คลังเก็บหมวดหมู่: คณิตเพิ่มเติม ม.1

จำนวนนับ (Counting Number)

…….นักเรียนรู้จักจำนวนนับและสมบัติเบื้องต้นของจำนวนนับมาบ้างแล้วในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.1 แต่ยังมีสมบัติอีกบางประการที่น่ารู้จัก เพื่อให้นักเรียนมีความรู้และความเข้าใจในเรื่องจำนวนนับมากขึ้น ได้แก่ การตรวจสอบจำนวนนับนั้นว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่  การหา ห.ร.ม.(ตัวหารร่วมมาก) ของจำนวนนับสองจำนวนที่มีค่ามากเพื่อให้หาได้สะดวกและรวดเร็ว เราไปดูรายละเอียดกันเลยครับ

……. จำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1 และตัวของมันเอง เรียกว่า จำนวนเฉพาะ (Prime number)  เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 , … ดูเพิ่มเติมจำนวนเฉพาะ 1,000 จำนวนแรก
……. นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ชื่อ เอราทอสเทนีส แห่งไซรีนี (Eratosthenes of Cyrene) ได้คิดวิธีหาจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง 1 กับจำนวนนับที่กำหนดให้ โดยตัดจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะทิ้ง เรียกวิธีนี้ว่า ตะแกรงของเอราทอสเทนีส (the sieve of Eratosthenes)

…….การใช้ตะแกรงของเอราทอสเทนีส เพื่อใช้หาจำนวนเฉพาะ อาจจะไม่เหมาะสมในการตรวจสอบจำนวนมาก ๆ แต่เราอาจนำแนวคิดเดียวกันมาตรวจสอบได้ ดังนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่า  83  เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
วิธีทำ  ขั้นที่ 1 จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่คูณตัวเอง แล้วผลคูณไม่เกิน 83 คือ 2, 3, 5, 7
………ขั้นที่ 2 นำ  2, 3, 5, 7  ไปหาร 83 ผลปรากฏว่า ไม่มีจำนวนเฉพาะจำนวนใดหาร 83 ลงตัว
………ดังนั้น 83 เป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 2 จงตรวจสอบว่า  161  เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
วิธีทำ  ขั้นที่ 1 จำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่คูณตัวเอง แล้วผลคูณไม่เกิน 161 คือ 2, 3, 5, 7, 11
………ขั้นที่ 2 นำ  2, 3, 5, 7, 11  ไปหาร 161 ผลปรากฏว่า 7 หาร 161 ลงตัว (161 = 7×23)
………ดังนั้น 161 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

…….การหา ห.ร.ม. (ตัวหารร่วมมาก) ของจำนวนนับสองจำนวน ที่มีค่ามาก มีหลายวิธี แต่วิธีที่รวดเร็วคือ ขั้นตอนวิธีของยุคลิด (Euclidean algorithm)

คลิปที่ 1 การหา ห.ร.ม.แบบยุคลิด

คลิปที่ 2 การหา ห.ร.ม. แบบยุคลิด

…….เป็นไงบ้างครับ เพือให้เข้าใจยิ่งขึ้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “จำนวนนับ” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้าง

หรือดาวน์โหลดที่ >>> จำนวนนับ (Counting Number)  คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.1

รูปเรขาคณิต (Geometric figure)

……. รูปเรขาคณิต (Geometric figure) เป็นรูปที่ประกอบด้วย จุด เส้นตรง เส้นโค้ง ระนาบ ฯลฯ ตัวอย่างของรูปเรขาคณิต ได้แก่ รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปวงกลม ทรงสี่เหลี่ยม ทรงกระบอก พีระมิด ทรงกลม ฯ

