การแปรผกผัน (Inverse Variation)

…….การแปรผกผัน (Inverse variation) เป็นความสัมพันธ์ระหว่างของสองสิ่งหรือปริมาณสองปริมาณ เมื่อสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอีกสิ่งหนึ่งลดลงอย่างเป็นสัดส่วนกัน หรือเมื่อสิ่งหนึ่งลดลงอีกสิ่งหนึ่งเพิ่มขึ้นอย่างเป็นสัดส่วนกัน เช่น การทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าคนมากงานจะเสร็จเร็ว แต่คนน้อยงานจะเสร็จช้า เรียกว่า การแปรกลับกัน หรือ การแปรผกผัน หรือ สัดส่วนผกผัน

บทนิยาม กำหนดให้  x และ y  แทนปริมาณใด ๆ y แปรผกผันกับ x ใช้สัญลักษณ์ y\propto \frac{1}{x}.. เขียนในรูปสมการเป็น y=\frac{k}{x} ..เมื่อ k เป็นค่าคงตัว และ k\not=0

ข้อสังเกต  การแปรผันแบบผกผันไม่มีสมบัติการสมมาตร นั่นคือ ถ้า y\propto \frac{1}{x} แล้วไม่จำเป็นที่ x\propto \frac{1}{y}

ตัวอย่างที่ 1 ถ้า x แปรผกผันกับ y และ x=-3 เมื่อ y=2  ค่าของ x เท่ากับเท่าใดเมื่อ y=-1
วิธีทำ   จากโจทย์ x\propto \frac{1}{y} จะได้ x=\frac{k}{y}
…………แทนค่า x=-3 เมื่อ y=2 ใน  x=\frac{k}{y}
………….จะได้ -3=\frac{k}{2}  →  k=-6
…………..แทนค่า y=-1 ใน  x=\frac{-6}{y}
……………จะได้   x=\frac{-6}{-1} = 6 ……….ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า x+1 แปรผกผันกับ y-2 และ x=4 เมื่อ y=8  ค่าของ y เท่ากับเท่าใดเมื่อ x=2
วิธีทำ จากโจทย์ x+1\propto \frac{1}{y-2} จะได้ x+1 =\frac{k}{y-2}
………แทนค่า  x=4 เมื่อ y=8  ในสมการ x+1 =\frac{k}{y-2}
………จะได้  4+1 =\frac{k}{8-2}  →  k = 30
………จะได้สมการ x+1 =\frac{30}{y-2}
……….หาค่า y เมื่อ x=2 จาก 2+1 =\frac{30}{y-2}
…………………..y-2 =\frac{30}{3}  →  y = 12
……. \therefore y มีค่าเท่ากับ 12  .. เมื่อ x=2 ………ตอบ

ตัวอย่างที่ 3 การประกอบรถยนต์ 1 คัน ใช้คนทำอยู่ 5 คน ถ้าเพิ่มคนงานขึ้นอีก 1 คน งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 ชั่วโมง ถ้าเวลาที่ทำงานนี้แปรผกผันกับจำนวนคนงาน ถ้าต้องการให้งานเสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง ต้องเพิ่มคนงานอีกกี่คน
วิธีทำ  กำหนดให้  H = จำนวนชั่วโมงที่ทำงานเสร็จN = จำนวนคนงาน
……….จากโจทย์  H\propto \frac{1}{N}  จะได้  H =\frac{k}{N}
………ถ้า  N=5 จะได้  H =\frac{k}{5}
………ถ้า  N=6 งานจะเสร็จเร็วขึ้น 8 ชั่วโมง
…..\therefore ..จะได้ว่า H-8 =\frac{k}{6}
………แก้สมการโดยการแทนค่า.. H =\frac{k}{5} ได้เป็น \frac{k}{5}-8=\frac{k}{6}
………………….. \frac{k}{5}-\frac{k}{6}=8
………………….. \frac{k}{30}=8 …→…k = 240
……..แทนค่า k ใน H =\frac{k}{5}  ได้  H =\frac{240}{5} = 48
…….นั่นคือ ถ้าใช้คน 5 คน จะแล้วเสร็จใน 48  ชั่วโมง
……………..ถ้างานนี้เสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง คือเสร็จใน 48 – 28 = 20 ชั่วโมง
…….จาก  H =\frac{24o}{N}
…….แทนค่า 20 =\frac{240}{N} N =\frac{240}{20} = 12
…….ถ้าต้องการให้เสร็จเร็วขึ้น 28 ชั่วโมง ต้องใช้คน 12 คน
……. \therefore จะเพิ่มคนอีก 12-5 = 7 ..คน…………….ตอบ

ลองทำดู ถ้า y แปรผกผันกับ x+\sqrt{x} และ y=1 เมื่อ x=2  ค่าของ x เป็นเท่าไร เมื่อ y=\frac{1}{2-\sqrt{2}}
[Ans x=1]

About these ads

Posted on ่28 กุมภาพันธ์, 2013, in คณิตเพิ่มเติม ม.2 and tagged , , . Bookmark the permalink. 1 ความเห็น.

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 62 other followers

%d bloggers like this: