวเลขฐานสิบ

เช่น3142_5 \,\, = \,\,(3 \times 5^3 ) + (1 \times 5^2 ) + (4 \times 5) + 2\,\,\, = \,\,\,422

การเปลี่ยนระบบตัวเลขฐานสิบให้เป็นระบบตัวเลขฐานห้า  ก็ให้นำ 5 ไปหารจำนวนที่ต้องการเปลี่ยนไปจนกว่าจะหารต่อไปอีกไม่ได้ และก็เขียนเศษของการหารแต่ละครั้งกำกับไว้
…….เช่น  ถ้าเปลี่ยน  748  ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานห้าจะได้เป็น  748 = 10443_5

basefive
…….ให้สังเกตว่าคำตอบที่ได้จากวิธีหาร ต้องเขียนเลขโดดจากผลลัพธ์สุดท้ายและเศษของแต่ละขั้นย้อนขึ้นไป  โดยที่ผลลัพธ์จำนวนสุดท้ายคือ 1 มีเศษเป็น 0

ให้นักเรียนศึกษาการเขียนและการแปลงระบบตัวเลขฐานห้า จากนั้นลองดาวน์โหลดใบงานไปฝึกทำอีกครั้งครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ระบบตัวเลขฐานห้า (Base five numeral system)

ระบบตัวเลขฐานสิบ (decimal numeral system)

………ระบบตัวเลขฮินดูอารบิกเป็นระบบตัวเลขฐานสิบ ได้ชื่อมาจากชนชาติฮินดู ซึ่งเป็นผู้คิดระบบนี้ขึ้นมา และชนชาติอาหรับซึ่งเดินทางติดต่อค้าขายระหว่างอินเดียและยุโรปได้นำระบบตัวเลขนี้ไปเผยแพร่ในยุโรป
………ในระบบตัวเลขฮินดูอารบิกเป็นระบบตัวเลขฐานสิบ ใช้สัญลักษณ์พื้นฐานสิบตัว  คือ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8  และ  9  สัญลักษณ์ทั้งสิบตัวนี้ เรียกว่า เลขโดด (digits)
………การเขียนตัวเลขในระบบเลขฐานสิบ เราสามารถใช้ตัวเลขโดดเพียงสิบตัว เขียนตัวเลขแทนจำนวนต่าง ๆ ได้มากมาย ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่าประจำหลักของแต่ละตัว

เช่น 945,601 = (9 \times 10^5 ) + (4 \times 10^4 ) + (5 \times 10^3 ) + (6 \times 10^2 ) + 1

ให้นักเรียนศึกษาระบบตัวเลขฐานสิบ จากนั้นลองดาวน์โหลดใบงาน/การบ้าน ไปฝึกทำอีกครั้งครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ระบบตัวเลขฐานสิบ (Decimal Numeral System)

ระบบตัวเลขโรมัน (Roman Numeral)

…..ประมาณ 300 – 100 ปีก่อนคริสต์ศักราช ชาวโรมันได้นำตัวหนังสือกรีกมาดัดแปลงเป็นตัวเลขโรมัน ซึ่งตัวเลขโรมันใช้สัญลักษณ์พื้นฐาน 7 ตัว ดังต่อไปนี้
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000

หลักการเขียนตัวเลขโรมันแทนจำนวน
1. สัญลักษณ์แต่ละตัวเขียนเรียงกันได้ไม่เกิน 3 ตัว
2. เขียนเรียงกันโดยใช้หลักการเพิ่ม เรียงลำดับจากมากไปน้อย เช่น
…….VI แทน 5 + 1 = 6
…….XV แทน 10 + 5 = 15
…….DCLXIII แทน 500 + 100 + 50 + 10 + 3 = 663
3.ใช้หลักการลด โดยการเขียนตัวเลขที่มีค่าน้อยไว้ข้างหน้าตัวเลขที่มีค่ามาก  เช่น
……..IV แทน 5 – 1 = 4
……..IX แทน 10 – 1 = 9
……..XL แทน 50 – 10 = 40
…….ข้อพึงระวัง

  • ตัวเลขที่ใช้เป็นตัวลบมี 3 ตัว คือ I, X, C
  •  I จะอยู่ข้างหน้า X หรือ V เท่านั้น
  • X จะอยู่ข้างหน้า L หรือ C เท่านั้น
  • C จะอยู่ข้างหน้า M หรือ D เท่านั้น

4. การเขียนจำนวนที่มีค่ามาก ๆ ให้ใช้เครื่องหมายขีด (-) เขียนบนสัญลักษณ์พื้นฐาน 6 ตัว คือ V, X, L, C, D, M
โดยสัญลักษณ์ใหม่นี้จะมีค่าเป็น 1,000 เท่าของตัวเลขเดิม
\begin{array}{l}  \bar V\, = \,5,000,\,\,\,\bar X = 10,000,\,\,\,\bar L = 50,000,\,\,\, \\  \bar C = 100,000,\,\,\,\bar D = 500,000,\,\,\,\bar M = 1,000,000 \\  \end{array}