……. รูปสามเหลี่ยม (Triangle) เป็นรูปปิดที่ประกอบด้วยด้านสามด้าน
……. ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (perimeter) คือ ผลบวกของความยาวของด้านทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม
……. การจะสร้างรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ความยาวของด้านทั้งสามจะต้องสัมพันธ์กัน โดยผลบวกของด้านที่สั้นสองด้าน จะต้องมีค่ามากกว่าด้านยาวที่สุด

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดส่วนของเส้นตรงซึ่งมีความยาวต่อไปนี้ (หน่วยเป็นเซนติเมตร)
……. 1) 3,.. 4,.. 5 …………………2) 4, ..5, ..9
……. 3) 5, ..6, ..12 ……………….4) 3.5,  ..4.5, .. 7
……. 5) 4,.. 5, ..8.5 ………………6) 5.2,.. 7.5,.. 10.4
…..(1) จงหาว่า ส่วนของเส้นตรงในข้อใดบ้างที่ประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ เพราะเหตุใด
………..ตอบ ข้อ 1), 4), 5) และ 6) เพราะผลบวกของด้านที่สั้น 2 ด้าน มากกว่าด้านที่ยาวที่สุด
…..(2) จงหาว่า ส่วนของเส้นตรงในข้อใดบ้างที่ประกอบเป็นรูปสามเหลี่ยมไม่ได้ เพราะเหตุใด
……….ตอบ ข้อ 2) และ 3) เพราะผลบวกของด้านที่สั้น 2 ด้าน น้อยกว่าด้านที่ยาวที่สุด

ตัวอย่างที่ 2 ถ้านักเรียนมีเชือกเส้นหนึ่งยาว 4 เมตร นักเรียนจะสามารถนำมาขึงเป็นรูปสามเหลี่ยมได้หรือไม่ ถ้าได้ ทำอย่างไร และถ้าไม่ได้ เพราะเหตุใด
………ตอบ ทำได้ เพราะว่าความยาวของแต่ละด้านไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนนับ เช่น อาจวางเชือกให้มีความยาวของด้านเป็น 1.5 เมตร 1.5 เมตร และ 1 เมตร

♥ จุดข้างในและจุดข้างนอก (Interior & Exterior point)
…….รูปเรขาคณิตที่เกิดจากเส้นโค้ง นอกจากวงกลม วงรี แล้วเราสามารถสร้างรูปจากเส้นโค้งได้มากมาย

geo

…….จากรูปข้างบน เราเรียกว่า รูปเส้นโค้งปิดเชิงเดียว (single closed curve) จะเป็นรูปเส้นโค้งปิดที่เส้นรอบรูปไม่ตัดกัน
……. เส้นโค้งปิดเชิงเดียว จะมีเส้นรอบรูปเป็นเส้นแข่งเขตระหว่างส่วนที่อยู่ข้างในกับส่วนที่อยู่ข้างนอก  โดยจะเรียกจุดที่อยู่ข้างในว่า จุดข้างใน (Interior point) และจุดที่อยู่ข้างนอกรูปปิดว่า จุดข้างนอก (Exterior point)

intext…….. จากรูป A,  B,  E  เป็นจุดข้างนอก  และ C,  D  เป็นจุดข้างใน

…….. ถ้าในกรณีที่เป็นรูปซับซ้อน เราอาจจะบอกไม่ได้ในทันทีว่าจุดใดเป็นจุดข้างในหรือจุดข้างนอก หรือถ้าหาก็อาจต้องเสียเวลาค่อนข้างมาก แต่ถ้าเราใช้ทฤษฎีของ ฌอร์ดอง (Jordan’s Theorem) ในการหาจุดข้างในและจุดข้างนอกอาจจะช่วยให้เร็วขึ้น

…….. ทฤษฎีของฌอร์ดอง กล่าวว่า ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งจากจุดนั้นออกมาข้างนอกรูปทางใดทางหนึ่ง แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นตัดเส้นรอบรูปได้จำนวนจุดตัดเป็น จำนวนคี่ จุดนั้นจะเป็น จุดข้างใน  แต่ถ้าได้จำนวนจุดตัดเป็น จำนวนคู่ จุดนั้นจะเป็น จุดข้างนอก
jd