หรือดาวน์โหลดที่ >>> Roman Numeral

การคูณพหุนาม (Multiplication of Polynomials)

…….การคูณพหุนามสามารถใช้สมบัติการสลับที่ (commutative property) สมบัติการแจกแจง (distribution property)ได้เช่นเดียวกับการคูณจำนวนกับจำนวน
…….การพหุนามด้วยเอกนาม ทำได้โดยคูณเอกนามกับทุก ๆ พจน์ของพหุนาม แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน เช่น

…….(2x2) · (3x2 − 4x + 5)  =  6x4 − 8x3 + 10x2

…….การคูณพหุนามด้วยพหุนาม ทำได้โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกับทุก ๆ พจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน เช่น

…….(2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x)   =    4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x

…………………………………………… =   4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

…….เพื่อความสะดวกในการหาผลคูณสำหรับพหุนามใด ๆ ที่มีจำนวนพจน์ตั้งแต่ 3 พจน์ขึ้นไป จะใช้วิธีการตั้งคูณ ซึ่งเวลาตั้งคูณตัวตั้งลงไปให้คำนึงถึงการเรียงลำดับดีกรีและตัวแปร ผลของการคูณนั้นควรจะเรียงลำดับดีกรีด้วย เช่น

P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x2 − x + 3) = 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9

Multiplying Polynomials

หรือดาวน์โหลดที่ >>> Multiple Polynomial 

การบวกและการลบพหุนาม (Addition and Subtraction of Polynomials)

…….การหาผลบวกของพหุนามทำได้โดย นำพหุนามมาเขียนในรูปการบวก และถ้ามีพจน์ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน  เช่น

P(x) = 2x3 + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1. เขียนพหุนามที่กำหนดให้ทั้งหมดที่ต้องการบวกกันในบรรทัดเดียวกัน

P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2. รวมพจน์ที่คล้ายกัน

P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3x2 + 5x + 4x − 3

3. เขียนผลลัพธ์ที่ได้ในรูปพหุนามผลสำเร็จ

P(x) +  Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3

…….เราอาจหาผลบวกของพหุนามที่มีพจน์ที่คล้ายกันด้วยการเขียนการบวกในแนวตั้ง โดยให้พจน์ที่คล้ายกันอยู่ตรงกันแล้วจึงบวกพจน์ที่คล้ายกันนั้น  ดังตัวอย่างต่อไปนี้

P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2        Q(x) = 6x3 + 8x +3

Sum of Polynomials

P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5

……. การลบพหุนามด้วยพหุนาม ทำได้โดยการบวกพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยจำนวนตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

…….เพื่อความสะดวกในการหาผลลบพหุนามที่มีพจน์ที่คล้ายกัน อาจใช้วิธีเขียนการลบในแนวตั้ง  เช่น P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2  ลบด้วย   Q(x) = 6x3 + 8x +3 แล้วบวกพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพจน์ตรงข้ามของแต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ  ซึ่งเขียนได้ดังนี้

suma de polinomios

ให้นักเรียนทำการดาวน์โหลดการบ้านที่ Scribd หรือที่ลิ้งค์นะครับ >>> Polynomial

 

พหุนาม (Polynomial)

…….พหุนาม คือ นิพจน์ที่เขียนในรูปเอกนาม หรือเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป  เช่น

  • 15     เป็นเอกนาม และพหุนาม
  • 3ab     เป็นเอกนาม และพหุนาม
  • 3x + 2y     เป็นพหุนามที่เขียนในรูปการบวกการบวกของเอกนามสองเอกนาม คือ 3x และ 2y
  • 2x2 + 3x + 2  เป็นพหุนามที่เขียนในรูปการบวกการบวกของเอกนามสามเอกนาม คือ 2x2 ,  3x และ  2

…….ในพหุนามใด ๆ เราจะเรียกแต่ละเอกนามที่อยู่ในพหุนามนั้นว่า พจน์ (term) ของพหุนาม และในกรณีที่พหุนามนั้นมีเอกนามที่คล้ายกัน เราจะเรียกเอกนามที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน (like term)

  • พหุนาม  2x2 + 3x + 2  มีพจน์คือ  2x2 ,  3x  และ  2
  • พหุนาม x− 2x2 + 4x3 + 2  มีพจน์คือ x3 , 2x2 , 4x3 และ 2   โดยที่  xและ 4xเป็นพจน์ที่ึคล้ายกัน

……ในกรณีที่พหุนามมีพจน์บางพจน์ที่คล้ายกัน เราสามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกันเพื่อทำให้พหุนามนั้นอยู่ในรูปที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลย เราเรียนกพหุนามที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ (polynomial in the simplest form) และเรียกดีกรีสูงสุดของพจน์ของพหุนามในรูปผลสำเร็จว่า ดีกรีของพหุนาม (degree of  polynomial)  เช่น

  • 2x3 + 5x − 3 + 4x + 2x3 − 3x2
    =    2x3 + 2x3 − 3x2 + 5x + 4x − 3
    =   4x3 − 3x2 + 9x − 3
    ซึ่งดีกรีของพหุนาม เท่ากับ 3
ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 62 other followers