……. ลองทดสอบตัวเองดูสิครับว่า จุดใดเป็นจุดภายในและจุดใดเป็นจุดภายนอก
jd2……. มาดูกันว่า ถูกหรือเปล่าครับ จุดข้างใน ได้แก่จุด U ส่วนจุดข้างนอก ได้แก่จุด V, W, X, Y, Z

นักเรียนลองศึกษาจากคลิปวิดีโอ 2 คลิป ต่อไปนี้นะครับ เพื่อให้เกิดความรู้ความเข้าใจมากยิ่งขึ้น

นักเรียนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปทำเป็นการบ้านเกี่ยวกับ “รูปเรขาคณิต” ดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร ลองเขียนมาเล่าสู่กันฟังบ้างนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> แบบฝึกหัดที่ 2.1 รูปเรขาคณิต

การคิดคำนวณ (ต่อ)

…….การคิดคำนวณหาคำตอบของโจทย์ที่ไม่ได้มีแต่การบวกลบเท่านั้น ถ้าโจทย์ข้อนั้นมีทั้งเครื่องหมาย บวก ลบ คูณ และหาร แล้วเราจะคำนวณอย่างไร ถ้าโจทย์ข้อนั้นไม่มีวงเล็บ เช่น …(-20)+2^3-5\times 10\div 25
…….หลักเกณฑ์การคำนวณ มีดังนี้
…….1) ถ้ามีเลขยกกำลัง ให้ทำเลขยกกำลังเป็นลำดับแรก โดยทำจากซ้ายไปขวา
…….2) ถ้ามีการการคูณหรือการหาร ให้ทำการคูณหรือการหารเป็นลำดับที่สอง โดยทำจากซ้ายไปขวา
…….3) ถ้ามีการบวกหรือลบ ให้ทำการบวกหรือลบเป็นลำดับที่สาม โดยทำจากซ้ายไปขวา
ดังนั้น
…….(-20)+2^3-5\times 10\div 25 = (-20)+8-5\times 10\div 25
………………………………….= (-20)+8-50\div 25 = (-20)+8-2 = -14

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 88-55\times 10\div (-5)+49-15\times 3^2
…….วิธีทำ ……. = 88-550\div (-5)+49-15\times 9
………………….= 88+110+49-135
…………………..= 112

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 17-5^2\times 2+35\div 5+12
…….วิธีทำ ……. = 17-(5^2\times 2)+(35\div 5)+12
…………………= 17-50+7+12
…………………= -14

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การคิดคำนวณ (ต่อ)

การคิดคำนวณ

…….การคิดคำนวณที่ใช้ในชีวิตประจำวันส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับการใช้จ่าย การซื้อ-ขาย ฯลฯ ในบางครั้งก็อาจใช้เครื่องคิดเลขได้ถ้าจำนวนค่อนข้างมาก แต่ถ้าตัวเลขน้อย ๆ ซึ่งสามารถคิดด้วยตนเองได้ เราก็อาจจะต้องคำนวณเอง ดังนั้น ความสามารถในการคิดคำนวณด้วยตนเอง อย่างถูกต้องและรวดเร็ว ยังมีความจำเป็นอยู่เสมอ
……. เช่น 50 - 7 - 13 - 9 - 6 = 50 - \left ( 7+13+9+6 \right ) = 50-35 = 15
……. ดังนั้น เมื่อมีโจทย์ที่ต้องการคำนวณเฉพาะการบวกและการลบของจำนวนเต็มหลาย ๆ จำนวน เราสามารถคำนวณได้ 2 วิธี ดังนี้
…….1) คำนวณจากซ้ายไปขวาทีละสองจำนวน หรือ
…….2) คำนวณโดยการแบ่งจำนวนออกเป็นสองกลุ่ม คือ กลุ่มจำนวนเต็มบวกและกลุ่มจำนวนเต็มลบ
……. เช่น ..51 - 17+39+47-33+53-9+10-11
…………= \left ( 51+39+47+53+10 \right )-\left ( 17+33+9+11 \right )
…………= 200 - 70 = 130

……. การบวก ลบ จำนวนเต็มหลาย ๆ จำนวน ในกรณีที่มีวงเล็บซ้อนกันหลาย ๆ วงเล็บ เช่น วงเล็บเล็ก () วงเล็บปีกกา {….} และวงเล็บใหญ่หรือวงเล็บก้ามปู [....]  เราจะคำนวณจำนวนที่อยู่ในวงเล็บเล็กก่อนเป็นอันดับแรก ถัดมาเป็นจำนวนที่อยู่ในวงเล็บปีกกา และวงเล็บใหญ๋หรือวงเล็บก้ามปู เป็นลำดับสุดท้าย
…….เช่น..\left ( -57+75 \right )+\left [ -43+\left \{ -34+\left ( -17-18-19 \right ) \right \}-67 \right ]
………….= 18+\left [ -43+\left \{ -34+\left ( -54 \right ) \right \}-67 \right ]
………….=18 +\left [ -43+\left \{ -88 \right \}-67 \right ]
………….=18+\left [ -198 \right ] = -180

……. ในบางกรณี อาจจะทำให้เราได้คำตอบที่ค่อนข้างช้า ฉะนั้น ถ้าเราต้องการคำตอบที่รวดเร็วมากขึ้น เราอาจจะนำจำนวนที่ให้มา มาจัดเรียงใหม่ ดังตัวอย่าง
………จงหาค่าของ 296-159+401+902-758
…………..= \left ( 300-4 \right )-\left ( 160-1 \right )+\left ( 400+1 \right )+\left ( 900+2 \right )-\left ( 760-2 \right )
…………..=\left ( 300-160+400+900-760 \right )+\left ( -4+1+1+2+2 \right )
………. …= 680+2 = 682

……..กรณีที่มีจำนวนเต็มบวกหลาย ๆ จำนวนบวกกัน เราอาจหาผลบวกได้ ดังนี้
……. 1) จำนวนเต็มบวกเรียงกัน …1+2+3+4+...+n = \frac{n(n+1)}{2}
………………เช่น 1+2+3+4+...+20 = \frac{20(20+1)}{2} = 10\times 21 = 210
………2) จำนวนคี่บวกเรียงกัน1+3+5+ ... + n = \left ( \frac{n+1}{2} \right )^{2}
……………..เช่น1+3+5+ ... + 51 = \left ( \frac{51+1}{2} \right )^{2} = 26\times 26 = 676

…….จากกรณีที่ 1 ในผญาอีสาน (ภูมิปัญญาของคนอีสาน) เรียกจำนวนนับที่มีลักษณะผลบวกเรียงกันแบบนี้ว่า “เลขหางหมา” และมีวิธีการคำนวณเป็น “1 บวกเข้า ของเก่ามาคูณ เอา 2 มาหาร ขาดลงเป็นบั้น” นั่นคือ 1+2+3+...+n = \frac{(n+1)n}{2} ซึ่งจะสะดวกและง่ายในการคำนวณ

…….ฝากนักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ในระดับชั้น ม.1 ในหน่วยที่ 3 การประยุกต์ของจำนวนเต็มและเลขยกกำลัง ได้ดาวน์โหลดแบบฝึกหัดและไปฝึกทำเป็นการบ้านดูนะครับ ได้ผลเป็นอย่างไร เขียนมาเล่าให้ฟังบางนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> การคิดคำนวณ

ระบบตัวเลขฐานสิบสอง(Duodecimal numeral system)

…..ในการเขียนตัวเลขใน ระบบตัวเลขฐานสิบสอง  มีหลักการเช่นเดียวกันกับการเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขต่าง ๆ  ในระบบตัวเลขฐานสิบสองมีสัญลักษณ์สิบสองตัว แต่เรามีเลขโดดเพียงสิบตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 จึงต้องเพิ่มสัญลักษณ์อีกสองตัว ในที่นี้ใช้ A และ B แทนสิบ และสิบเอ็ด ตามลำดับ มีค่าประจำหลักอยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีฐานเป็น 12

ตัวอย่างที่ 1 จงเปลี่ยน95AB7_{12}….ให้อยู่ในระบบเลขฐานสิบ
…….วิธีทำ……95AB7_{12} = (9\times 12^4)+(5\times 12^3)+(10\times 12^2)+(11\times 12)+7
……………………………= 186,624 + 8,640 + 1,440 + 132 + 7 = 196,843
……………….ดังนั้น95AB7_{12}=196,843

ตัวอย่างที่ 2 ค่าของ A และ B ใน ..2A0B01_{12}..มีค่าต่างกันอยู่เท่าไร
…….วิธีทำ……ค่าของ A = 10\times 12^4 = 207,360
………………..ค่าของB = 11\times 12^2 = 1,584
………………ดังนั้นผลต่างเป็นA-B = 205,776

…….การเปลี่ยนระบบตัวเลขฐานสิบให้เป็นระบบตัวเลขฐานสอง  ก็ให้นำ 12 ไปหารจำนวนที่ต้องการเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะหารต่อไปอีกไม่ได้ และให้เขียนเศษของการหารแต่ละครั้งไว้
…….เช่น  ถ้าเปลี่ยน..3,275.. ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานสิบสองจะได้เป็น..3,275 = 1A8B_{12}

12

…….ในชีวิตประจำวันมีการใช้ระบบตัวเลขฐานสิบสองใน การนับสินค้าหรือสิ่งของที่มีหน่วยเป็นโหลและกุรุส เช่น กระดุม 1 โหลมี 12 เม็ด และกระดุม 1 กุรุสมี 12 โหล

ให้นักเรียนศึกษาการเขียนและการแปลงระบบตัวเลขฐานสิบสอง จากนั้นลองดาวน์โหลดใบงานไปฝึกทำอีกครั้งครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ระบบตัวเลขฐานสิบสอง

ระบบตัวเลขฐานสอง (Binary numeral system)

…….ในระบบตัวเลขฐานสอง จะใช้เลขโดดสองตัวคือ 0 กับ 1 และมีหลักการเขียนตัวเลขเช่นเดียวกันกับตัวเลขในระบบฐานสิบ มีค่าประจำหลักอยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีฐานเป็น 2

เช่น…..11011_2 \,\, = \,\,(1 \times 2^4 ) + (1 \times 2^3 ) + (1 \times 2) + 1\,\,\, = \,\,\,27

…….วิธีการจำค่าประจำหลักอย่างง่ายให้คิดดังนี้คือ2^{n - 1}เช่น หลักที่แปด มีค่าประจำหลักเท่ากับ 2^{8 - 1} = 2^7  หรือหลักที่สิบ มีค่าประจำหลักเท่ากับ 2^9 วิธีนี้สามารถใช้ได้กับระบบเลขฐานทุกชนิด

การเปลี่ยนระบบตัวเลขฐานสิบให้เป็นระบบตัวเลขฐานสอง  ก็ให้นำ 2 ไปหารจำนวนที่ต้องการเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะหารต่อไปอีกไม่ได้ และให้เขียนเศษของการหารแต่ละครั้งไว้
…….เช่น  ถ้าเปลี่ยน  27 ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานสองจะได้เป็น  27\,\, = \,\,11011_2

binarypic

…….การเปลี่ยน 27 ให้อยู่ในระบบเลขฐานสอง คำตอบจะได้จากเศษของการหารแต่ละครั้ง โดยย้อนกลับผลลัพธ์สุดท้ายและเศษจากตัวล่างสุดไปจนถึงตัวบนสุด เขียนเรียงจากซ้ายไปขวา และเขียน “2″  กำกับไว้ข้างท้าย

ระบบตัวเลขฐานห้า (Base five numeral system)

……. ในระบบตัวเลขฐานห้า ก็มีหลักการคิดเช่นเดียวกับตัวเลขในระบบฐานสิบ ตัวเลขในระบบฐานห้าจะใช้เลขโดดห้าตัว คือ 0, 1, 2, 3 และ 4 มีค่าประจำหลักอยู่ในรูปเลขยกกำลังที่มีฐานเป็น 5
……. ในระบบเลขฐานห้า จะเขียน 5 กำกับไว้ที่ตัวเลข เช่น
…….3142_5 อ่านว่าสามหนึ่งสี่สองฐานห้า

การเขียนตัวเลขแทนจำนวนในระบบตัวเลขฐานห้า ใช้หลักการกระจายเช่นเดียวกับระบบตัวเลขฐานสิบ

เช่น3142_5 \,\, = \,\,(3 \times 5^3 ) + (1 \times 5^2 ) + (4 \times 5) + 2\,\,\, = \,\,\,422

การเปลี่ยนระบบตัวเลขฐานสิบให้เป็นระบบตัวเลขฐานห้า  ก็ให้นำ 5 ไปหารจำนวนที่ต้องการเปลี่ยนไปจนกว่าจะหารต่อไปอีกไม่ได้ และก็เขียนเศษของการหารแต่ละครั้งกำกับไว้
…….เช่น  ถ้าเปลี่ยน  748  ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานห้าจะได้เป็น  748 = 10443_5

basefive
…….ให้สังเกตว่าคำตอบที่ได้จากวิธีหาร ต้องเขียนเลขโดดจากผลลัพธ์สุดท้ายและเศษของแต่ละขั้นย้อนขึ้นไป  โดยที่ผลลัพธ์จำนวนสุดท้ายคือ 1 มีเศษเป็น 0

ให้นักเรียนศึกษาการเขียนและการแปลงระบบตัวเลขฐานห้า จากนั้นลองดาวน์โหลดใบงานไปฝึกทำอีกครั้งครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ระบบตัวเลขฐานห้า (Base five numeral system)

ระบบตัวเลขฐานสิบ (decimal numeral system)

………ระบบตัวเลขฮินดูอารบิกเป็นระบบตัวเลขฐานสิบ ได้ชื่อมาจากชนชาติฮินดู ซึ่งเป็นผู้คิดระบบนี้ขึ้นมา และชนชาติอาหรับซึ่งเดินทางติดต่อค้าขายระหว่างอินเดียและยุโรปได้นำระบบตัวเลขนี้ไปเผยแพร่ในยุโรป
………ในระบบตัวเลขฮินดูอารบิกเป็นระบบตัวเลขฐานสิบ ใช้สัญลักษณ์พื้นฐานสิบตัว  คือ 0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8  และ  9  สัญลักษณ์ทั้งสิบตัวนี้ เรียกว่า เลขโดด (digits)
………การเขียนตัวเลขในระบบเลขฐานสิบ เราสามารถใช้ตัวเลขโดดเพียงสิบตัว เขียนตัวเลขแทนจำนวนต่าง ๆ ได้มากมาย ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่าประจำหลักของแต่ละตัว

เช่น 945,601 = (9 \times 10^5 ) + (4 \times 10^4 ) + (5 \times 10^3 ) + (6 \times 10^2 ) + 1

ให้นักเรียนศึกษาระบบตัวเลขฐานสิบ จากนั้นลองดาวน์โหลดใบงาน/การบ้าน ไปฝึกทำอีกครั้งครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> ระบบตัวเลขฐานสิบ (Decimal Numeral System)

ระบบตัวเลขโรมัน (Roman Numeral)

…..ประมาณ 300 – 100 ปีก่อนคริสต์ศักราช ชาวโรมันได้นำตัวหนังสือกรีกมาดัดแปลงเป็นตัวเลขโรมัน ซึ่งตัวเลขโรมันใช้สัญลักษณ์พื้นฐาน 7 ตัว ดังต่อไปนี้
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000

หลักการเขียนตัวเลขโรมันแทนจำนวน
1. สัญลักษณ์แต่ละตัวเขียนเรียงกันได้ไม่เกิน 3 ตัว
2. เขียนเรียงกันโดยใช้หลักการเพิ่ม เรียงลำดับจากมากไปน้อย เช่น
…….VI แทน 5 + 1 = 6
…….XV แทน 10 + 5 = 15
…….DCLXIII แทน 500 + 100 + 50 + 10 + 3 = 663
3.ใช้หลักการลด โดยการเขียนตัวเลขที่มีค่าน้อยไว้ข้างหน้าตัวเลขที่มีค่ามาก  เช่น
……..IV แทน 5 – 1 = 4
……..IX แทน 10 – 1 = 9
……..XL แทน 50 – 10 = 40
…….ข้อพึงระวัง

  • ตัวเลขที่ใช้เป็นตัวลบมี 3 ตัว คือ I, X, C
  •  I จะอยู่ข้างหน้า X หรือ V เท่านั้น
  • X จะอยู่ข้างหน้า L หรือ C เท่านั้น
  • C จะอยู่ข้างหน้า M หรือ D เท่านั้น

4. การเขียนจำนวนที่มีค่ามาก ๆ ให้ใช้เครื่องหมายขีด (-) เขียนบนสัญลักษณ์พื้นฐาน 6 ตัว คือ V, X, L, C, D, M
โดยสัญลักษณ์ใหม่นี้จะมีค่าเป็น 1,000 เท่าของตัวเลขเดิม
\begin{array}{l}  \bar V\, = \,5,000,\,\,\,\bar X = 10,000,\,\,\,\bar L = 50,000,\,\,\, \\  \bar C = 100,000,\,\,\,\bar D = 500,000,\,\,\,\bar M = 1,000,000 \\  \end{array}

ลองดูคลิปวิดีโอต่อไปนี้นะครับ เพื่อให้มีความเข้าใจยิ่งขึ้น

จากนั้นลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปลองทำดูนะครับ

หรือดาวน์โหลดที่ >>> Roman Numeral

การคูณพหุนาม (Multiplication of Polynomials)

…….การคูณพหุนามสามารถใช้สมบัติการสลับที่ (commutative property) สมบัติการแจกแจง (distribution property)ได้เช่นเดียวกับการคูณจำนวนกับจำนวน
…….การพหุนามด้วยเอกนาม ทำได้โดยคูณเอกนามกับทุก ๆ พจน์ของพหุนาม แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน เช่น

…….(2x2) · (3x2 − 4x + 5)  =  6x4 − 8x3 + 10x2

…….การคูณพหุนามด้วยพหุนาม ทำได้โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกับทุก ๆ พจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน เช่น

…….(2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x)   =    4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x

…………………………………………… =   4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

…….เพื่อความสะดวกในการหาผลคูณสำหรับพหุนามใด ๆ ที่มีจำนวนพจน์ตั้งแต่ 3 พจน์ขึ้นไป จะใช้วิธีการตั้งคูณ ซึ่งเวลาตั้งคูณตัวตั้งลงไปให้คำนึงถึงการเรียงลำดับดีกรีและตัวแปร ผลของการคูณนั้นควรจะเรียงลำดับดีกรีด้วย เช่น

P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x2 − x + 3) = 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9

Multiplying Polynomials

หรือดาวน์โหลดที่ >>> Multiple Polynomial 

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 66 other followers